Усеченный тетраэдр

Усеченный тетраэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 8, E = 18, V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	4 {3} +4 {6}
Обозначение Конвея	tT
Символы Шлефли	т {3,3} = ч 2 {4,3}
	т 0,1 {3,3}
Символ Wythoff	2 3 | 3
Диаграмма Кокстера	знак равно
Группа симметрии	T d , A 3 , [3,3], (* 332), порядок 24
Группа вращения	T , [3,3] + , (332), порядок 12
Двугранный угол	3-6: 109 ° 28′16 ′ 6-6: 70 ° 31′44 ″
использованная литература	U 02 , C 16 , W 6
Характеристики	Полурегулярный выпуклый
Цветные лица	3.6.6 ( фигура вершины )
Тетраэдр Триаки ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель усеченного тетраэдра

В геометрии , то усеченный тетраэдр является архимедовым твердым . Он имеет 4 правильные шестиугольные грани, 4 равносторонние треугольные грани, 12 вершин и 18 ребер (двух типов). Его можно построить, усекая все 4 вершины правильного тетраэдра на одну треть исходной длины ребра.

Более глубокое усечение, при котором из каждой вершины удаляется тетраэдр с половиной исходной длины ребра, называется исправлением . Выпрямление тетраэдра дает октаэдр . ^[1]

Усеченный тетраэдр представляет собой Голдберг полиэдр G _III , (1,1), содержащий треугольные и шестиугольные грани.

Усеченный тетраэдр можно назвать cantic куба , с Кокстера диаграммой ,, имеющий половину вершин скошенного куба ( ромбокубооктаэдра ),. У этой конструкции есть два двойных положения, и их объединение создает однородное соединение двух усеченных тетраэдров .

Площадь и объем [ править ]

Площадь A и объем V усеченного тетраэдра с длиной ребра a равны:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 7 {\ sqrt {3}} a ^ {2} && \ приблизительно 12.124 \, 355 \, 65a ^ {2} \\ V & = {\ tfrac {23} {12 }} {\ sqrt {2}} a ^ {3} && \ приблизительно 2.710 \, 575 \, 995a ^ {3}. \ end {align}}}$

Самая плотная упаковка [ править ]

Считается, что наиболее плотной упаковкой архимедова усеченного тетраэдра является Φ = 207/208, как сообщили две независимые группы, использующие методы Монте-Карло . ^{[2] [3]} Хотя не существует математических доказательств того, что это наилучшая возможная упаковка для усеченного тетраэдра, высокая близость к единству и независимость результатов делают маловероятным обнаружение даже более плотной упаковки. Фактически, если усечение углов немного меньше, чем у усеченного архимедова тетраэдра, эту новую форму можно использовать для полного заполнения пространства. ^[2]

Декартовы координаты [ править ]

Все декартовы координаты 12 вершин усеченного тетраэдра с центром в начале координат и длиной ребра √8 представляют собой перестановки (± 1, ± 1, ± 3) с четным числом знаков минус:

• (+ 3, + 1, + 1), (+ 1, + 3, + 1), (+ 1, + 1, + 3)
• (−3, −1, + 1), (−1, −3, + 1), (−1, −1, + 3)
• (−3, + 1, −1), (−1, + 3, −1), (−1, + 1, −3)
• (+ 3, −1, −1), (+ 1, −3, −1), (+ 1, −1, −3)

Другая простая конструкция существует в 4-пространстве как ячейки усеченной 16-ячейки , с вершинами как перестановка координат:

(0,0,1,2)

Ортогональная проекция [ править ]

Сферическая мозаика [ править ]

Усеченный тетраэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Многогранник Фриауфа [ править ]

Версия с более низкой симметрией усеченного тетраэдра (усеченный тетрагональный дисфеноид с симметрией D _2d порядка 8 ) в кристаллах, таких как сложные металлические сплавы, называется многогранником Фриауфа . Эта форма умещает 5 многогранников Фриауфа вокруг оси, что дает двугранный угол 72 градуса на подмножестве из 6-6 ребер. ^[4] Он назван в честь Дж. Б. Фриауфа и его статьи 1927 года «Кристаллическая структура интерметаллического соединения MgCu ₂ ». ^[5]

Использует [ редактировать ]

Гигантские усеченные тетраэдры использовались в тематических павильонах «Человек-исследователь» и «Человек-производитель» на выставке Expo 67 . Они были сделаны из массивных стальных балок, скрепленных болтами в геометрическую решетку. Усеченные тетраэдры соединялись между собой решетчатыми стальными площадками. Все эти здания были снесены после окончания Экспо 67, поскольку они не были построены, чтобы выдерживать суровые погодные условия Монреаля на протяжении многих лет. Их единственные остатки находятся в городских архивах Монреаля, Государственных архивах Канады и фотоколлекциях туристов того времени. ^[6]

Tetraminx головоломка имеет усеченную четырехгранную форму. Эта головоломка показывает разрез усеченного тетраэдра на 4 октаэдра и 6 тетраэдров . Он содержит 4 центральные плоскости вращения.

Усеченный тетраэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов , A усеченный четырехгранный граф является архимедовым граф , то граф вершин и ребер усеченного тетраэдра, один из Архимеда твердых веществ . У него 12 вершин и 18 ребер. ^[8] Это связный кубический граф, ^[9] и связный кубический транзитивный граф. ^[10]

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Он также является частью последовательности кантических многогранников и мозаик с конфигурацией вершин 3.6. п. 6. В этой конструкции Wythoff ребра между шестиугольниками представляют собой вырожденные двуугольники .

Мутации симметрии [ править ]

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности однородных усеченных многогранников с конфигурациями вершин (3.2 n .2 n ) и симметрией [ n , 3] группы Кокстера .

Примеры [ править ]

• Усеченный тетраэдр во вращении

• Усеченный тетраэдр ( Matemateca IME-USP )

• Усеченная 4-х сторонняя матрица

См. Также [ править ]

• Четвертькубические соты - заполняют пространство усеченными тетраэдрами и меньшими тетраэдрами.
• Усеченный 5-элементный - Подобный однородный многогранник в 4-х измерениях
• Усеченный триакис тетраэдр
• Усеченный тетраэдр Триаки
• Октаэдр - выпрямленный тетраэдр

Ссылки [ править ]

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press

Викискладе есть медиафайлы, связанные с усеченным тетраэдром .

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн , Усеченный тетраэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный тетраэдрический граф» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3x3o - тут» .
• Редактируемая печатная сетка усеченного тетраэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников