В геометрии любому многограннику соответствует вторая двойственная фигура, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также являются геометрическими многогранниками. [2] Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.
Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные принадлежат к родственному классу симметрии. Например, правильные многогранники - (выпуклые) Платоновы тело и (звезда) Кеплер-Пуансо многогранники - образуют двойные пары, где регулярная тетраэдр является автодуальной . Двойственный к изогональному многограннику (в котором любые две вершины эквивалентны) является изоэдральным многогранником (в котором любые две грани эквивалентны), и наоборот. Сопряженное с isotoxal многогранника (имеющего эквивалентные ребра) также isotoxal.
Двойственность тесно связана с взаимностью или полярностью , геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.
Виды двойственности
Есть много видов двойственности. Наиболее подходящими для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.
Полярное возвратно-поступательное движение
Двойник многогранника часто определяется в терминах полярного возвратно-поступательного движения относительно сферы. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью грани (полярной плоскостью или просто полярной), так что луч от центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3]
Когда сфера имеет радиус и сфера центрирована в начале координат (так что она определяется уравнением ) полярный двойник выпуклого многогранника определяется как
где обозначает стандартное скалярное произведение из а также .
Обычно, когда в конструкции дуального не указана сфера, используется единичная сфера, что означает в приведенных выше определениях. [4]
Для каждого лица описывается линейным уравнением
двойственный многогранник будет вершина . Аналогично, каждая вершина соответствует лицу , и каждый край соответствует краю . Соответствие вершин, ребер и граней а также отменяет включение. Например, если край содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани.
Для симметричных многогранников с очевидным центром тяжести многогранник и сферу обычно делают концентрическими, как в конструкции Дормана Люка, описанной ниже. Если присутствует несколько осей симметрии, они обязательно будут пересекаться в одной точке, и это обычно считается центроидом. В противном случае обычно используется описанная сфера, вписанная сфера или средняя сфера (одна со всеми краями в качестве касательных).
Однако можно вращать многогранник относительно любой сферы, и результирующая форма двойственного будет зависеть от размера и положения сферы; как сфера, так и двойственная форма. Выбор центра сферы достаточен для определения двойственного с точностью до подобия.
Если многогранник в евклидовом пространстве имеет элемент, проходящий через центр сферы, соответствующий элемент его двойственного уходит в бесконечность. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные объекты способом, пригодным для создания моделей (некоторой конечной части).
Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и края меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездные многогранники, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. [5] Из-за проблем с определением геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.
Канонические двойники
Любой выпуклый многогранник может быть преобразован в каноническую форму , в которой единичная средняя сфера (или межсфера) существует касательно каждого ребра и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма уникальна до совпадений.
Если мы будем перемещать такой канонический многогранник относительно его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также должен быть каноническим. Это каноническая двойственная пара, и вместе они образуют каноническую двойственную пару. [6]
Топологическая двойственность
Даже когда пару многогранников нельзя получить взаимным движением друг от друга, их можно назвать двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , с сохранением заболеваемости. Такие пары многогранников по-прежнему топологически или абстрактно двойственны.
Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в топологическую сферу, поверхность многогранника. Тот же граф можно спроецировать, чтобы сформировать диаграмму Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный ребрами и вершинами двойственного многогранника, является его двойственным графом . В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют дуальный граф.
Абстрактный многогранник определенного вида частично упорядоченное множество (посет) элементы, такие , что смежности, или соединения между элементами множеств соответствуют смежностям между элементами (грани, кромки и т.д.) многогранником. Каждый такой poset имеет двойное poset, сформированное путем изменения всех отношений порядка. Если позет визуализируется как диаграмма Хассе , двойное позет может быть визуализировано, просто перевернув диаграмму Хассе вверх ногами. Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственный многогранник не может быть реализован геометрически.
Строительство Дормана Люка
Для однородного многогранника грань двойного многогранника может быть найдена по фигуре вершины исходного многогранника, используя конструкцию Дормана Люка . [7]
В качестве примера на иллюстрации ниже показана фигура вершины (красная) кубооктаэдра , используемая для получения грани (синяя) ромбического додекаэдра .
Перед началом построения фигура вершины ABCD получается путем разрезания каждого связного ребра (в данном случае) его середины.
Затем продолжается строительство Дормана Люка:
- Нарисуйте фигуру вершины ABCD
- Нарисуйте описанную окружность (касательную к каждому углу A , B , C и D ).
- Рисовать линии по касательной к окружности в каждом углу А , В , С , Д .
- Отметьте точки E , F , G , H , где каждая касательная линия пересекает соседнюю касательную.
- Многоугольник EFGH является гранью двойственного многогранника.
В этом примере размер вершины был выбран так, чтобы описанная окружность лежала на межсфере кубооктаэдра, который также становится межсферой двойного ромбического додекаэдра.
Конструкция Дормана Люка может быть использована только в том случае, если многогранник имеет такое межсферное пространство, а фигура вершины является циклической. Например, это можно применить к однородным многогранникам .
Самодвойственные многогранники
Топологически самодвойственный многогранник - это многогранник, двойственный многогранник которого имеет точно такую же связь между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе .
Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственный, но и его полярный обратный элемент относительно определенной точки, обычно его центроид, является аналогичной фигурой. Например, двойник правильного тетраэдра - это другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .
Каждый многоугольник топологически самодвойственен (у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются двойственностью), но в целом не будет геометрически самодвойственным (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет правильную форму, которая геометрически самодвойственна относительно своей межсферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнции меняются местами.
Точно так же каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован с помощью эквивалентного геометрически самодвойственного многогранника, его канонического многогранника , обратного относительно центра средней сферы .
Геометрически самодвойственных многогранников бесконечно много. Самым простым бесконечным семейством являются канонические пирамиды из n сторон. Другое бесконечное семейство, удлиненные пирамиды , состоит из многогранников, которые можно примерно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы (с тем же количеством сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды с обрезанной вершиной) под призмой порождает еще одно бесконечное семейство и так далее.
Есть много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. [8]
Самодуальный [ требуется пояснение ] невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. [9] [10] [11] Были найдены и другие невыпуклые самодвойственные многогранники при определенных определениях невыпуклых многогранники и их двойники. [ требуется разъяснение ]
3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 4 | 5 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Двойные многогранники и мозаики
Двойственность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойственными многоугольниками .
Вершины одного многогранника соответствуют ( n - 1) -мерным элементам или фасетам другого, а j точек, которые определяют ( j - 1) -мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, чтобы дать ( n - j ) -мерный элемент. Аналогично можно определить двойственность n- мерной мозаики или соты .
В общем случае фасеты двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных величин, равных правильному и однородному многогранникам, двойственные грани будут полярными величинами, обратными исходной фигуре вершины. Например, в четырех измерениях вершина 600-ячейки - это икосаэдр ; двойственный 600-элементный - это 120-элементный , чьи грани - додекаэдры , двойственные икосаэдру.
Самодуальные многогранники и мозаики
Первичный класс самодвойственных многогранников - это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственные, многогранники вида {a, a}, 4-многогранники вида {a, b, a}, 5-многогранники вида {a, b, b, a }, так далее.
Самодвойственные правильные многогранники:
- Все правильные многоугольники , {a}.
- Правильный тетраэдр : {3,3}
- В общем, все регулярные n - симплексы , {3,3, ..., 3}
- Обычный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.
- Большая 120-элементный {5,5 / 2,5} и гранд звездообразный 120-клеток {5 / 2,5,5 / 2}
Самодуальные (бесконечные) правильные евклидовы соты :
- Апейрогон : {∞}
- Квадратная плитка : {4,4}
- Кубические соты : {4,3,4}
- В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3, ..., 3,4}.
Самодуальные (бесконечные) регулярные гиперболические соты:
- Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p, p}.
- Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞, ∞}
- Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
- Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}
Смотрите также
- Обозначения многогранника Конвея
- Двойной многоугольник
- Самодуальный граф
- Самодвойственный многоугольник
Рекомендации
Заметки
- ^ Веннингер (1983) , "Основные понятия о звездчатости и двойственности", стр. 1.
- ^ Грюнбаум (2003)
- ^ Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Двойственность, стр 78-79. Веннингер (1983) , стр. 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
- ↑ Барвинок (2002) , стр.143.
- ^ См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к выводу своих бесконечных двойников.
- ^ Грюнбаум (2007) , теорема 3.1, стр. 449.
- ^ Cundy & Rollett (1961) , стр. 117; Веннингер (1983) , стр. 30.
- ^ 3Dмодели Java в симметриях канонических самодуальных многогранников , основанные на статье Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрая генерация плоских графов PDF [1]
- ^ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
- ^ Нью-Джерси Мост; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4 июля 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
- ^ Брюкнер, М .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Teubner, Leipzig, 1900.
Библиография
- Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167.
- Гайлюнас, П .; Sharp, J. (2005), "Двойственность многогранников", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 36 (6): 617-642, DOI : 10,1080 / 00207390500064049 , S2CID 120818796.
- Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», В Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, 25 , Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007 / 978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
- Грюнбаум, Бранко (2007), "Графы многогранников, многогранники в виде графов", Дискретная математика , 307 (3-5): 445-463, DOI : 10.1016 / j.disc.2005.09.037 , ЛВП : 1773/2276 , MR 2287486.
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in the nature, art, and the geometrical imagination , New York: Springer, pp. 211–216, doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8, Руководство по ремонту 3077226.
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, Руководство по ремонту 0730208.
- Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной многогранник» , MathWorld
- Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция» , MathWorld
- Вайсштейн, Эрик В. , «Самодуальный многогранник» , MathWorld