120 ячеек

120 ячеек
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{5,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	120 {5,3}
Лица	720 {5}
Края	1200
Вершины	600
Фигура вершины	тетраэдр
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Коксетера	H 4 , [3,3,5]
Двойной	600 ячеек
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс	32

Сеть

В геометрии , то 120-клетка является выпуклым обычный 4-многогранник с Шлефли символом {5,3,3}. Его также называют C ₁₂₀ , додекаплекс (сокращенно от «додекаэдрического комплекса»), гипердодекаэдр , полидодекаэдр , гекатоникосахорон , додекаконтахорон ^[1] и гекатоникосаэдроид . ^[2]

Граница 120-ячейки состоит из 120 додекаэдрических ячеек, по 4 пересечения в каждой вершине. Его можно рассматривать как 4-мерный аналог правильного додекаэдра . Подобно тому, как додекаэдр можно построить как модель с 12 пятиугольниками, по 3 вокруг каждой вершины, додекаплекс можно построить из 120 додекаэдров , по 3 на каждом ребре.

Дэвис 120-клетки , введенные Davis (1985) , представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие , полученный путем идентификации противоположных граней 120-клетки, чья универсальной крышка дает регулярные соты {5,3,3,5} из 4 -мерное гиперболическое пространство.

Элементы [ править ]

• Есть 120 ячеек, 720 пятиугольных граней, 1200 ребер и 600 вершин.
• Есть 4 додекаэдра, 6 пятиугольников и 4 ребра, пересекающихся в каждой вершине.
• На каждом ребре встречаются 3 додекаэдра и 3 пятиугольника.
• Двойной многогранник из 120-клеток является 600-клетками .
• Соединение, образованное из 120-ячеек и двойника, представляет собой соединение из 120-ячеек и 600-ячеек .
• Вершина фигура из 120-клетки представляет собой тетраэдр .
• Двугранный угол (угол между гранью Гиперплоскостью) из 120-ячейки составляет 144 ° ^[3]

Как конфигурация [ править ]

Эта матрица конфигурации представляет собой 120 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всех 120 ячейках. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная элементами k -face и k -figures. Количество диагональных элементов - это отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

H 4		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	k -fig	Примечания
А 3		()	f 0	600	4	6	4	{3,3}	H 4 / A 3 = 14400/24 ​​= 600
А 1 А 2		{}	f 1	2	720	3	3	{3}	H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
H 2 A 1		{5}	ж 2	5	5	1200	2	{}	H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
H 3		{5,3}	ж 3	20	30	12	120	()	H 4 / H 3 = 14400/120 = 120

Декартовы координаты [ править ]

600 вершин 120-ячейки с длиной ребра 2/φ ²= 3− √ 5 и радиус от центра до вершины √ 8 = 2 √ 2 включают все перестановки : ^[6]

(0, 0, ± 2, ± 2)

(± 1, ± 1, ± 1, ± √ 5 )

(± φ ⁻² , ± φ, ± φ, ± φ)

(± φ ⁻¹ , ± φ ⁻¹ , ± φ ⁻¹ , ± φ ² )

и все четные подстановки из

(0, ± φ ⁻² , ± 1, ± φ ² )

(0, ± φ ⁻¹ , ± φ, ± √ 5 )

(± φ ⁻¹ , ± 1, ± φ, ± 2)

где φ (также называемый τ) - золотое сечение ,1 + √ 5/2.

Рассматривая матрицу смежности вершин, представляющую его многогранный граф, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее отрицанием координат, на евклидовом расстоянии 4 √ 2 (его окружной диаметр), и существует 24 различных пути для их соединения. по краям многогранника. От каждой вершины по 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от2/φ ², с кратностью от 4 до 4, с кратностью 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.

Визуализация [ править ]

120-ячейка состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для визуализации удобно, что у додекаэдра есть противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 24-ячейки ). Можно сложить додекаэдры лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью 10 ячеек. Начиная с этой первоначальной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: слоистую стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец.

Многослойная стереографическая проекция [ править ]

Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северным полюсом». Двенадцать меридианов большого круга (длиной в четыре ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь в пятой ячейке «южного полюса». На этот скелет приходится 50 из 120 ячеек (2 + 4 × 12).

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячейку в 9 широтных слоях, со ссылками на земную 2-сферную топографию в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной двумерной сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой двумерной сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра с меридианами (как описано выше), проходящими через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «промежуточные» в следующей таблице, не попадают на большие круги меридиана.

Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены по краям полюсной ячейки.

Переплетение колец [ править ]

120 ячеек можно разделить на 12 непересекающихся колец большого круга из 10 ячеек, образуя дискретное / квантованное расслоение Хопфа . Начиная с одного кольца из 10 ячеек, можно разместить рядом с ним еще одно кольцо, которое закручивается по спирали вокруг исходного кольца на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких 10-ячеечных колец могут быть размещены рядом с исходным 10-ячеечным кольцом. Хотя внешние кольца "закручиваются" вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле они не имеют винтового скручивания.. Все они эквивалентны. Закручивание по спирали является результатом кривизны 3-х сфер. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют полноторие с шестью кольцами и 60 ячейками. Можно продолжить добавление колец из 10 ячеек, смежных с предыдущими, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с предыдущим, из оставшихся 60 ячеек, который сцепляется с первым. 120-элементная ячейка, как и 3-сфера, представляет собой объединение этих двух ( Клиффорд) торы. Если центральное кольцо первого тора - это меридиональная большая окружность, как определено выше, центральное кольцо второго тора - это экваториальная большая окружность, центр которой расположен на меридиональной окружности. Также обратите внимание, что спиралевидная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть как левосторонней, так и правосторонней. Это просто вопрос разделения ячеек в оболочке по-другому, то есть выбора другого набора непересекающихся больших кругов.

Другие конструкции большого круга [ править ]

Есть еще один интересный путь большого круга, который попеременно проходит через противоположные вершины ячеек, а затем вдоль ребра. Этот путь состоит из 6 ячеек и 6 ребер. Оба указанных выше пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке. Путь из 10 ячеек лицом к лицу выше отображается на путь из 10 вершин, проходящий исключительно вдоль ребер в 600-ячейке, образуя десятиугольник. Путь чередующихся ячеек / ребер выше отображается на путь, состоящий из 12 тетраэдров, попеременно встречающихся лицом к лицу, а затем от вершины к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600 ячейках. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров, встречающихся лицом к лицу в курносой 24-ячейке (или икосаэдрических пирамидах в 600-ячейке).

Прогнозы [ править ]

Ортогональные проекции [ править ]

Ортогональные проекции 120-ячеек могут быть выполнены в 2D путем определения двух ортонормированных базисных векторов для определенного направления взгляда. 30-угольная проекция была сделана в 1963 г. Б.Л. Чилтоном . ^[7]

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Трехмерные ортогональные проекции также могут быть выполнены с тремя ортонормированными базисными векторами и отображаться как трехмерная модель, а затем проецироваться определенная перспектива в трехмерном изображении для двухмерного изображения.

Перспективные проекции [ править ]

Эти проекции используют перспективную проекцию с определенной точки обзора в четырех измерениях и проецируют модель как трехмерную тень. Следовательно, лица и клетки, которые выглядят больше, просто ближе к точке обзора 4D. Диаграммы Шлегеля используют перспективу, чтобы показать четырехмерные фигуры, выбирая точку над определенной ячейкой, таким образом делая ячейку оболочкой 3D-модели, а другие ячейки меньше видимых внутри нее. Стереографическая проекция использует тот же подход, но отображается с изогнутыми краями, представляя многогранник мозаикой из 3-х сфер .

Аналогично проводится сравнение перспективных проекций из 3D в 2D.

Связанные многогранники и соты [ править ]

120-элементный многогранник - это один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией [3,3,5]:

Семейные многогранники H 4
120 ячеек	выпрямленный 120-элементный	усеченный 120-ячеечный	скошенный 120-элементный	беглый 120-клеточный	усеченный 120-элементный	усеченный 120- ячеечный	усеченная 120-ячеечная
{5,3,3}	г {5,3,3}	т {5,3,3}	рр {5,3,3}	т 0,3 {5,3,3}	tr {5,3,3}	т 0,1,3 {5,3,3}	т 0,1,2,3 {5,3,3}
600 ячеек	выпрямленный 600-элементный	усеченный 600-ячеечный	скошенный 600-ячеечный	усеченный по битам, 600 ячеек	усеченный 600- ячеечный	усеченный 600- ячеечный	омниусеченный, 600 ячеек
{3,3,5}	г {3,3,5}	т {3,3,5}	р-р {3,3,5}	2т {3,3,5}	tr {3,3,5}	т 0,1,3 {3,3,5}	т 0,1,2,3 {3,3,5}

Он похож на три правильных 4-многогранника : 5-клеточный {3,3,3}, тессеракт {4,3,3} евклидова 4-пространства и гексагональные мозаичные соты гиперболического пространства. Все они имеют четырехгранную вершину .

Эти соты являются частью последовательности 4-многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

См. Также [ править ]

• Семейство однородных 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• 57-cell - абстрактный правильный 4-многогранник, построенный из 57 полудодекаэдров.
• 600-элементный - двойственный 4-многогранник к 120-элементному

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . 
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 22) HSM Кокстер, регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway и MJT Guy : четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Davis, Michael W. (1985), "Гиперболическое 4-многообразие", Труды Американского математического общества , 93 (2): 325-328, DOI : 10,2307 / 2044771 , ISSN  0002-9939 , JSTOR  2044771 , MR  0770546
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. "120 клеток" . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Гекатоникосахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • Выпуклая однородная полихора на основе гекатоникосахорон (120 клеток) и гексакосихорон (600 клеток) - Модель 32 , Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры) o3o3o5x - hi» .
• Der 120-Zeller (120-элементный) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• 120-элементный проводник - бесплатная интерактивная программа, которая позволяет вам узнать о ряде 120-элементных симметрий. 120-ячейка проецируется в 3 измерения, а затем отображается с помощью OpenGL.
• Построение Гипердодекаэдра.
• YouTube-анимация строительства 120-ячеечного Джан Марко Тодеско.

Семейные многогранники H 4
120 ячеек	выпрямленный 120-элементный	усеченный 120-ячеечный	скошенный 120-элементный	беглый 120-клеточный	усеченный 120-элементный	усеченный 120- ячеечный	усеченная 120-ячеечная
{5,3,3}	г {5,3,3}	т {5,3,3}	рр {5,3,3}	т 0,3 {5,3,3}	tr {5,3,3}	т 0,1,3 {5,3,3}	т 0,1,2,3 {5,3,3}
600 ячеек	выпрямленный 600-элементный	усеченный 600-ячеечный	скошенный 600-ячеечный	усеченный по битам, 600 ячеек	усеченный 600- ячеечный	усеченный 600- ячеечный	омниусеченный, 600 ячеек
{3,3,5}	г {3,3,5}	т {3,3,5}	р-р {3,3,5}	2т {3,3,5}	tr {3,3,5}	т 0,1,3 {3,3,5}	т 0,1,2,3 {3,3,5}