В топологической теории графов , то Петри с двумя из вложенного графа (на 2- многообразия со всеми гранями дисков) является еще одним встроен графиком , который имеет многоугольники Петри первого вложения как его грани. [1]
Двойственный Петри также называется Петриалом , а двойственный Петри вложенного графа может быть обозначено . [2] Это может быть получено из знаковой системы вращения или ленточного графического представления вложения путем скручивания каждого края вложения.
Характеристики
Как и в случае с обычным дуальным графом , повторение двойственной операции Петри дважды возвращает к исходному вложению поверхности. В отличие от обычного дуального графа (который является вложением в одну и ту же поверхность совершенно другого графа), двойственный по Петри - это вложение того же графа в совершенно другую поверхность. [1]
Поверхностная двойственность и двойственность Петри - две из шести операций Вильсона , вместе они порождают группу этих операций. [3]
Правильные многогранники
Применение двойственного Петри к правильному многограннику дает правильную карту . [2] Число скошенных h -угольных граней равно g / 2 h , где g - порядок группы , а h - число кокстера группы.
Например, двойственный по Петри кубу ( двудольный граф с восемью вершинами и двенадцатью ребрами, вложенный в сферу с шестью квадратными гранями) имеет четыре [4] шестиугольных грани, экваторы куба. Топологически он образует вложение того же графа на тор. [1]
Полученные таким образом регулярные отображения следующие.
- Petrial тетраэдра , {3,3} π , имеет 4 вершины, 6 ребер, а также 3 косых квадратных граней. С эйлеровой характеристикой χ , равной 1, он топологически идентичен полукубу {4,3} / 2.
- Petrial куб , {4,3} π , имеет 8 вершин, 12 ребер и 4 косых шестиугольники, красный цвет, зеленые, синие и оранжевый цвет здесь. Если эйлерова характеристика равна 0, его также можно увидеть на четырех шестиугольных гранях шестиугольного мозаичного покрытия как тип {6,3} (2,0) .
- Petrial октаэдр , {3,4} π , имеет 6 вершин, 12 ребер и 4 косые граней шестигранной. Он имеет эйлерову характеристику −2 и имеет отображение на гиперболический гексагональный мозаичный слой порядка 4 , как тип {6,4} 3 .
- Petrial Додекаэдр , {5,3} π , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косые декагональных лица, и эйлерову характеристику -4, связанную с гиперболической черепицей в качестве типа {} 10,3 5 .
- Petrial икосаэдр , {3,5} π , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косые декагональных лица, и эйлерову характеристику -12, связанную с гиперболической черепицей в качестве типа {} 10,5 3 .
Имя | Петриальный тетраэдр | Петриальный куб | Петриальный октаэдр | Петриальный додекаэдр | Петриальный икосаэдр |
---|---|---|---|---|---|
Символ | {3,3} π , {4,3} 3 | {4,3} π , {6,3} 4 | {3,4} π , {6,4} 3 | {5,3} π , {10,3} | {3,5} π , {10,5} |
(v, e, f), χ | (4,6,3), χ = 1 | (8,12,4), χ = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
Лица | 3 скошенных квадрата | 4 косых шестиугольника | 6 косых декагонов | ||
Изображение | |||||
Анимация | |||||
Связанные цифры | {4,3} 3 = {4,3} / 2 = {4,3} (2,0) | {6,3} 3 = {6,3} (2,0) | {6,4} 3 = {6,4} (4,0) | {10,3} 5 | {10,5} 3 |
Также имеются 4 петриала многогранников Кеплера – Пуансо :
- Petrial большой додекаэдр , {5,5 / 2} π , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 граней косые шестигранные со характеристикой Эйлера , х , -8.
- Petrial мал звездчатый додекаэдр , {5 / 2,5} π , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 граней косых шестиугольника с й -8.
- Petrial большого икосаэдр , {3,5 / 2} π , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косого декаграмм лица с й -12.
- Petrial большой звездчатый додекаэдр , {5 / 2,3} π , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых грани декаграмма с й -4.
Имя | Петриальный большой додекаэдр | Петриальный малый звездчатый додекаэдр | Петриальный большой икосаэдр | Петриальный большой звездчатый додекаэдр |
---|---|---|---|---|
Символ | {5,5 / 2} π , {6,5 / 2} | {5 / 2,5} π , {6,5} | {3,5 / 2} π , {10 / 3,5 / 2} | {5 / 2,3} π , {10 / 3,3} |
(v, e, f), χ | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,6), χ = -12 | (20,30,6), χ = -4 |
Лица | 10 косых шестиугольников | 6 косых декаграмм ( обведена одна синяя декаграмма) | ||
Изображение | ||||
Анимация |
Рекомендации
- ^ a b c Горини, Кэтрин А. (2000), Геометрия в действии, Примечания МАА, 53 , Cambridge University Press, стр. 181, ISBN 9780883851647
- ^ а б Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, 92 , Cambridge University Press, стр. 192, ISBN 9780521814966
- ^ Джонс, Джорджия; Торнтон, Дж. С. (1983), «Операции над отображениями и внешние автоморфизмы», Журнал комбинаторной теории , серия B, 35 (2): 93–103, DOI : 10.1016 / 0095-8956 (83) 90065-5 , MR 0733017
- ^ Октаэдрическая симметрия порядка 48, число Кокстера равно 6, 48 / (2 × 6) = 4