Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
600 ячеек
Каркас Шлегеля, 600 ячеек, vertex-centered.png
Диаграмма Шлегеля , центрированная по вершинам (вершины и ребра)
ТипВыпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли{3,3,5}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Клетки600 ( 3.3.3 )Тетраэдр.png
Лица1200 {3}
Края720
Вершины120
Фигура вершины600-cell verf.png
икосаэдр
Многоугольник Петри30-угольник
Группа КоксетераH 4 , [3,3,5], заказ 14400
Двойной120 ячеек
Характеристикивыпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс35 год
Сеть

В геометрии , то 600-клетка является выпуклым обычным 4-многогранником (четырехмерный аналогом Платонического твердого вещества ) с Шлефли символом {3,3,5}. Он также известен как C 600 , гексакосихорон [1] и гексакозихорон . [2] Это также называют tetraplex (сокращенно от «четырехгранного комплекса») и polytetrahedron , будучи ограниченно тетраэдрическими клетками .

Граница из 600 ячеек состоит из 600 тетраэдрических ячеек, по 20 пересекающихся в каждой вершине. [a] Вместе они образуют 1200 треугольных граней, 720 ребер и 120 вершин. Это 4 - мерный аналог из икосаэдра , так как она имеет пять тетраэдров собрания на каждый краю, так же , как икосаэдр имеет пять треугольников , отвечающие в каждой вершине. Его двойственный многогранник - 120-элементный , с которым он может образовывать соединение .

Геометрия [ править ]

600-ячейка - пятая в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). [b] Его можно деконструировать на двадцать пять перекрывающихся экземпляров своего непосредственного предшественника, 24-ячеечного , [4] так как 24-элементный может быть деконструирован на три перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-элементного) , и 8-ячеечная система может быть разделена на два перекрывающихся экземпляра своего предшественника, 16-ячеечного . [5]

Обратная процедура для создания каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. [c] Длина края 24 ячеек равна его радиусу, но длина края 600 ячеек в ~ 0,618 раза больше его радиуса. Радиус и длина ребра 600 ячеек находятся в золотом сечении .

Координаты [ править ]

Единичный радиус в декартовых координатах [ править ]

Вершины 600-ячейки единичного радиуса с центром в начале координат четырехмерного пространства с ребрами длины 1/φ ≈ 0,618 (где φ = 1 + √ 5/2≈ 1,618 - золотое сечение ), можно представить [6] следующим образом:

8 вершин, полученных из

(0, 0, 0, ± 1)

путем перестановки координат и 16 вершин вида:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

Оставшиеся 96 вершин получаются, принимая даже перестановки из

(±φ/2, ±1/2, ±φ -1/2, 0)

Обратите внимание, что первые 8 вершин являются вершинами 16-ячеек , вторые 16 - вершинами тессеракта , а эти 24 вершины вместе являются вершинами 24-ячеек . Остальные 96 вершин - это вершины пренебрежительной 24-ячейки , которую можно найти, последовательно разделив каждое из 96 ребер другой 24-ячейки (двойное первому) в золотом сечении. [7]

Если интерпретировать их как кватернионы , это единицы икозианцев .

В 24-ячейке есть квадраты , шестиугольники и треугольники, которые лежат на больших окружностях (в экваториальных плоскостях через четыре или шесть вершин). [d] В 600-ячейке есть двадцать пять перекрывающихся вписанных 24-ячеек, причем каждый квадрат уникален для одной 24-ячейки, каждый шестиугольник или треугольник используется двумя 24 ячейками, а каждая вершина используется пятью 24 ячейками. [f]

Сферические координаты Хопфа [ править ]

В 600-ячейке также есть пятиугольники и декагоны большого круга (в экваториальных плоскостях через десять вершин). [грамм]

Только ребра десятиугольника являются видимыми элементами 600-ячеек (потому что они являются ребрами 600-ячеек). Края других многоугольников большого круга являются внутренними хордами 600-ячеек, которые не показаны ни на одном из 600-ячеек в этой статье.

По симметрии через каждую вершину проходит равное количество многоугольников каждого вида; таким образом, можно учитывать все 120 вершин как пересечение набора центральных многоугольников только одного типа: десятиугольников, [h] шестиугольников, пятиугольников, квадратов или треугольников. Например, 120 вершин можно рассматривать как вершины 4 наборов из 6 ортогональных центральных пятиугольников, которые не имеют общих вершин. [i] Эта пятиугольная симметрия 600-ячейки проявляется в ее координатах Хопфа [l] (𝜉 i , 𝜂, 𝜉 j ), которые могут быть заданы как:

({<10}𝜋/5, {≤5}𝜋/10, {<10}𝜋/5)

где {<10} - это перестановка десяти цифр (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), а {≤5} - перестановка шести цифр (0 1 2 3 4 5). Координаты 𝜉 i и 𝜉 j лежат в пределах 10 вершин декагонов большого круга; четные и нечетные цифры обозначают вершины двух пятиугольников большого круга, вписанных в каждый десятиугольник. Координата 𝜂 охватывает 6 неортогональных декагонов большого круга, которые пересекаются в каждой вершине. [м]

Структура [ править ]

Многогранные секции [ править ]

Взаимные расстояния между вершинами, измеренные в градусах дуги на описанной гиперсфере , имеют только значения 36 ° =𝜋/5, 60 ° = 𝜋/3, 72 ° = 2𝜋/5, 90 ° = 𝜋/2, 108 ° = 3𝜋/5, 120 ° = 2𝜋/3, 144 ° = 4𝜋/5, а 180 ° = 𝜋. От произвольной вершины V под углом 36 ° и 144 ° находится 12 вершин икосаэдра , [a] под углом 60 ° и 120 ° - 20 вершин додекаэдра , под углом 72 ° и 108 ° - 12 вершин более крупного икосаэдра. , под углом 90 ° - 30 вершин икосододекаэдра и, наконец, под углом 180 ° - противоположная вершина V. [10] Их можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера H3 с перекрывающимися окрашенными вершинами. [11] [12]

Эти многогранные секции являются твердыми в том смысле, что они трехмерны, но, конечно, все их вершины лежат на поверхности 600-ячеек (они полые, а не твердые). Каждый многогранник лежит в евклидовом 4-мерном пространстве как параллельное сечение 600-ячейки (гиперплоскость). В искривленном трехмерном пространстве граничной оболочки 600-ячеек многогранник окружает вершину V так же, как он окружает собственный центр. Но этот центр многогранника находится внутри 600-ячейки, а не на ее поверхности. На самом деле V не находится в центре многогранника, потому что он смещен наружу от этой гиперплоскости в четвертом измерении к поверхности 600-ячейки.

Вершинные хорды [ править ]

Геометрия вершин 600-ячейки, показывающая 5 правильных многоугольников большого круга и 8 хорд длиной [d] от вершины к вершине с углами дуги. Золотое сечение [n] определяет дробные корни всех остальных хордов [o] и радиальные золотые треугольники [p], которые встречаются в центре.

120 вершин распределены [13] на восьми разных длинах хорды друг от друга. Эти ребра и хорды 600-ячейки - это просто ребра и хорды его пяти многоугольников большого круга. [14] В порядке возрастания длины они равны √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 и √ 4 . [q]

Обратите внимание, что четыре гиперкубических хорды 24-ячейки ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) чередуются с четырьмя новыми хордами дополнительных больших окружностей 600-ячеек, декагонов и пятиугольников. Новые длины хорды обязательно квадратные корни из фракций, но очень специальные фракции , связанные с золотым отношением [N] в том числе двух золотых секций из √ 5 , как показано на рисунке. [o]

Геодезические [ править ]

Хорды вершин 600-ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга пяти видов: декагонах, шестиугольниках, пятиугольниках, квадратах и ​​треугольниках. [15]

В √ 0.Δ ребра = Ф образуют плоские 72 регулярных центральные десятиугольники (12 комплектов 6 ортогональных плоскостей), 6 из которых пересекают в каждой вершине. [a] Так же, как икосододекаэдр может быть разделен на 6 центральных декагонов (60 ребер = 6 × 10), 600-ячейка может быть разделена на 72 декагона (720 ребер = 72 × 10). 720 √ 0.𝚫 ребер делят поверхность на 1200 треугольных граней и 600 тетраэдрических ячеек: 600 ячеек. 720 ребер образуют 360 параллельных пар на расстоянии √ 3 друг от друга. Как и в десятиугольнике и икосододекаэдре, края происходят в золотых треугольниках [с] , которые пересекаются в центре многогранника. [п]

В √ 1 аккорды образуют 200 центральные шестиугольники (25 комплектов 16, с каждого шестиугольника в двух наборах), [е] 10 из которых пересекаются в каждой вершине [T] (4 от каждого из пяти 24-клеток, причем каждый шестиугольник в двух из 24 ячеек). Каждый набор из 16 шестиугольников состоит из 96 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 1 хорды соединяют вершины , которые являются два √ 0.Δ края друг от друга. Каждая хорда √ 1 представляет собой длинный диаметр соединенной гранями пары тетраэдрических ячеек ( треугольной бипирамиды ) и проходит через центр общей грани. Так как граней 1200, получается 1200 √ 1хорды, в 600 параллельных парах, √ 3 друг от друга.

В √ 1.Δ аккорды образуют 144 центральных пятиугольники, 6 из которых пересекают в каждой вершине. [г] В √ 1.Δ хорды управляют вершина к каждой второй-вершине в одних и тех же плоскостях , как 72 десятиугольников: два пятиугольников вписаны в каждом десятиугольнике. В √ 1.Δ аккорды соединяют вершины , которые являются два √ 0.Δ края друг от друга на геодезического большой круг. 720 √ 1.𝚫 хорд образуют 360 параллельных пар, √ 2.𝚽 = φ друг от друга.

В √ 2 хорды образуют центральные площади 450 (25 непересекающихся множеств 18), 15 из которых пересекают в каждой вершине (3 из каждой из пяти 24-клеток). Каждый набор из 18 квадратов состоит из 72 √ 2 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 2 хорды соединяют вершины , которые являются три √ 0.Δ края друг от друга (и два √ 1 аккорды друг от друга). Каждая хорда √ 2 - это длинный диаметр октаэдрической ячейки всего в одной 24-ячейке. Имеется 1800 √ 2 хорд в 900 параллельных парах, разделенных √ 2 .

В √ 2.Φ = ф хорд образуют ножки 720 центральных равнобедренных треугольников (72 комплектов 10 , вписанных в каждом десятиугольнике), 6 из которых пересекают в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника имеет длину √ 3.𝚽 . В √ 2.Φ аккордов работать вершины-к-каждую-третьей вершине в той же плоскости, что и 72 десятиугольников, соединяющая вершину , которые являются три √ 0.Δ края друга от друга на геодезическом большом круге. Есть 720 различных хорд √ 2.𝚽 , в 360 параллельных парах, разделенных √ 1.𝚫 .

В √ 3 хорды образует 400 равносторонних центральные треугольники (25 комплектов 32, с каждым треугольником в двух наборах), 10 из которых пересекают в каждой вершине (4 от каждого из пяти 24-клеток , при этом каждом треугольнике в двух из 24-клеток ). Каждый набор из 32 треугольников состоит из 96 √ 3 хорд и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24 ячеек. В √ 3 хорды запустить вершину-на-каждой-второй вершиной в той же плоскости, что и 200 шестиугольников: два треугольника вписаны в каждом шестиугольнике. В √ 3 хорда соединяет вершины , которые являются четыре √ 0.Δ края друг от друга (и два √ 1 аккорды друг от друга на геодезическом большом круге). Каждый√ 3 хорда - это длинный диаметр двух кубических ячеек в одной 24 ячейке. [u] Есть 1200 √ 3 хорд, в 600 параллельных парах, √ 1 друг от друга.

В √ 3.Φ аккорды (диагоналей пятиугольников) образуют ножки 720 центральных равнобедренных треугольников (144 комплектов 5 вписанных в каждом пятиугольнике), 6 из которых пересекают в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника - это ребро пятиугольника длиной √ 1.𝚫 , так что это золотые треугольники. [S] В √ 3.Φ аккорды запустить вершину-к-каждой-четвертой вершиной в той же плоскости, что и 72 десятиугольников, соединяя вершины , которые являются четыре √ 0.Δ ребра друг от друга на геодезической большой окружности. Есть 720 различных хорд √ 3.𝚽 в 360 параллельных парах, разделенных √ 0.𝚫 .

В √ 4 аккордов встречаются в виде 60 длинных диаметров (75 комплектов 4 ортогональных осей), 120 длинных радиусов 600-клетки. В √ 4 аккорда присоединиться противоположные вершины , которые являются пять √ 0.Δ края друг от друга на геодезического большой круг. Есть 25 различных, но перекрывающихся наборов 12 диаметров, каждый из которых состоит из 25 вписанных 24 ячеек. [v]

Сумма квадратов длин [w] всех этих различных хорд 600-ячейки равна 14 400 = 120 2 . [x] Это все геодезические, проходящие через вершины, но 600-ячейка имеет по крайней мере еще одну геодезическую, которая не проходит через какие-либо вершины. [y]

Пограничные конверты [ править ]

600-ячейка округляет 24-ячейку, добавляя еще 96 вершин между существующими 24-ячеечными вершинами, фактически добавляя еще двадцать четыре перекрывающиеся 24-ячейки, вписанные в 600-ячейку. [z] Новая поверхность, образованная таким образом, представляет собой мозаику из более мелких и более многочисленных ячеек [aa] и граней: тетраэдров с длиной ребра.1/φ≈ 0,618 вместо октаэдров длины кромки 1. окружает √ 1 ребро 24-клеток, которые становятся внутренними аккордами в 600-клетке, подобно √ 2 и √ 3 аккордов .

Поскольку тетраэдры состоят из более коротких ребер треугольников, чем октаэдры (в раз 1/φ, обратное золотое сечение), 600-элементная ячейка не имеет единичной длины ребра в системе координат единичного радиуса, как 24-ячейка и тессеракт; в отличие от этих двух, 600-элементный не является радиально равносторонним . Как и они, он особым образом имеет радиально-треугольную форму, но в центре которого встречаются золотые треугольники, а не равносторонние треугольники. [п]

Граничная оболочка из 600 маленьких тетраэдрических ячеек охватывает двадцать пять огибающих из 24 октаэдрических ячеек (добавляя некоторое 4-мерное пространство в местах между этими 3-мерными оболочками). Форма этих промежутков должна быть какой-то восьмигранной четырехугольной пирамидой , но в 600-ячейке она не правильная . [ab]

Конструкции [ править ]

600-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, 120-ячеечного и многоугольников {7} и выше. [18] Следовательно, существует множество способов сконструировать или разобрать 600-ячейку, но ни один из них не является тривиальным. Конструкцию 600-элементного устройства по сравнению с его обычным предшественником, 24-элементным, трудно представить.

Конструкция Госсета [ править ]

Торольд Госсет открыл полуправильные 4-многогранники , в том числе курносый 24-клеточный с 96 вершинами, который находится между 24-клеточным и 600-клеточным в последовательности выпуклых 4-многогранников возрастающего размера и сложности в том же радиусе. Госсет конструирует 600-элементный из 24-элементного в два этапа, используя курносый 24-элементный в качестве промежуточной формы. На первом, более сложном этапе (описанном в другом месте ) курносая 24-ячейка конструируется посредством специального курносого усечения 24-элементной ячейки по золотым сечениям ее краев. [7] На втором этапе 600-элементная ячейка строится простым способом путем добавления 4-пирамид (вершин) к граням пренебрежительной 24-ячейки. [19]

Курносая 24-ячейка - это уменьшенная 600-ячеечная, из которой 24 вершины (и кластер из 20 тетраэдрических ячеек вокруг каждой) были усечены, оставив "плоскую" икосаэдрическую ячейку на месте каждой удаленной икосаэдрической пирамиды. [a] Таким образом, курносая 24-ячейка имеет 24 икосаэдрические ячейки и оставшиеся 120 тетраэдрических ячеек. Второй шаг построения Госсета 600-ячеек - это просто обратное этому уменьшению: на каждую икосаэдрическую ячейку помещается икосаэдрическая пирамида из 20 тетраэдрических ячеек.

Построение 600-элементной ячейки единичного радиуса из ее предшественницы 24-элементной ячейки единичного радиуса методом Госсета на самом деле требует трех шагов. Предшественник с 24 ячейками для ячейки с курносым 24 не имеет того же радиуса: он больше, поскольку ячейка с курносым 24 является его усечением. Начиная с 24-элементной ячейки с единичным радиусом, первый шаг состоит в том, чтобы возвратно-поступательно перемещать ее вокруг своей средней сферы, чтобы построить ее внешний канонический двойник : более крупную 24-элементную ячейку, поскольку 24-элементная самодвойственная. Эти более крупные 24-элементные ячейки затем могут быть усечены курносым до 24-элементного промежуточного радиуса.

Кластеры клеток [ править ]

Поскольку это так косвенно, конструкция Госсета может не очень помочь нам непосредственно визуализировать, как 600 тетраэдрических ячеек вписываются вместе в трехмерную поверхностную оболочку, [аа] или как они лежат на нижней поверхностной оболочке октаэдра с 24 ячейками. клетки. Для этого полезно построить 600-элементную ячейку непосредственно из кластеров тетраэдрических ячеек.

Большинство из нас испытывают трудности с визуализацией 600-ячеек снаружи в 4-мерном пространстве или с распознаванием внешнего вида 600-ячеек из-за полного отсутствия у нас сенсорного опыта в 4-мерных пространствах, но мы должны быть в состоянии визуализировать Поверхностная оболочка из 600 ячеек изнутри, потому что этот объем является трехмерным пространством, в котором мы могли бы «ходить» и исследовать. [20] В этом упражнении по созданию 600-ячеечной ячейки из кластеров ячеек мы полностью находимся в трехмерном пространстве, хотя и в странно маленьком замкнутом изогнутом пространстве, в котором мы можем пройти всего десять ребер по прямой линию в любом направлении и вернуться к нашей отправной точке.

Икосаэдры [ править ]
Правильный икосаэдр, окрашенный в симметрию курносого октаэдра . [ac] Икосаэдры в 600-ячейке соединены гранями друг с другом на желтых гранях и с кластерами из 5 тетраэдрических ячеек на синих гранях. Вершина икосаэдрической пирамиды (не видна) - это 13-я вершина из 600 ячеек внутри икосаэдра (но над его гиперплоскостью).
Кластер из 5 тетраэдрических ячеек: четыре ячейки, соединенные лицевой стороной вокруг пятой ячейки (не видно). Четыре ячейки лежат в разных гиперплоскостях.

Вершина фигуры из 600-клеток является икосаэдр . [a] Двадцать тетраэдрических ячеек встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду , вершиной которой является вершина, окруженная своим основанием икосаэдром. 600-клетка имеет двугранный угол из𝜋/3 + arccos (-1/4) ≈ 164,4775 ° . [22]

Целые 600 ячеек могут быть собраны из 24 таких икосаэдрических пирамид (соединенных лицом к лицу на 8 из 20 граней икосаэдра, окрашены в желтый цвет на иллюстрации), плюс 24 кластера по 5 тетраэдрических ячеек (четыре ячейки соединены лицевыми сторонами. вокруг одного), которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами. Шесть кластеров по 5 ячеек окружают каждый икосаэдр, а шесть икосаэдров окружают каждый кластер из 5 ячеек. Каждый край икосаэдра окружают пять тетраэдрических ячеек: две от пирамиды икосаэдра и три от кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти). Каждый икосаэдр соединен гранями с каждым соседним кластером из 5 ячеек двумя синими гранями, которые имеют общее ребро (которое также является одним из шести ребер центрального тетраэдра из пяти).

Вершины 24 икосаэдрических пирамид являются вершинами 24-ячейки, вписанной в 600-ячейку. Остальные 96 вершин (вершины икосаэдров) являются вершинами вписанной курносой 24-ячейки , которая имеет точно такую ​​же структуру икосаэдров и тетраэдров, описанных здесь, за исключением того, что икосаэдры не являются 4-пирамидами, заполненными тетраэдрическими ячейками; они всего лишь «плоские» трехмерные икосаэдрические клетки.

Разделение 600-ячеек на кластеры по 20 ячеек и кластеры по 5 ячеек является искусственным, поскольку все ячейки одинаковы. Можно начать с выбора кластера икосаэдрических пирамид с центром в любой произвольно выбранной вершине. Таким образом, в 600-ячейке 120 перекрывающихся икосаэдров.

Раскрасить икосаэдры с 8 желтыми и 12 синими гранями можно 5 различными способами. [ad] Таким образом, вершина каждой пирамиды икосаэдра является вершиной из 5 различных 24-ячеек, а 120 вершин содержат 25 (а не 5) 24-ячеек. [z]

Икосаэдры соединены гранями в геодезические «прямые линии» своими противоположными гранями, изогнутыми в четвертом измерении в кольцо из шести икосаэдрических пирамид. Их вершины - вершины шестиугольника большого круга . Эта шестиугольная геодезическая пересекает кольцо из 12 тетраэдрических ячеек, попеременно связанных лицом к лицу и вершиной к вершине. Длинный диаметр каждой соединенной гранями пары тетраэдров (каждой треугольной бипирамиды ) представляет собой ребро шестиугольника (ребро с 24 ячейками).

Тетраэдрические ячейки соединены гранями в спирали , изогнутые в четвертом измерении в кольца из 30 тетраэдрических ячеек. [ae] Их ребра образуют геодезические «прямые» из 10 ребер: декагоны большого круга . Каждый тетраэдр, имеющий шесть ребер, участвует в шести различных декагонах.

Октаэдра [ править ]

Есть еще один полезный способ разделить поверхность из 600 ячеек на 24 кластера по 25 тетраэдрических ячеек, который выявляет больше структуры [23] и прямое построение 600-ячеечной поверхности по сравнению с ее предшественником, 24-ячейкой.

Начните с любого из кластеров из 5 ячеек (см. Выше) и рассмотрите его центральную ячейку как центральный объект нового большего кластера тетраэдрических ячеек. Центральная ячейка - это первая часть из 600 ячеек, начинающаяся с ячейки. Окружив его большим количеством тетраэдрических ячеек, мы можем достичь более глубоких участков, начиная с ячейки.

Во-первых, обратите внимание, что кластер из 5 ячеек состоит из 4 перекрывающихся пар связанных гранями тетраэдров ( треугольных дипирамид ), чей длинный диаметр представляет собой край из 24 ячеек (ребро шестиугольника) длины √ 1 . Еще шесть треугольных дипирамид помещаются во впадины на поверхности кластера из 5, [af], поэтому внешние хорды, соединяющие его 4 апикальные вершины, также являются ребрами с 24 ячейками длины √ 1 . Они образуют тетраэдр с длиной ребра √ 1 , который является вторым участком 600-ячейки, начинающейся с ячейки. [ag] В 600 ячейке 600 таких √ 1 тетраэдрических секций. [ах]

Шесть треугольных дипиамидов вписываются во впадины, и появляется 12 новых ячеек и 6 новых вершин в дополнение к 5 ячейкам и 8 вершинам исходного кластера. 6 новых вершин образуют третью часть 600-ячеечной ячейки, начиная с ячейки, октаэдра с длиной ребра √ 1 , очевидно, ячейки 24-ячейки. Поскольку этот октаэдр √ 1 пока частично заполнен (17 тетраэдрических ячеек), он имеет вогнутые грани, в которые вписывается короткая треугольная пирамида; он имеет такой же объем, что и обычная тетраэдрическая ячейка, но неправильную тетраэдрическую форму. [ai] Каждая октаэдрическая ячейка состоит из 1 + 4 + 12 + 8 = 25 тетраэдрических ячеек: 17 правильных тетраэдрических ячеек плюс 8 объемно эквивалентных тетраэдрических ячеек, каждая из которых состоит из 6 1/6 фрагментов из 6 различных правильных тетраэдрических ячеек, каждая из которых охватывает три соседние октаэдрические ячейки.

Таким образом, 600-ячейка единичного радиуса построена непосредственно из ее предшественницы, [ab] 24-ячейка единичного радиуса, путем размещения на каждой из ее октаэдрических граней усеченной [aj] неправильной октаэдрической пирамиды из 14 вершин [ak], построенной ( описанным выше способом) из 25 правильных тетраэдрических ячеек с длиной ребра1/φ ≈ 0,618.

Вращения [ править ]

600 ячеек создается поворотом 24 ячеек с шагом 36 ° =𝜋/5 (дуга одной длины ребра в 600 ячеек).

В 600 ячейке 25 вписанных 24 ячеек. Следовательно, есть также 25 вписанных курносых 24-ячеек, 75 вписанных тессерактов и 75 вписанных 16-ячеек. [z]

8-вершинная 16-секционная ячейка имеет 4 длинных диаметра, наклоненных под углом 90 ° = 𝜋/2 друг к другу, часто принимаемые за 4 ортогональные оси системы координат.

24-элементный 24-элементный элемент имеет 12 длинных диаметров, наклоненных под углом 60 ° = 𝜋/3друг к другу: 3 непересекающихся набора из 4 ортогональных осей, каждый набор состоит из диаметров одной из 3 вписанных 16-ячеек, изоклинически повернутых на𝜋/3 по отношению друг к другу.

120-вершинная 600-ячейка имеет 60 длинных диаметров: не только 5 непересекающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых состоит из 5 вписанных 24-ячеек (как мы могли бы подозревать по аналогии), но и 25 различных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый состоящий из 25 вписанных 24 ячеек. Там есть 5 непересекающиеся 24-клетки в 600-клетки, но не только 5: Есть 10 различных способов сегментировать 600-клетки в 5 непересекающихся 24-клеток. [v]

24 ячейки поворачиваются друг относительно друга с шагом 𝜋/5. Расстояние вращения между вписанными 24 ячейками всегда равно двойному вращению с шагом от 0 до 4.𝜋/5 в одной инвариантной плоскости, в сочетании с 0-4 приращениями 𝜋/5в ортогональной инвариантной плоскости, где инвариантные плоскости - это любые два ортогональных центральных декагона . Результат этих двух простых вращений с 5 щелчками мыши дает 25 различных способов выбрать 24 вершины 24-ячеечной из 120 вершин 600-ячеечной.

Радиальные золотые треугольники [ править ]

600-ячейка может быть построена в радиальном направлении из 720 золотых треугольников с длинами ребер √ 0.𝚫 √ 1 √ 1, которые пересекаются в центре 4-многогранника, каждый из которых дает два радиуса √ 1 и ребро √ 0.𝚫 . [p] Они образуют 1200 треугольных пирамид с вершинами в центре: неправильные тетраэдры с равносторонними основаниями √ 0.𝚫 (грани 600-ячейки). Они образуют 600 тетраэдрических пирамид с вершинами в центре: неправильные 5 ячеек с правильными основаниями тетраэдра √ 0.𝚫 (ячейки 600-ячеек).

Как конфигурация [ править ]

Эта конфигурационная матрица [24] представляет собой 600 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 600 ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

Вот конфигурация, расширенная элементами k -face и k -figures. Количество диагональных элементов - это отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

H 4CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngk -facef kf 0f 1ж 2ж 3k -figНоты
H 3CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png()f 0120123020{3,5}H 4 / H 3 = 14400/120 = 120
А 1 Н 2CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png{}f 1272055{5}H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
А 2 А 1CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png{3}ж 23312002{}H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
А 3CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.png{3,3}ж 3464600()H 4 / A 3 = 14400/24 ​​= 600

Симметрии [ править ]

В icosians представляют собой специфический набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-клетки. [25] Икозианы лежат в золотом поле ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных - рациональные числа . [26] Конечные суммы 120 единичных икозианов.называются икозиевым кольцом .

При интерпретации как кватернионы 120 вершин 600-ячеек образуют группу при кватернионном умножении. Эта группа часто называется бинарной икосаэдрической группа и обозначается 2I , как это двойное покрытие из обычной икосаэдра группы I . Он встречается дважды в группе вращательной симметрии RSG 600-клеточной подгруппы как инвариантная подгруппа , а именно как подгруппа 2I L кватернионных умножений слева и как подгруппа 2I R кватернионных умножений справа. Каждая вращательная симметрия 600-ячеек создается определенными элементами 2IL и 2I R ; пара противоположных элементов порождает один и тот же элемент RSG . Центр из RSG состоит из не-вращения Id и центральной инверсии -id . Имеет место изоморфизм RSG ≅ (2I L × 2I R ) / {Id, -Id} . Порядок RSG равен120 × 120/2 = 7200.

Двоичная икосаэдрическая группа изоморфна к SL (2,5) .

Полная группа симметрии из 600-клеток является группа Вейля из H 4 . [27] Это группа порядка 14400. Она состоит из 7200 вращений и 7200 вращений-отражений. Вращения образуют инвариантную подгруппу полной группы симметрии. Группа вращательной симметрии описана С.Л. ван Оссом. [28]

Визуализация [ править ]

Симметрии трехмерной поверхности 600-ячеек довольно трудно визуализировать из-за большого количества тетраэдрических ячеек [aa] и того факта, что тетраэдр не имеет противоположных граней или вершин. Можно начать с осознания того, что 600-ячеечная - двойная 120-ячеечная. Можно также заметить, что 600-ячейка также содержит вершины додекаэдра [18], которые с некоторым усилием можно увидеть в большинстве перспективных проекций ниже.

Союз двух торов [ править ]

100 тетраэдров в массиве 10 × 10, образующем границу тора Клиффорда в 600 ячейке.

120-ячейка может быть разложена на два непересекающихся тора . Поскольку он является двойником 600-ячеечной, такая же структура двойных торов существует и в 600-ячейке, хотя она несколько более сложна. Геодезический путь из 10 ячеек в 120 ячейках соответствует десятиугольному пути с 10 вершинами в 600 ячейках. Начните со сборки пяти тетраэдров вокруг общего ребра. Эта конструкция чем-то напоминает угловатую «летающую тарелку». Сложите десять штук, от вершины к вершине, в стиле «блин». Заполните кольцевое кольцо между каждым «блюдцем» 10 тетраэдрами, образующими икосаэдр. Вы можете рассматривать это как пять уложенных вершинами икосаэдрических пирамид с заполненными пятью дополнительными кольцевыми кольцевыми зазорами. Поверхность такая же, как у десяти уложенных друг на друга пятиугольных антипризм.. Теперь у вас есть тор, состоящий из 150 ячеек, десяти ребер в длину, со 100 открытыми треугольными гранями, 150 открытыми ребрами и 50 открытыми вершинами. Сложите по одному тетраэдру на каждую открытую грань. Это даст вам несколько неровный тор из 250 ячеек с 50 приподнятыми вершинами, 50 вершинами впадин и 100 краями впадин. Впадины представляют собой замкнутые пути длиной 10 ребер и соответствуют другим примерам пути десятиугольника с 10 вершинами, упомянутым выше. Эти пути вращаются по спирали вокруг центрального пути ядра, но математически все они эквивалентны. Постройте второй идентичный тор из 250 ячеек, который соединяется с первым. Это 500 ячеек. Эти два тора соединяются вместе с вершинами долины, касающимися приподнятых вершин, оставляя 100 тетраэдрических пустот, которые заполняются оставшимися 100 тетраэдрами, соприкасающимися по краям впадины.Этот последний набор из 100 тетраэдров находится на точной границедуоцилиндр и образуют клиффорд тор . Их можно «развернуть» в квадратный массив 10х10. Между прочим, эта структура образует один тетраэдрический слой в тетраэдрическо-октаэдрической соте .


Одиночное кольцо из 30 тетраэдров Спираль Бурдейка – Кокстера в 600- ячеечной стереографической проекции
Кольцо из 30 тетраэдров можно увидеть по периметру этой 30-угольной ортогональной проекции.

С обеих сторон имеется ровно 50 углублений и выступов «ящика для яиц», которые сопрягаются с торами на 250 ячеек. При этом в каждое углубление вместо октаэдра, как в сотах, помещается треугольная бипирамида, составленная из двух тетраэдров.

600 ячеек можно дополнительно разделить на 20 непересекающихся переплетающихся колец по 30 ячеек и десять ребер в длину каждое, образуя дискретное расслоение Хопфа . [29] Эти цепочки из 30 тетраэдров каждая образуют спираль Бордейка – Кокстера . Пять таких спиралей гнездятся и закручиваются вокруг каждой из десятиугольных траекторий с 10 вершинами, образуя первоначальный тор из 150 ячеек, упомянутый выше. Центральная ось каждой спирали представляет собой геодезическую с 30 углами, которая не пересекает никаких вершин. [y]

Это разложение на 600 ячеек имеет симметрию [[10,2 + , 10]], порядок 400, ту же симметрию, что и большая антипризма . Большая антипризма - это всего лишь 600-ячеечная с удаленными двумя вышеупомянутыми 150-ячеечными торами, оставляя только один средний слой тетраэдров, подобный поясу икосаэдра с удаленными 5 верхними и 5 нижними треугольниками (пятиугольная антипризма).

2D проекции [ править ]

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Ортогональные проекции на плоскостях кокстеровских
H 4-П 4

[30]
[20]
[12]
H 3A 2 / B 3 / D 4A 3 / B 2

[10]
[6]
[4]

3D-проекции [ править ]

Трехмерная модель 600-ячеек из коллекции Института Анри Пуанкаре была сфотографирована в 1934–1935 годах Ман Рэем и стала частью двух его более поздних картин «Шекспировское уравнение». [30]

Вершинная проекция
На этом изображении показана перспективная проекция 600-ячеек в первую очередь вершины в 3D. 600-ячейка масштабируется до радиуса центра вершины, равного 1, а четырехмерная точка обзора размещается на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения:
  • 20 тетраэдров, пересекающихся в вершине, ближайшей к точке обзора 4D, отображаются сплошным цветом. Их икосаэдрическое расположение ясно показано.
  • Тетраэдры, непосредственно примыкающие к этим 20 ячейкам, окрашены в прозрачный желтый цвет.
  • Остальные ячейки отображаются контурами по краям.
  • Клетки, обращенные от точки обзора 4D (те, что лежат на «дальней стороне» 600-ячеек) были отбракованы, чтобы уменьшить визуальный беспорядок на окончательном изображении.
Клеточная проекция.
На этом изображении показана трехмерная перспективная проекция на 600 ячеек. Опять же, 600 ячеек до радиуса центра вершины, равного 1, и точка обзора 4D расположены на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения:
  • Ближайшая к 4-й точке обзора ячейка отображается сплошным цветом и располагается в центре проецируемого изображения.
  • Окружающие его ячейки (имеющие как минимум 1 вершину) отображаются прозрачным желтым цветом.
  • Остальные ячейки отображаются контурами по краям.
  • Клетки, обращенные от точки обзора 4D, были выбраны для ясности.

Эта конкретная точка обзора показывает красивый контур из 5 тетраэдров, разделяющих ребро, по направлению к передней части трехмерного изображения.

Простое вращение
Трехмерная проекция 600-элементного изображения, выполняющего простое вращение .
Концентрические корпуса
600-ячеечная проекция проецируется в 3D с использованием ортонормированной основы. Вершины сортируются и вычисляются по их трехмерной норме. Создание все более прозрачной оболочки каждого набора сводных норм показывает пары:

1) точки в начале координат
2) икосаэдры
3) додекаэдры
4) икосаэдры
5) и один икосадодекаэдр,
всего 120 вершин.

Покадровое синхронизированное анимированное сравнение 600 ячеек с использованием ортогональной изометрической (слева) и перспективной (справа) проекций.

Стереографическая проекция (на 3 сферы )
Сотовый центр. 720 ребер 600-ячеек можно увидеть здесь как 72 круга, каждый из которых разделен на 10 дугообразных ребер на пересечениях. Каждая вершина имеет 6 пересекающихся кругов.

Уменьшено 600 ячеек [ править ]

Вздернутые 24-клетки могут быть получены из 600-ячейки, удалив вершины вписанной 24-клетки и принимая выпуклую оболочку из остальных вершин. Этот процесс является уменьшением 600-элементного.

Большую антипризму можно получить путем другого уменьшения 600-ячейки: удаления 20 вершин, лежащих на двух взаимно ортогональных кольцах, и взятия выпуклой оболочки оставшихся вершин.

Из 600-ячеек с уменьшенным bi-24 и со всеми уменьшенными до трех ячеек икосаэдра 48 вершин удалены, в результате чего остается 72 из 120 вершин 600-ячеек. Двойник из 600-ячеек с уменьшенным bi-24, представляет собой 600-ячейку с уменьшенным tri-24, с 48 вершинами и 72 ячейками шестигранника.

Всего имеется 314 248 344 уменьшения 600-ячеек из-за несмежных вершин. Все они состоят из правильных тетраэдрических и икосаэдрических ячеек. [31]

Уменьшено 600 ячеек
ИмяTri-24-уменьшенный 600-элементныйBi-24-уменьшенный 600-элементныйSnub 24-элементный
(24-уменьшенный 600-элементный)		Большая антипризма
(20 уменьшенных 600-ячеек)		600 ячеек
Вершины487296100120
Фигура вершины
(симметрия)
двойственный к трехуменьшенному икосаэдру
([3], порядок 6)
тетрагональный антивид
([2] + , порядок 2)
трехуменьшенный икосаэдр
([3], порядок 6)
двумерный икосаэдр
([2], порядок 4)
Икосаэдр
([5,3], порядок 120)
СимметрияЗаказ 144 (48 × 3 или 72 × 2)[3 + , 4,3]
Порядок 576 (96 × 6)		[[10,2 + , 10]]
Порядок 400 (100 × 4)		[5,3,3]
Заказать 14400 (120 × 120)
Сеть
Орто
H 4 плоскость
Самолет Орто
F 4

Связанные сложные многоугольники [ править ]

В обычных сложных многогранниках 3 {5} 3 ,CDel 3node 1.pngCDel 5.pngCDel 3node.pngи 5 {3} 5 ,CDel 5node 1.pngCDel 3.pngCDel 5node.png, в реальном представлении в виде 600 ячеек в 4-мерном пространстве. Оба имеют 120 вершин и 120 ребер. Первый имеет комплексную группу отражений 3 [5] 3 , порядок 360, а второй имеет симметрию 5 [3] 5 , порядок 600. [32]

Правильный комплексный многогранник в ортогональной проекции плоскости Кокстера H 4

{3,3,5}
Заказ 14400
3 {5} 3
Заказ 360
5 {3} 5
Заказ 600

Связанные многогранники и соты [ править ]

600-ячейка - это один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией [3,3,5]:

Семейные многогранники H 4
120 ячееквыпрямленный 120-элементныйусеченный 120-ячеечныйскошенный 120-элементныйбеглый 120-клеточныйусеченный 120-элементныйусеченный 120- ячеечныйусеченная 120-ячеечная
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{5,3,3}г {5,3,3}т {5,3,3}рр {5,3,3}т 0,3 {5,3,3}tr {5,3,3}т 0,1,3 {5,3,3}т 0,1,2,3 {5,3,3}
600 ячееквыпрямленный 600-элементныйусеченный 600-ячеечныйскошенный 600-ячеечныйусеченный по битам, 600 ячеекусеченный 600- ячеечныйусеченный 600- ячеечныйомниусеченный, 600 ячеек
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5}г {3,3,5}т {3,3,5}р-р {3,3,5}2т {3,3,5}tr {3,3,5}т 0,1,3 {3,3,5}т 0,1,2,3 {3,3,5}

Он аналогичен трем правильным 4-многогранникам : 5-клеточному {3,3,3}, 16-клеточному {3,3,4} евклидовому 4-пространству и тетраэдрическим сотам порядка 6 {3,3, 6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические ячейки.

{3,3, p} многогранники
КосмосS 3H 3
ФормаКонечныйПаракомпактНекомпактный
Имя{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png		{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{3,3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png		{3,3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png		{3,3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png		... {3,3, ∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
Изображение

Фигура вершины
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png
{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel label4.png
{3, ∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

Этот 4-многогранник является частью последовательности 4-многогранника и сот с фигурами вершин икосаэдра :

{p, 3,5} многогранники
КосмосS 3H 3
ФормаКонечныйКомпактныйПаракомпактНекомпактный
Имя{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{5,3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{6,3,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{7,3,5}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		{8,3,5}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		... {∞, 3,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Изображение
Клетки
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{∞, 3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

См. Также [ править ]

  • 24-элементный , предшественник 4 -элементного многогранника, на котором основан 600-элементный
  • 120-элементный , двойной 4-многогранник для 600-элементного и его преемник
  • Семейство однородных 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
  • Правильный 4-многогранник
  • Многогранник

Заметки [ править ]

  1. ^ a b c d e f В трехмерном пространстве граничной поверхности из 600 ячеек в каждой вершине находятся двенадцать ближайших других вершин, окружающих вершину, как вершины икосаэдра окружают его центр. Двенадцать ребер с 600 ячейками сходятся в центре икосаэдра, где они, кажется, образуют шесть пересекающихся прямых линий. Однако центр фактически смещен в 4-м измерении (радиально наружу от центра 600-ячейки) за пределы гиперплоскости, определяемой вершинами икосаэдра. Таким образом, вершинный икосаэдр на самом деле является канонической икосаэдрической пирамидой , состоящей из 20 правильных тетраэдров на правильном основании икосаэдра.
  2. ^ Выпуклые правильные 4-многогранники могут быть упорядочены по размеру как мера 4-мерного содержимого (гипертема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый, чем его предшественник, и включает больше содержимого [3] в пределах того же радиуса. 4-симплексный (5-ячеечный) наименьший предельный случай, а 120-ячеечный - самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового наименования для регулярных многогранников, в которой 600-ячеечный является 4-многогранником из 120 точек: пятая в возрастающей последовательности, которая проходит от 5-точечного 4-многогранника до 600-точечного 4-многогранника.
  3. ^ Длина кромки всегда будет отличатьсяесли предшественник и преемник не как в радиальном направлении равносторонняя, то есть их длина ребра это же , как их радиус (так как сохраняется). Поскольку радиально равносторонние многогранники встречаются редко, единственная такая конструкция (в любом измерении) - от 8-ячеечной до 24-элементной.
  4. ^ а б
    Геометрия вершин радиально равносторонней 24-ячейки, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорды между вершинами.
    Геометрия с 600 ячейками основана на 24 ячейках . 600-ячеечный завершает 24-ячеечный еще 2 многоугольниками большого круга (внешний десятиугольник и внутренний пятиугольник), добавляя еще 4 длины хорды, которые чередуются с длинами хорды 4 24-х элементов.
  5. ^ a b 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24 ячейками каждая 24 ячейки не пересекается с 8 24 ячейками и пересекает каждую из остальных 16 24 ячеек в шести вершинах, которые образуют шестиугольник. [8] 600-ячейка содержит 25 ・ 16/2 = 200 таких шестиугольников.
  6. ^ В случаях, когда вписанные 4-многогранники одного вида занимают непересекающиеся наборы вершин (например, две 16-ячейки, вписанные в тессеракт, или три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку), их наборы хорд вершин и центральные многоугольники также не должны пересекаться. В случаях, когда у них общие вершины (например, три тессеракта, вписанные в 24-ячейку, или 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку), они также могут иметь общие хорды вершин и центральные многоугольники. [e]
  7. ^ a b Каждая из 25 24-ячеек 600-ячейки содержит ровно одну вершину (или ни одной вершины) каждого правильного пятиугольника. [8]
  8. ^ Ребра 600-ячеек образуют геодезические (большой круг) декагон. Можно выделить шесть ортогональных декагонов, лежащих (например) в шести ортогональных плоскостях 4-осевой системы координат. Будучи полностью ортогональными, эти декагоны не имеют общих вершин (они «пропускают» друг друга и пересекаются только в одной точке, их общем центре). Таким образом, они содержат 60 различных вершин: половину вершин 600-ячейки. По симметрии, остальные 60 вершин должны иметь точно такую ​​же (конгруэнтную) конфигурацию, что и другой набор из шести ортогональных декагонов (повернутых изоклинически по отношению к первому набору).
  9. ^ 6 ортогональных пятиугольников в каждом наборе не имеют общих вершин, потому что в четырех измерениях ортогональные плоскости, проходящие через центральную точку, не пересекаются ни в каких других точках, только в этом общем центре. Два пятиугольника в разных ортогональных наборах не ортогональны, поэтому они пересекаются по линии, имея общий диаметр 600-ячеек, но у них нет общих вершин, потому что пятиугольники не имеют противоположных вершин. (Чтобы гарантировать, что неортогональные пятиугольники пересекают друг друга, не разделяя вершину, 4 набора должны быть выбраны соответствующим образом; 600-ячеечная имеет 75 наборов по 6 ортогональных плоскостей, три набора определяют каждую 24-ячейку.)
  10. ^ Углы i и 𝜉 j - это углы поворота в двух ортогональных инвариантных плоскостях, которые характеризуют вращения в 4-мерном евклидовом пространстве . Угол 𝜂 - это наклон обеих этих плоскостей от оси север-юг полюса, где 𝜂 находится в диапазоне от 0 до𝜋/2. Координаты (𝜉 i , 0, 𝜉 j ) описывают большие круги, которые пересекаются на северном и южном полюсах («линии долготы»). (𝜉 i ,𝜋/2, 𝜉 j ) координаты описывают большие окружности, ортогональные долготе («экватору»); в 4-многограннике более одного экватора. Остальные координаты Хопфа (𝜉 i , 0 <𝜂 <𝜋/2, 𝜉 j ) описывают большие круги ( не «линии широты»), которые пересекают экватор, но не проходят через северный или южный полюс.
  11. ^ Преобразование из координат Хопфа (𝜉 i , 𝜂, 𝜉 j ) в декартовы координаты единичного радиуса (w, x, y, z):
    ш = соз 𝜉 я грех 𝜂
    x = cos 𝜉 j cos 𝜂
    у = грех 𝜉 j соз 𝜂
    г = грех 𝜉 я грех 𝜂
    «Северный полюс Хопфа» (0, 0, 0) является декартовым (0, 1, 0, 0).
    «Декартов северный полюс» (1, 0, 0, 0) - это Hopf (0,𝜋/2, 0).
  12. ^ В координатах Хопфа [9] являются тройками трех углов:
    (𝜉 я , 𝜂, 𝜉 j )
    которые параметризуют 3-сферу , нумеруя точки вдоль ее больших окружностей. Координата Хопфа описывает точку как поворот от «северного полюса» (0, 0, 0). [j] Координаты Хопфа являются естественной альтернативой декартовым координатам [k] для оснащения правильных выпуклых 4-многогранников, потому что группа 4-мерных вращений , обозначенная SO (4), порождает эти многогранники.
  13. ^ Есликоординаты𝜉 i и 𝜉 j переставляются независимо, существует 600 перестановок этих координат, но в 600-ячейке всего 120 вершин. 600 точек - это вершины 120-ячеек, которые можно рассматривать как соединение пяти непересекающихся 600-ячеек.
  14. ^ a b c Золотые аккорды с дробным корнем иллюстрируют, что золотое сечение ϕ представляет собой круговое отношение, связанное с 𝜋 :
    𝜋/5 = arccos (ϕ/2)
    один край десятиугольник, то √ 0.Δ = √ 0,382 = 0,618 = Φ хорды. Взаимно, в:
    ϕ = 1-2 cos (3𝜋/5)
    3𝜋/5- длина дуги хорды √ 2.𝚽 = √ 2.618 = 1.618 = ϕ .
  15. ^ a b Ребра из 600 ячеек представляют собой ребра десятиугольника длиной √ 0.𝚫 , то есть 𝚽, меньшее золотое сечение √ 5 ; края находятся в обратном золотом сечении 1/φк √ 1 шестигранной хорд (24-клеточные края). Другие аккорды с дробным корнем также демонстрируют золотые отношения. Хорда длины √ 1.𝚫 представляет собой ребро пятиугольника. Следующая хорда с дробным корнем - это диагональ десятиугольника длины √ 2., которая равна φ , большему золотому сечению √ 5 ; он находится в золотом соотношении [n] к хорде √ 1 (и радиусу). [r] Последняя хорда с дробным корнем - это диагональ пятиугольника длины √ 3.𝚽 . Диагонали правильного пятиугольникавсегда находится в золотой пропорции к своему краю, и действительно, φ √ 1.𝚫 равно √ 3.𝚽 .
  16. ^ a b c d Длинный радиус (от центра до вершины) 600-ячейки находится в золотом сечении по отношению к длине его края; таким образом, его радиус равен ϕ, если длина его кромки равна 1, а длина кромки равна1/ϕесли его радиус равен 1. Этим свойством обладают только несколько однородных многогранников, включая четырехмерный 600-элементный, трехмерный икосододекаэдр и двумерный десятиугольник . (The икосододекаэдр является экваториальным сечением 600-клеток, а также десятиугольник является экваториальным сечением икосододекаэдра.) С радиальными золотыми многогранники являются те , которые могут быть построены с их радиусами, от золотых треугольников [с] , которые встречаются в центр, каждый из которых дает два радиуса и край.
  17. ^ Дробные квадратные корни даны как десятичные дроби, где 𝚽 ≈ 0,618 - обратное золотое сечение.1/φи 𝚫 ≈ 0,382 = 1 - 𝚽 = 𝚽 2 . Например:
               √ 0.𝚫 = √ 0,382 = 0,618 = 𝚽
  18. ^ Обратите внимание на диаграмме, какхорда φ ( большее золотое сечение) суммируется с соседним краем 𝚽 ( меньшее золотое сечение) с √ 5 , как если бы вместе они былихордой √ 5, изогнутой так, чтобы соответствоватьдиаметру √ 4 .
  19. ^ Б с A золотого треугольника является равнобедренным треугольником , в котором дублированная стороне находится в золотой пропорции к отдельной стороне Ь :
    а/б = ϕ = 1 + √ 5/2 ≈ 1,618
    Его можно найти в правильном десятиугольнике , соединив любые две соседние вершины с центром, и в правильном пятиугольнике , соединив любые две соседние вершины с вершиной напротив них.
    Угол при вершине:
    𝛉 = arccos (ϕ/2знак равно 𝜋/5 = 36 °
    так что базовые углы каждый 2𝜋/5= 72 °. Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, у которого есть три угла в пропорции 2: 2: 1.
  20. ^ 10 шестиугольников, которые пересекаются в каждой вершине, лежат вдоль 20 коротких радиусов вершины икосаэдра. [а]
  21. ^ Каждая из 25 вписанных 24 ячеек имеет 3 вписанных тессеракта, каждая из которых имеет 8 √ 1 кубических ячеек. Хорды 1200 √ 3 - это 4 длинных диаметра этих 600 кубов; 3 тессеракта перекрываются, и каждая хорда представляет собой длинный диаметр куба в двух разных тессерактах.
  22. ^ a b Схоут был первым, кто заявил (сто лет назад), что существует ровно десять способов разделить 120 вершин 600-ячейки на пять непересекающихся 24-ячеек. 25 24-ячеек можно разместить в массиве 5 x 5, так что каждая строка и каждый столбец массива разделяют 120 вершин 600-ячеек на пять непересекающихся 24-ячеек. Строки и столбцы массива - единственные десять таких разделов из 600 ячеек. [17]
  23. ^ Сумма 0.𝚫 ・ 720 + 1 ・ 1200 + 1.𝚫 ・ 720 + 2 ・ 1800 + 2.𝚽 ・ 720 + 3 ・ 1200 + 3.𝚽 ・ 720 + 4 ・ 60 составляет 14 400.
  24. ^ Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату количества вершин. [16]
  25. ^ a b 600 ячеек расположены в 20 непересекающихся скрученных колец по 30 тетраэдров в каждом. Центральная ось каждой спирали Бурдейка – Кокстера из 30 тетраэдров образует 30-угольник, причем каждый сегмент проходит через тетраэдр аналогично. Эта геодезическая полностью находится на трехмерной поверхности; отрезки не хорды. Он не касается ребер или вершин, но сталкивается с гранями.
  26. ^ a b c 600 ячеек содержит ровно 25 24 ячеек, 75 16 ячеек и 75 8 ячеек, причем каждая 16 ячеек и каждая 8 ячеек лежат только в одной 24 ячейках. [17]
  27. ^ a b c Каждая тетраэдрическая ячейка так или иначе касается 56 других ячеек. Одна ячейка контактирует с каждой из четырех граней; две ячейки контактируют с каждым из шести краев, но не с гранью; и десять ячеек контактируют с каждой из четырех вершин, но не с гранью или ребром.
  28. ^ a b Начиная с 16-ячейки, каждый правильный выпуклый 4-многогранник в последовательности единичного радиуса вписан в свой последователь. [5] Следовательно, преемник может быть построен путем размещения 4-х пирамид какого-либо типа на ячейках его предшественника. Между 16-ячейкой и тессерактом у нас есть 16 правильных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта. Между тессерактом и 24-ячейкой у нас есть 8 канонических кубических пирамид . Но если разместить 24 канонических восьмигранных пирамидына 24-ячейке мы получаем только еще один тессеракт (с удвоенным радиусом и длиной ребра), а не преемник с 600 ячейками. Между 24 и 600 ячейками должно быть 24 меньших неправильных 4-пирамиды на правильном октаэдрическом основании.
  29. ^ Поскольку октаэдр может быть курносо усеченным, давая икосаэдр, [21] другое название икосаэдра - курносый октаэдр . Этот термин относится конкретно красположению граней икосаэдрас более низкой симметрией (с 8 гранями одного цвета и 12 - другого).
  30. ^ Пятиугольные пирамиды вокруг каждой вершиныикосаэдра« курносый октаэдр » выглядят одинаково, с двумя желтыми и тремя синими гранями. Каждый пятиугольник имеет пять различных ориентаций вращения. Вращение любой пятиугольной пирамиды поворачивает их все, поэтому пять положений вращения - это единственные пять различных способов расположить цвета.
  31. ^ Так как тетраэдры не имеют противоположных граней, единственный способ их укладки лицом к лицу по прямой - это в виде скрученной цепи, называемой спиралью Бурдейка-Кокстера .
  32. ^ Эти 12 ячеек скреплены краями с центральной ячейкой, лицевой стороной скреплены с внешними гранями кластера из 5 и лицевыми связями друг с другом попарно. Это клетки с синими лицами в 6 различных пирамидах икосаэдра, окружающих скопление из 5.
  33. ^ √ 1 тетраэдр имеет объем 9 √ 0.Δ тетраэдрических клеток. В трехмерном объеме 600 ячеек он охватывает кластер из 5 ячеек, которые не заполняют его полностью. 6 дипирамид (12 ячеек), которые вписываются в углубления кластера из 5 ячеек, переполняют его: только треть каждой дипирамиды находится внутритетраэдра √ 1 . Дипирамиды составляют одну треть каждой из 12 ячеек, что эквивалентно 4 ячейкам.
  34. ^ Мы также находим √ 1 тетраэдров как ячейки 5-ячейки единичного радиуса и радиально вокруг центра 24-ячейки (по одному за каждой из 96 граней). Эти радиальныететраэдры √ 1 также встречаются в 600 ячейках (в 25 вписанных 24 ячейках), но обратите внимание, что это не те же тетраэдры, что итетраэдрические секции600 √ 1 .
  35. ^ Каждое √ 1 ребро октаэдрической ячейки - это длинный диаметр другой тетраэдрической дипирамиды (еще две тетраэдрические ячейки со связанными гранями). В 24-ячейке три октаэдрических ячейки окружают каждое ребро, поэтому одна треть дипирамиды находится внутри каждого октаэдра, разделенного между двумя соседними вогнутыми гранями. Каждая вогнутая грань заполнена одной шестой каждой из трех дипирамид, окружающих ее три края, поэтому она имеет такой же объем, как одна тетраэдрическая ячейка.
  36. ^ Вершина канонической октаэдрической пирамиды √ 1 была курносым образом усечена до правильной тетраэдрической ячейки с более короткими ребрами √ 0.𝚫 , вместо вершины с четырьмя вершинами. Усечение также создало еще четыре вершины (расположенные кактетраэдр √ 1 в гиперплоскости между октаэдрическим основанием и вершиной тетраэдрической ячейки) и соединило эти восемь новых вершин с √ 0.𝚫 ребрами. Таким образом, усеченная пирамида имеет восемь вершин «вершины» над гиперплоскостью ее октаэдрического основания, а не только одну. Исходная пирамида имела плоские стороны: пять геодезических маршрутов от любой базовой вершины до противоположной базовой вершины проходили по двум√ 1 ребро (и только один из этих маршрутов проходил через единственную вершину). У усеченной пирамиды закругленные стороны: пять геодезических маршрутов от любой базовой вершины до противоположной базовой вершины проходят по трем √ 0.√ ребрам (и проходят через две «вершины»).
  37. ^ Однородные 4-многогранники, на которые этот 14-вершинный 25-элементный неправильный 4-многогранник больше всего похож, могут быть 10-вершинным, 10-элементным выпрямленным 5-элементным и его двойственным (он имеет характеристики обоих).

Цитаты [ править ]

  1. ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр. 249
  2. ^ Матила Гика, Геометрия Искусство и жизнь (1977), с.68
  3. ^ Coxeter 1973 , стр. 292-293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p, q, r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, содержащая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребер. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
  4. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 153, §8.51; «Фактически, вершины {3, 3, 5}, каждая из которых взята по 5 раз, являются вершинами 25 {3, 4, 3}».
  5. ^ а б Кокстер 1973 , стр. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
  6. ^ Косетер 1973 , стр. 156-157, § 8.7 Декартовы координаты.
  7. ^ a b Coxeter 1973 , стр. 151-153, §8.4 Курносый {3,4,3}.
  8. ^ а б Денни и др. 2020 , стр. 438.
  9. ^ Zamboj 2021 , стр. 10-11, координаты §Hopf.
  10. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных твердых сечениях (§13.1); (iii) Участки {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 -1 ), начинающиеся с вершины.
  11. ^ Oss 1899 ; ван Осс не упоминает дуговые расстояния между вершинами 600-ячейки.
  12. ^ Buekenhout & Parker 1998 .
  13. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных твердых сечениях (§13.1); (iii) участки {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 -1 ), начинающиеся с вершины; см. столбец а .
  14. Перейти ↑ Steinbach 1997 , p. 23, рисунок 3; Штейнбах вывел формулу, связывающую диагонали и длины ребер последовательных правильных многоугольников, и проиллюстрировал ее диаграммой «веером хорд», подобной приведенной здесь.
  15. ^ Денни и др. 2020 , стр. 437-439, §4 Самолеты 600-ячеечной.
  16. ^ Copher 2019 , стр. 6, §3.2 Теорема 3.4.
  17. ^ а б Денни и др. 2020 , стр. 434.
  18. ^ а б Кокстер 1973 , стр. 303, таблица VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
  19. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 153, §8.5 Конструкция Госсета для {3,3,5}.
  20. ^ Миядзаки 1990 ; Миядзаки показал, что поверхностная оболочка 600-ячеек может быть архитектурно реализована в нашем обычном трехмерном пространстве в виде физических зданий (геодезических куполов).
  21. ^ Косетер 1973 , стр. 50-52, §3.7.
  22. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 293; 164 ° 29
  23. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 299, Таблица V: (iv) Упрощенные разделы {3,3,5} ..., начинающиеся с ячейки.
  24. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8. Конфигурации.
  25. ^ Ван Ittersum 2020 , стр. 80-95, §4.3.
  26. Перейти ↑ Steinbach 1997 , p. 24.
  27. ^ Денни и др. 2020 , §2 Маркировка H 4 .
  28. Перейти ↑ Oss 1899 , pp. 1-18.
  29. ^ Zamboj 2021 , стр. 6-12, §2 Математические основы.
  30. ^ Гроссман, Венди А .; Себлин, Эдуард, ред. (2015), Man Ray Human Equations: Путешествие от математики к Шекспиру , Hatje Cantz. См., В частности, математический объект mo-6.2 , с. 58; Антоний и Клеопатра , SE-6, p. 59; математический объект МО-9 , стр. 64; Венецианский купец , SE-9, p. 65 и "The Hexacosichoron", Philip Ordning, p. 96.
  31. ^ Сикирик, Матье; Мирволд, Венди (2007). «Особые разрезы 600-ячеечной». Beiträge zur Algebra und Geometrie . 49 (1). arXiv : 0708.3443 .
  32. Перейти ↑ Coxeter 1991 , pp. 48-49.

Ссылки [ править ]

  • Кокстер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • Кокстер, HSM (1991). Регулярные сложные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
  • Кокстер, HSM (1995). Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter (2-е изд.). Публикация Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • JH Conway и MJT Guy : четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1]
  • Осс, Саломон Леви ван (1899). "Das regelmässige 600-Zell und seine selbstdeckenden Bewegungen" . Verhandelingen der Koninklijke (Nederlandse) Akademie van Wetenschappen, Sectie 1 (Afdeeling Natuurkunde) . Амстердам. 7 (1): 1–18.
  • Buekenhout, F .; Паркер, М. (15 мая 1998 г.). «Число сетей правильных выпуклых многогранников размерности <= 4». Дискретная математика . 186 (1–3): 69–94.
  • Денни, Томм; Хукер, Да'Шай; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандернише (2020). «Геометрия многогранников H4». Успехи в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156 .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • Штейнбах, Питер (1997). «Золотые поля: Дело о семиугольнике». Математический журнал . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. DOI : 10.1080 / 0025570X.1997.11996494 . JSTOR  2691048 .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • Копер, Джессика (2019). "Суммы и произведения квадратов хорд длин правильных многогранников". arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических структур . 5 (3–4): 309–323. DOI : 10.1177 / 026635119000500312 .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • ван Иттерсум, Клара (2020). «Группы симметрий правильных многогранников в трех и четырех измерениях» . TUDelft .
  • Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическое построение расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].CS1 maint: ref = harv ( ссылка )


Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «600-Cell» . MathWorld .
  • Ольшевский, Георгий. «Гексакосихорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
    • Выпуклая однородная полихора на основе гекатоникосахорон (120 клеток) и гексакосихорон (600 клеток) - Модель 35 , Георгий Ольшевский.
  • Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x3o3o5o - ex» .
  • Der 600-Zeller (600-элементный) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R 4 (немецкий)
  • 600-Cell вершинных по центру расширение 600-клетки
  • v
  • т
  • е
Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
СемьяА пB nI 2 (p) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
Правильный многоугольникТреугольникКвадратп-угольникШестиугольникПентагон
Равномерный многогранникТетраэдрОктаэдр • КубДемикубДодекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник5-элементный16 ячеек • ТессерактDemitesseract24-элементный120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник5-симплекс5-ортоплекс • 5-куб.5-полукуб
Равномерный 6-многогранник6-симплекс6-ортоплекс • 6-куб.6-полукуб1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник7-симплекс7-ортоплекс • 7-куб7-полукруглый1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник8-симплекс8-ортоплекс • 8-куб8-полукруглый1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник9-симплекс9-ортоплекс • 9-куб9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник10-симплекс10-ортоплекс • 10-куб10-полукуб
Равномерное n - многогранникn - симплексn - ортоплекс • n - кубn - demicube1 к2 • 2 к1 • к 21n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений