В геометрии , А многоугольник Петри для регулярного многогранника из п измерений является пространственным многоугольником , в котором каждый ( п - 1) последовательные стороны (но не п ) принадлежит к одной из граней . Petrie многоугольник из правильного многоугольника является сам правильный многоугольник; что из правильного многогранника является пространственным многоугольником таким образом, что каждая два последовательных стороны (но не три) принадлежит к одной из граней . [1] Многоугольники Петри названы в честь математика.Джон Флиндерс Петри .
Для каждого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, такая что один многоугольник Петри становится правильным многоугольником, а остальная часть проекции находится внутри него. Плоскость , в котором идет речь Косетер плоскость из группы симметрии многоугольника, и число сторон, ч, это число Кокстера из группы Кокстера . Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для визуализации симметричной структуры многомерных регулярных многогранников.
Многоугольники Петри могут быть определены более широко для любого встроенного графа . Они образуют грани другого вложения того же графа, обычно на другой поверхности, называемой двойственной по Петри . [2]
История [ править ]
Джон Флиндерс Петри (1907–1972) был единственным сыном египтолога Флиндерса Петри . Он родился в 1907 году и, будучи школьником, показал замечательные математические способности. В периоды интенсивной концентрации он мог отвечать на вопросы о сложных четырехмерных объектах, визуализируя их.
Он первым отметил важность правильных косых многоугольников, которые появляются на поверхности правильных многогранников и высших многогранников. Кокстер объяснил в 1937 году, как он и Петри начали расширять классическую тему правильных многогранников:
- Однажды в 1926 году Дж. Ф. Петри с большим волнением рассказал мне, что он открыл два новых правильных многогранника; бесконечно, но без ложных вершин. Когда мое недоверие начало утихать, он описал мне их: один состоит из квадратов, по шесть в каждой вершине, и один, состоящий из шестиугольников, по четыре в каждой вершине. [3]
В 1938 году Петри сотрудничал с Кокстером, Патриком дю Валь и Х. Т. Флэтером для создания «Пятьдесят девять икосаэдров» для публикации. [4] Понимая геометрические возможности косых многоугольников, использованных Петри, Коксетер назвал их в честь своего друга, когда писал « Регулярные многогранники» .
Позднее идея многоугольников Петри была распространена на полуправильные многогранники .
Многоугольники Петри правильных многогранников [ править ]
В регулярных двойственные , { р , д } и { д , р }, которые содержатся в одной и той же проектируемой Петри многоугольника. На изображениях двойных соединений справа можно увидеть, что их многоугольники Петри имеют прямоугольные пересечения в точках, где края соприкасаются с общей средней сферой .
| Квадрат | Шестиугольник | Декагон | ||
|---|---|---|---|---|
| тетраэдр {3,3} | куб {4,3} | октаэдр {3,4} | додекаэдр {5,3} | икосаэдр {3,5} |
   |  | |  | |
| центрированный по краю | вершинно-центрированный | сосредоточенный на лице | сосредоточенный на лице | вершинно-центрированный |
| В : (4,0) | В : (6,2) | В : (6,0) | В : (10,10,0) | В : (10,2) |
Многоугольники Петри являются внешней стороной этих ортогональных проекций. | ||||
Многоугольники Петри многогранников Кеплера – Пуансо представляют собой шестиугольники {6} и декаграммы {10/3}.
| Шестиугольник | Декаграмма | ||
|---|---|---|---|
| gD {5,5 / 2} | sD {5,5 / 2} | gI {3,5 / 2} | gsD {5 / 2,3} |
 | | | |
Бесконечные правильные косые многоугольники ( апейрогон ) также могут быть определены как многоугольники Петри правильных мозаик, имеющие углы в 90, 120 и 60 градусов их квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно.
Бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри регулярных гиперболических мозаик, таких как треугольные мозаики порядка 7 , {3,7}:
Многоугольник Петри правильных полихор (4-многогранников) [ править ]
Также можно определить многоугольник Петри для правильной полихоры { p , q , r }.
{3,3,3} 5-элементный 5-сторонний V : (5,0) | {3,3,4} 16 ячеек 8 сторон V : (8,0) | {4,3,3} тессеракт 8 сторон V : (8,8,0) |
{3,4,3} 24-элементный 12 сторон V : (12,6,6,0) | {5,3,3} 120-элементный 30 сторон V : ((30,60) 3 , 60 3 , 30,60,0) | {3,3,5} 600 ячеек, 30 сторон V: (30,30,30,30,0) |
Полигональные проекции Петри правильных и однородных многогранников [ править ]
Проекции многоугольника Петри полезны для визуализации многогранников размерности четыре и выше.
Гиперкубы [ править ]
Гиперкуб размерности п имеет Петри полигон размера 2 л , что также число его граней .
Таким образом, каждый из ( n - 1) -кубов, образующих его поверхность, имеет n - 1 сторону многоугольника Петри среди своих ребер.
| Гиперкубы | ||
|---|---|---|
Дигон Петри из 1 куба выглядит идентично 1-кубу. Но у 1-куба одно ребро, а у двуугольника - два.
(Для n = 1 первая и вторая половина - два различных, но совпадающих ребра двуугольника.)
| ||
| Квадрат | Куб | Тессеракт |
Неприводимые семейства многогранников [ править ]
В этой таблице представлены многоугольные проекции Петри трех регулярных семейств ( симплекс , гиперкуб , ортоплекс ) и исключительной группы Ли E n, которые порождают полуправильные и равномерные многогранники для размерностей от 4 до 8.
В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( май 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
| Таблица семейств неприводимых многогранников | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Семья n | n- симплекс | n- гиперкуб | n- ортоплекс | n- demicube | 1 к2 | 2 к1 | к 21 | пятиугольный многогранник | ||||||||
| Группа | А п | B n |
|
| H n | |||||||||||
| 2 | Треугольник | Квадрат |  p-угольник (пример: p = 7 ) |  Шестиугольник | Пентагон | |||||||||||
| 3 | Тетраэдр | Куб | Октаэдр |    Тетраэдр | Додекаэдр | Икосаэдр | ||||||||||
| 4 | 5-элементный | Тессеракт | 16 ячеек |  Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек | 600 ячеек | |||||||||
| 5 | 5-симплекс | 5-куб | 5-ортоплекс | 5-полукуб | ||||||||||||
| 6 | 6-симплекс | 6-куб | 6-ортоплекс | 6-полукуб |  1 22 | 2 21 | ||||||||||
| 7 | 7-симплекс | 7-куб | 7-ортоплекс | 7-полукруглый | 1 32 | 2 31 | 3 21 | |||||||||
| 8 | 8-симплекс | 8-куб | 8-ортоплекс | 8-полукруглый | 1 42 | 2 41 | 4 21 | |||||||||
| 9 | 9-симплекс | 9-куб | 9-ортоплекс | 9-полукруглый | ||||||||||||
| 10 | 10-симплекс | 10-куб | 10-ортоплекс | 10-полукуб | ||||||||||||
Заметки [ править ]
- ↑ Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом , Энтони С. Томпсоном, Азией Ивич Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Определение : статья 13, Дискретные группы, порожденные отражениями, 1933, с. 161)
- ^ Горини, Кэтрин А. (2000), Геометрия в действии, Примечания МАА, 53 , Cambridge University Press, стр. 181, ISBN 9780883851647
- ^ HSM Coxeter (1937) "Правильный косой многогранник в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги", Труды Лондонского математического общества (2) 43: 33-62
- ↑ HSM Coxeter, Patrick du Val , HT Flather, JF Petrie (1938) Пятьдесят девять Икосаэдров , исследования Университета Торонто , математическая серия 6: 1-26
- ^ http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf
Ссылки [ править ]
- Кокстер , HSM (1947, 63, 73) Правильные многогранники , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, 1973. (раздел 2.6 Полигоны Петри, стр. 24–25 и глава 12, стр. 213–235, Обобщенный многоугольник Петри )
- Кокстер, HSM (1974) Правильные комплексные многогранники . Раздел 4.3 Флаги и ортосхемы, Раздел 11.3 Многоугольники Петри
- Болл, WWR и HSM Coxeter (1987) Математические развлечения и эссе , 13-е изд. Нью-Йорк: Дувр. (стр.135)
- Кокстер, HSM (1999) Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications LCCN 99-35678
- Питер МакМаллен , Эгон Шульте (2002) Абстрактные правильные многогранники , Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-81496-0
- Роберт Стейнберг, О ЧИСЛЕ СТОРОН ПЕТРИ-ПОЛИГОНА
См. Также [ править ]
| Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Правильный многоугольник | Треугольник | Квадрат | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
| Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
| Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
| Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
| Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
| Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
| Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме полигонов Петри . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольник Петри» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Графы гиперкубов" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Графы кросс-многогранников" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «24-элементный граф» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "120-элементный граф" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Граф с 600 ячейками» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "График Госсета 3_21" . MathWorld .
