| Усеченный икосаэдр | |
|---|---|
 (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
| Тип | Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
| Элементы | F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2) |
| Лица по сторонам | 12 {5} +20 {6} |
| Обозначение Конвея | tI |
| Символы Шлефли | т {3,5} |
| т 0,1 {3,5} | |
| Символ Wythoff | 2 5 | 3 |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (* 532), заказ 120 |
| Группа вращения | I , [5,3] + , (532), порядок 60 |
| Двугранный угол | 6-6: 138.189685 ° 6-5: 142,62 ° |
| Рекомендации | U 25 , C 27 , W 9 |
| Характеристики | Полурегулярный выпуклый |
 Цветные лица |  5.6.6 ( Вершина ) |
 Додекаэдр Пентакиса ( двойственный многогранник ) |  Сеть |
В геометрии , то усеченный икосаэдр является архимедовым твердым веществом , один из 13 выпуклых изогонального nonprismatic твердых тел , чьи 32 граней два или более типов правильных многоугольников .
У него 12 правильных пятиугольных граней, 20 правильных шестиугольных граней, 60 вершин и 90 ребер.
Это многогранник Гольдберга GP V (1,1) или {5 +, 3} 1,1 , содержащий пятиугольные и шестиугольные грани.
Эта геометрия связана с футбольными мячами (футбольные мячи) , как правило , узорчатые с белыми и черными шестиугольниками пятиугольники. Геодезические купола, такие как те, чья архитектура была пионером Бакминстера Фуллера , часто основана на этой структуре. Это также соответствует геометрии молекулы фуллерена C 60 («бакибола»).
Он используется в транзитивной гиперболической мозаике, заполняющей пространство, в додекаэдрических сотах пятого порядка с усеченными битами .
Строительство [ править ]
Этот многогранник может быть построен из икосаэдра с 12 усеченными (отрезанными) вершинами , так что по одной трети каждого ребра отрезано с каждого из концов. Это создает 12 новых граней пятиугольника и оставляет 20 исходных граней треугольника в виде правильных шестиугольников. Таким образом, длина кромок составляет одну треть от длины исходных кромок.
Характеристики [ править ]
В теории геометрии и графов есть некоторые стандартные характеристики многогранников .
Декартовы координаты [ править ]
Все декартовы координаты вершин усеченного икосаэдра с центром в начале координат представляют собой четные перестановки :
- (0, ± 1, ± 3 φ )
- (± 1, ± (2 + φ ), ± 2 φ )
- (± φ , ± 2, ± (2 φ + 1))
где φ = 1 + √ 5/2это золотая середина . Радиус описанной окружности равен √ 9 φ + 10 ≈ 4.956, а длина ребер равна 2. [1]
Ортогональные проекции [ править ]
Усеченный икосаэдр имеет пять специальных ортогональные проекции , по центру, на вершине, на два типа ребер и два типов граней: гексагональных и пятиугольных. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А 2 и Н 2 .
| В центре | Вершина | Край 5-6 | Край 6-6 | Лицо шестиугольника | Лицо Пентагона |
|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | |||||
| Каркас | |||||
| Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Двойной |
Сферическая черепица[ редактировать ]
Усеченный икосаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
пятиугольник -centered | шестигранник с центром | |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | |
|---|---|---|
Размеры [ править ]
Если длина кромки усеченного икосаэдра является , то радиус из описанной сферы (тот , который касается усеченного икосаэдра во всех вершинах) является:
где φ - золотое сечение .
Этот результат легко получить, используя один из трех ортогональных золотых прямоугольников, нарисованных в исходном икосаэдре (до отсечения), в качестве отправной точки для наших размышлений. Угол между сегментами, соединяющими центр, и вершинами, соединенными общим ребром (рассчитанный на основе этой конструкции), составляет примерно 23,281446 °.
Площадь и объем [ править ]
Площадь A и объем V усеченного икосаэдра с длиной ребра a равны:
С единичными краями площадь поверхности составляет (округленная) 21 для пятиугольников и 52 для шестиугольников, вместе 73 (см. Площади правильных многоугольников ).
Усеченный икосаэдр легко демонстрирует эйлерову характеристику :
- 32 + 60 - 90 = 2.
Приложения [ править ]
Мячи, используемые в ассоциативном футболе и командном гандболе, являются, пожалуй, самым известным примером сферического многогранника, аналога усеченного икосаэдра, встречающегося в повседневной жизни. [2] Шар состоит из правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, но он более сферический из-за давления воздуха внутри и упругости шара. Этот тип мяча был представлен на чемпионате мира в 1970 году (начиная с 2006 года этот знаковый дизайн был заменен альтернативными узорами ).
Геодезические купола обычно основаны на треугольных гранях этой геометрии с примерами структур, найденных по всему миру, популяризированных Бакминстером Фуллером . [ необходима цитата ]
Вариант икосаэдра был использован в качестве основы сотовых колес (сделанных из поликарбоната), использовавшихся подразделением Pontiac Motor в период с 1971 по 1976 год на своих автомобилях Trans Am и Grand Prix . [ необходима цитата ]
Эта форма также была конфигурацией линз, используемых для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как в гаджете, так и в атомных бомбах Толстяка . [3]
Усеченный икосаэдр также можно описать как модель молекулы бакминстерфуллерена (фуллерена) (C 60 ), или «бакибола» - аллотропа элементарного углерода, открытого в 1985 году. Диаметр футбольного мяча и молекулы фуллерена составляет 22 см. и около 0,71 нм соответственно, следовательно, соотношение размеров составляет ≈31000000: 1.
В популярной культуре ремесел большие шары-искры могут быть сделаны с использованием рисунка икосаэдра и пластиковых, пенополистирольных или бумажных стаканчиков.
В искусстве [ править ]
- Галерея
Усеченный икосаэдр (слева) по сравнению с футбольным мячом ассоциации .
Молекула фуллерена C 60
Усеченный икосаэдрический обтекатель на метеостанции
Усеченный икосаэдр из алюминия 6061-T6
Деревянный усеченный икосаэдр работы Джорджа У. Харта .
Связанные многогранники [ править ]
| Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
| | | | | | |  |
| {5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
| Двойники к однородным многогранникам | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
| * n 32 мутация симметрии усеченных мозаик : n .6.6 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сим. * n 42 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактный | Parac. | Некомпактный гиперболический | |||||||
| * 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
| Усеченные фигуры | ||||||||||||
| Конфиг. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
цифры n-kis | ||||||||||||
| Конфиг. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 | |
Эти однородные звездчатые многогранники и одна звездчатая икосаэдр имеют неоднородные усеченные выпуклые оболочки икосаэдров :
| Однородные звездчатые многогранники с выпуклой оболочкой усеченных икосаэдров | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Усеченный граф икосаэдра [ править ]
| Усеченный икосаэдрический граф | |
|---|---|
Диаграмма Шлегеля с 6-кратной симметрией | |
| Вершины | 60 |
| Края | 90 |
| Автоморфизмы | 120 |
| Хроматическое число | 3 |
| Характеристики | Кубическая , гамильтонова , регулярная , нуль-симметричная |
| Таблица графиков и параметров | |
В математической области теории графов , A усеченного икосаэдра график является графиком вершин и ребер из усеченного икосаэдра , один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 90 ребер и является кубическим архимедовым графом . [4] [5] [6] [7]
5-кратная симметрия | 5-кратная диаграмма Шлегеля |
История [ править ]
Усеченный икосаэдр был известен Архимеду , который классифицировал 13 архимедовых тел в утерянной работе. Все, что мы знаем о его работе над этими формами, исходит от Паппа Александрийского , который просто перечисляет количество граней для каждой: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников в случае усеченного икосаэдра. Первый известное изображение и полное описание усеченного икосаэдра от повторного открытия по Пьеро делла Франческа , в своей книге 15-го века Де Quinque corporibus regularibus , [8] , который включал в себя пять Архимеде твердых веществ (пять усечения правильных многогранников) . Такая же форма была изображена Леонардо да Винчи в его иллюстрациях к Луке Пачоли.плагиат книги делла Франчески в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер исключил эту форму из других архимедовых тел, перечисленных в своей книге 1525 года о многогранниках Underweysung der Messung , ее описание было найдено в его посмертных статьях, опубликованных в 1538 году. Иоганн Кеплер. позже заново открыл полный список из 13 архимедовых тел, включая усеченный икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года « Harmonices Mundi» . [9]
См. Также [ править ]
- Фуллерен
- Гиперболический футбольный мяч
- Равноплоскостная проекция Снайдера
Заметки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .
- ^ Kotschick, Дитер (2006). «Топология и комбинаторика футбольных мячей». Американский ученый . 94 (4): 350–357. DOI : 10.1511 / 2006.60.350 .
- ^ Роудс, Ричард (1996). Темное Солнце: Создание водородной бомбы . Книги оселка. С. 195 . ISBN 0-684-82414-0.
- ^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графиков . Издательство Оксфордского университета . п. 268.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный граф икосаэдра» . MathWorld .
- ^ Годсил, К. и Ройл, Г. Теория алгебраических графов Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211, 2001 г.
- ^ Костант, Б. График усеченного икосаэдра и последней буквы Галуа. Замечает амер. Математика. Soc. 42, 1995, стр. 959-968 PDF
- ^ Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур, Материалы Первой международной конференции . С. 60–71.
- ^ Филд, СП (1997). «Открытие заново архимедовых многогранников: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. DOI : 10.1007 / BF00374595 (неактивный 2021-01-13). JSTOR 41134110 . Руководство по ремонту 1457069 . CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)
Ссылки [ править ]
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Кромвель, П. (1997). «Архимедовы тела». Многогранники: «Одна из самых очаровательных глав геометрии» . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC 180091468 .
Внешние ссылки [ править ]
 | Найдите усеченный икосаэдр в Викисловаре, бесплатном словаре. |
- Эрик В. Вайсштейн , Усеченный икосаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный граф икосаэдра» . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3x5o - ti» .
- Редактируемая сетка усеченного икосаэдра для печати с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- "Многогранники виртуальной реальности" - Энциклопедия многогранников
- 3D бумажная визуализация данных мяч чемпионата мира по футболу
