Додекаэдрические соты порядка 5

Додекаэдрические соты порядка 5
Перспективный вид из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические стандартные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{5,3,5} т 0 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера-Дынкина
Клетки	{5,3}
Лица	пятиугольник {5}
Фигурка края	пятиугольник {5}
Фигура вершины	икосаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Обычный

Порядка 5 додекаэдрических сотнями являются одним из четырех компактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ) в гиперболическом 3-пространстве . С символом Шлефли {5,3,5} он имеет пять додекаэдрических ячеек вокруг каждого ребра, а каждая вершина окружена двадцатью додекаэдрами. Его вершина - икосаэдр .

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание [ править ]

Двугранный угол евклидова додекаэдра не является ~ 116,6 °, так что не более чем три из них может поместиться вокруг края в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве двугранный угол меньше, чем в евклидовом пространстве, и зависит от размера фигуры; наименьший возможный двугранный угол составляет 60 ° для идеального гиперболического правильного додекаэдра с бесконечно длинными ребрами. Додекаэдры в этом двенадцатигранной соты имеют такие размеры , так что все их двугранные углы ровно 72 °.

Изображения [ редактировать ]

Связанные многогранники и соты [ править ]

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:

В гиперболическом 3-м пространстве есть еще одна сота, называемая додекаэдрической сотой четвертого порядка , {5,3,4}, которая имеет только четыре додекаэдра на ребро. Эти соты также относятся к 120-элементной ячейке, которую можно рассматривать как соту в строго искривленном пространстве (поверхность 4-мерной сферы), с тремя додекаэдрами на каждом краю, {5,3,3}. Наконец, додекаэдрический дитоп , {5,3,2} существует на 3-сферической сфере с 2 полусферическими ячейками.

В семействе [5,3,5] группы Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму. Также бит-усеченная форма, t _1,2 {5,3,5},, в этой соте есть все усеченные ячейки икосаэдра .

[5,3,5] семейные соты
{5,3,5}	г {5,3,5}	т {5,3,5}	рр {5,3,5}	т 0,3 {5,3,5}
	2т {5,3,5}	тр {5,3,5}	т 0,1,3 {5,3,5}	т 0,1,2,3 {5,3,5}

Пространство Зейферта – Вебера представляет собой компактное многообразие, которое может быть образовано как фактор-пространство додекаэдрических сот порядка 5.

Эти соты являются частью последовательности полихор и сот с фигурами вершин икосаэдра :

{p, 3,5} многогранники
Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞, 3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Эти соты являются частью последовательности правильных многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5 [ править ]

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г {5,3,5} т 1 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г {5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	пятиугольная призма
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямляются порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет чередующиеся ячейки икосаэдра и икосододекаэдра , с фигурой вершины пятиугольной призмы .

Связанные мозаики и соты [ править ]

Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:

Четыре выпрямленных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Фигура вершины

г {р, 3,5}

Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	г {3,3,5}	г {4,3,5}	г {5,3,5}	г {6,3,5}	г {7,3,5}	... г {∞, 3,5}
Изображение
Ячейки {3,5}	г {3,3}	г {4,3}	г {5,3}	г {6,3}	г {7,3}	г {∞, 3}

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5 [ править ]

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т {5,3,5} т 0,1 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Фигура вершины	пятиугольная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усечено порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет икосаэдр и усеченные ячейки додекаэдра , с пятиугольной вершиной пирамиды .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	т {5,3,4}	т {4,3,5}	т {3,5,3}	т {5,3,5}
Фигура вершины

Додекаэдрические соты с усеченным битом порядка 5 [ править ]

Додекаэдрические соты с усеченной структурой порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т {5,3,5} т 1,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {3,5}
Лица	пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	тетрагональный дисфеноид
Группа Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {K}}_{3}}$, [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный

Bitruncated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет усеченные ячейки икосаэдра с четырехугольной вершиной дифеноида .

Связанные соты [ править ]

Три усеченных компактной соты в H 3

Изображение
Символы	2т {4,3,5}	2т {3,5,3}	2т {5,3,5}
Фигура вершины

Кантеллированные додекаэдрические соты порядка 5 [ править ]

Додекаэдрические соты с разводкой порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр {5,3,5} т 0,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	rr {5,3} r {3,5} {} x {5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	клин
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantellated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, Имеет ромбоикосододекаэдр , икосододекаэдр и пятиугольные призматические клетки, с клиновидной вершиной фигуры .

Связанные соты [ править ]

Четыре скошенных регулярных компактных сот в H 3
Изображение Символы рр {5,3,4} рр {4,3,5} рр {3,5,3} рр {5,3,5} Фигура вершины

Cantitruncated додекаэдрические соты пятого порядка [ править ]

Cantitruncated порядок-5 додекаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr {5,3,5} t 0,1,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {5,3} t {3,5} {} x {5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantitruncated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный икосаэдр и ячейки пятиугольной призмы с зеркально отраженной фигурой вершины клиновидной кости .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных сот в H 3

Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	тр {5,3,5}
Фигура вершины

Додекаэдрические соты Runcinated порядка 5 [ править ]

Додекаэдрические соты Runcinated порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{5,3} {} x {5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	треугольная антипризма
Группа Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {K}}_{3}}$, [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Runcinated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет ячейки додекаэдра и пятиугольной призмы , с треугольной формой вершины антипризмы .

Связанные соты [ править ]

Три плоских регулярных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	т 0,3 {4,3,5}	т 0,3 {3,5,3}	т 0,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Runcitruncated додекаэдрические соты порядка 5 [ править ]

Усеченная додекаэдрическая сотовая структура порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	t {5,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {10}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} десятиугольник {10}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\displaystyle {\overline {K}}_{3}}$, [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcitruncated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, имеет усеченный додекаэдр , ромбикосододекаэдр , пятиугольную призму и ячейки десятиугольной призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидальной вершиной .

Runcicantellated порядка 5 додекаэдрических сотни эквивалентны runcitruncated порядка 5 двенадцатигранных сотни.

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3
Изображение Символы т 0,1,3 {5,3,4} т 0,1,3 {4,3,5} т 0,1,3 {3,5,3} т 0,1,3 {5,3,5} Фигура вершины

Омнитусеченные додекаэдрические соты порядка 5 [ править ]

Всенаправленные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,2,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {5,3} {} x {10}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	филлический дисфеноид
Группа Коксетера	${\displaystyle 2\times {\overline {K}}_{3}}$, [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Omnitruncated порядка 5 додекаэдрических сотни ,, Имеет укороченный икосододекаэдр и декагональные призмы клетки с филлитовой равногранной тетраэдром вершины фигурой .

Связанные соты [ править ]

Три полностью усеченных обычных компактных соты в H 3
Изображение Символы т 0,1,2,3 {4,3,5} т 0,1,2,3 {3,5,3} т 0,1,2,3 {5,3,5} Фигура вершины

См. Также [ править ]

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• 57-ячейка - абстрактный правильный полихорон, имеющий общий символ {5,3,5}.

Ссылки [ править ]

• Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294-296)
• Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, p212-213) 
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера