В геометрии , A - схема Шлегель является проекцией из многогранника из в через точку за пределами одной из его граней . Результирующий объект представляет собой многогранное подразделение фасета вкоторый вместе с исходной гранью комбинаторно эквивалентен исходному многограннику. Диаграмма названа в честь Виктора Шлегеля , который в 1886 году представил этот инструмент для изучения комбинаторных и топологических свойств многогранников. В размерности 3 диаграмма Шлегеля представляет собой проекцию многогранника на плоскую фигуру ; в размерности 4 это проекция 4-многогранника на 3-пространство . Таким образом, диаграммы Шлегеля обычно используются как средство визуализации четырехмерных многогранников.
Строительство
Самая элементарная диаграмма Шлегеля, диаграмма многогранника, была описана Дунканом Соммервиллем следующим образом: [1]
- Очень полезный метод представления выпуклого многогранника - проекция на плоскость. Если он проецируется из какой-либо внешней точки, поскольку каждый луч разрезает его дважды, он будет представлен многоугольной областью, дважды разделенной на многоугольники. Всегда возможно, удачно выбрав центр проекции, чтобы проекция одной грани полностью содержала проекции всех остальных граней. Это называется диаграммой Шлегеля многогранника. Диаграмма Шлегеля полностью представляет морфологию многогранника. Иногда бывает удобно спроецировать многогранник из вершины; эта вершина проецируется на бесконечность и не отображается на диаграмме, проходящие через нее ребра представлены линиями, проведенными наружу.
Соммервиль также рассматривает случай симплекса в четырех измерениях: [2] «Диаграмма Шлегеля симплекса в S 4 представляет собой тетраэдр, разделенный на четыре тетраэдра». В более общем смысле многогранник в n-мерном пространстве имеет диаграмму Шегеля, построенную на основе перспективной проекции, рассматриваемой из точки вне многогранника, над центром грани. Все вершины и ребра многогранника проецируются на гиперплоскость этой грани. Если многогранник выпуклый, рядом с гранью будет существовать точка, которая отображает грань снаружи и все другие грани внутри, поэтому никакие ребра не должны пересекаться в проекции.
Примеры
Додекаэдр | 120 ячеек |
---|---|
12 граней пятиугольника в плоскости | 120 додекаэдрических ячеек в 3-м пространстве |
Смотрите также
- Сеть (многогранник). Другой подход к визуализации путем уменьшения размерности многогранника - это построение сети, разъединение граней и разворачивание до тех пор, пока грани не могут существовать на одной гиперплоскости. Это сохраняет геометрический масштаб и форму, но затрудняет просмотр топологических связей.
Рекомендации
- ^ Дункан Соммервилл (1929). Введение в геометрию N измерений , стр.100. EP Dutton . Перепечатка 1958 года издательством Dover Books .
- Перейти ↑ Sommerville (1929), p.101.
дальнейшее чтение
- Виктор Шлегель (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde , Nova Acta, Ksl. Леоп.-Кэрол. Deutsche Akademie der Naturforscher, Band XLIV, Nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn в Дрездене. [1]
- Виктор Шлегель (1886) Ueber Projectionmodelle der regelmässigen vier-Dimensalen Körper , Waren.
- Кокстер, HSM ; Регулярные многогранники (Метуэн и Ко, 1948). (стр. 242)
- Регулярные многогранники , (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- Грюнбаум, Бранко (2003), Кайбель, Фолькер; Клее, Виктор ; Циглер, Гюнтер М. (ред.), Выпуклые многогранники (2-е изд.), Нью-Йорк и Лондон: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00424-6.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Граф Шлегеля» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Скелет» . MathWorld .
- Джордж У. Харт: проекционные модели четырехмерных многогранников с помощью 3D-печати
- Математика Nrich - для подростка. Также полезно для учителей.