Регулярная карта (теория графов)

Шестиугольный осоэдр , правильная карта на сфере с двумя вершинами, шестью ребрами, шестью гранями и 24 флагами.

Регулярное отображение {6,3} _{4 , 0} на торе с 16 граней, 32 вершин и 48 ребер.

В математике , регулярное отображение является симметричной тесселяцией замкнутой поверхности . Точнее, регулярное отображение - это разложение двумерного многообразия (такого как сфера , тор или действительная проективная плоскость ) на топологические диски, так что каждый флаг (инцидентная тройка вершина-ребро-грань) может быть преобразован в любой другой флаг симметрией разложения. Регулярные отображения в некотором смысле являются топологическими обобщениями Платоновых тел . Теория карт и их классификация связана с теориейРимановы поверхности , гиперболическая геометрия и теория Галуа . Обычные карты классифицируются в соответствии с либо: в роде и ориентируемость опорной поверхности, основной график , или группу автоморфизмов .

Обзор [ править ]

Регулярные отображения обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, теоретико-групповым и теоретико-графическим.

Топологический подход [ править ]

Топологически отображение - это 2-клеточное разложение замкнутого компактного 2-многообразия.

Род g карты M задается соотношением Эйлера, равным, если карта ориентируема и если карта неориентируема. Ключевым фактом является то, что существует конечное (ненулевое) число регулярных отображений для каждого ориентируемого рода, кроме тора. ${\ Displaystyle \ чи (М) = | В | - | Е | + | F |}$ ${\ displaystyle 2-2g}$ ${\ displaystyle 2-g}$

Теоретико-групповой подход [ править ]

Группа-теоретически, перестановка представление регулярного отображения М является транзитивной группа подстановок С , на множество из флагов , генерируется три с фиксированной точкой свободных инволюций г ₀ , г ₁ , г ₂ , удовлетворяющее (г ₀ г ₂ ) ² = I. В этом определении грани - это орбиты F = < r ₀ , r ₁ >, ребра - орбиты E = < r ₀ , r ₂ ${\ displaystyle \ Omega}$ >, а вершины - это орбиты V = < r ₁ , r ₂ >. Говоря более абстрактно, группа автоморфизмов любого регулярного отображения является невырожденным гомоморфным образом <2, m, n> - треугольной группы .

Теоретико-графический подход [ править ]

Теоретически карта представляет собой кубический граф с краями, окрашенными в синий, желтый и красный цвета, такой, что: соединено, каждая вершина инцидентна одному краю каждого цвета, а циклы ребер, не окрашенных в желтый цвет, имеют длину 4. Обратите внимание, что это граф флагов или карта с кодировкой графа (GEM) карты, определенная на вершине набора флагов и не являющаяся скелетом G = (V, E) карты. В общем, | | = 4 | E |. ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Отображение M правильно тогда и только тогда, когда Aut (M) регулярно действует на флаги. Aut ( M ) регулярного отображения транзитивно на вершины, ребра и граней М . Отображение M называется рефгибким тогда и только тогда, когда Aut ( M ) регулярна и содержит автоморфизм , фиксирующий как вершину v, так и грань f , но меняющий порядок ребер. Карта, которая является правильной, но негибкой, называется киральной . ${\ displaystyle \ phi}$

Примеры [ править ]

Hemicube, обычная карта.

Большой додекаэдр является регулярным отображением с пятиугольниками в ориентируемой поверхности рода 4.
Полукуб регулярное отображение типа {4,3} в проективной плоскости .
Гей-додекаэдр является регулярным отображением производства пятиугольного вложением графа Petersen в проективной плоскости.
Р- осоэдр является регулярным отображением типа {2, р}.
Карта Дика - это правильная карта из 12 восьмиугольников на поверхности рода 3. Его базовый граф, граф Дика , также может образовывать правильную карту из 16 шестиугольников в торе.

Ниже приводится полный список регулярных отображений на поверхностях положительной эйлеровой характеристики χ: сфера и проективная плоскость. ^[1]

χ	грамм	Schläfli	Верт.	Края	Лица	Группа	Заказ	График	Примечания
2	0	{p, 2}	п	п	2	C 2 × Dih _p	4 шт.	C p	Дигедрон
2	0	{2, п}	2	п	п	C ₂ × Dih _p	4 шт.	p -кратное K 2	Хосоэдр
2	0	{3,3}	4	6	4	S ₄	24	К 4	Тетраэдр
2	0	{4,3}	8	12	6	С ₂ × С ₄	48	К 4 × К 2	Куб
2	0	{3,4}	6	12	8	С ₂ × С ₄	48	К 2,2,2	Октаэдр
2	0	{5,3}	20	30	12	С ₂ × А ₅	120		Додекаэдр
2	0	{3,5}	12	30	20	С ₂ × А ₅	120	К 6 × К 2	Икосаэдр
1	n1	{2п, 2} / 2	п	п	1	Dih _{2 p}	4 шт.	C p	Полудигедр ^[2]
1	n1	{2,2p} / 2	2	п	п	Dih _{2 p}	4 шт.	p -кратное K 2	Хемиосоэдр ^[2]
1	n1	{4,3} / 2	4	6	3	S ₄	24	К 4	Hemicube
1	n1	{3,4} / 2	3	6	4	S ₄	24	2-кратный К 3	Гемиоктаэдр
1	n1	{5,3} / 2	10	15	6	А ₅	60	Граф Петерсена	Гемидодекаэдр
1	n1	{3,5} / 2	6	15	10	А ₅	60	К 6	Полуикосаэдр

На изображениях ниже показаны три из 20 регулярных отображений в тройном торе , помеченные символами Шлефли .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Тороидальные многогранники [ править ]

Пример в виде сетей
{4,4} _1,0 (v: 1, e: 2, f: 1)	{4,4} _1,1 (v: 2, e: 4, f: 2)	{4,4} _2,0 (v: 4, e: 8, f: 4)	{4,4} _2,1 (v: 5, e: 10, f: 5)	{4,4} _2,2 (v: 8, e: 16, f: 8)
{3,6} _1,0 (v: 1, e: 3, f: 2)	{3,6} _1,1 (v: 3, e: 9, f: 6)	{3,6} _2,0 (v: 4, e: 8, f: 8)	{3,6} _2,1 (v: 7, e: 21, f: 14)	{3,6} _2,2 (v: 12, e: 36, f: 24)
{6,3} _1,0 (v: 2, e: 3, f: 1)	{6,3} _1,1 (v: 6, e: 9, f: 3)	{6,3} _2,0 (v: 8, e: 8, f: 4)	{6,3} _2,1 (v: 14, e: 21, f: 7)	{6,3} _2,2 (v: 24, e: 36, f: 12)

Регулярные отображения существуют как тороэдрические многогранники как конечные части евклидовых мозаик, намотанные на поверхность дуоцилиндра в виде плоского тора . Они помечены {4,4} _{b , c} для тех, которые связаны с квадратной мозаикой , {4,4}. ^[3] {3,6} _{b , c} относятся к треугольной мозаике , {3,6}, а {6,3} _{b , c} относятся к шестиугольной мозаике , {6,3}. b и c - целые числа . ^[4] Есть 2 особых случая ( b , 0) и (б , б ) с отражательной симметрией, тогда как общие случаи существуют в киральных парах ( б , в ) и ( в , б ).

Регулярные отображения вида {4,4} _{m , 0} можно представить как конечный правильный косой многогранник {4,4 | m }, рассматриваемые как квадратные грани дуопризмы m × m в 4-х измерениях.

Вот пример {4,4} _8,0, отображающий плоскость как шахматную доску на цилиндрическое сечение на тор. Проекция цилиндра на тор искажает геометрию в трех измерениях, но может быть выполнена без искажений в четырех измерениях.

Например, карту {6,4} ₃ можно увидеть как {6,4} _4,0 . Следуя противоположным краям, мы последовательно пересечем все 4 шестиугольника.

Регулярные отображения с нулевой эйлеровой характеристикой ^[5]
грамм	Schläfli	Верт.	Края	Лица	Группа	Заказ	Примечания
1	{4,4} _{b , 0} n = b ²	п	2 п	п	[4,4] _{( b , 0)}	8 п	Плоские тороидальные многогранники То же, что и {4,4 \| б }
1	{4,4} _{b , b} n = 2 b ²	п	2 п	п	[4,4] _{( б , б )}	8 п	Плоские тороидальные многогранники То же, что и выпрямленные {4,4 \| б }
1	{4,4} _{b , c} n = b ² + c ²	п	2 п	п	[4,4]⁺ _{_{( б , в )}}	4 п	Плоские киральные тороидальные многогранники
1	{3,6} _{b , 0} t = b ²	т	3 т	2 т	[3,6] _{( b , 0)}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{3,6} _{b , b} t = 2 b ²	т	3 т	2 т	[3,6] _{( б , б )}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{3,6} _{b , c} t = b ² + bc + c ²	т	3 т	2 т	[3,6]⁺ _{_{( б , в )}}	6 т	Плоские киральные тороидальные многогранники
1	{6,3} _{b , 0} t = b ²	2 т	3 т	т	[3,6] _{( b , 0)}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{6,3} _{b , b} t = 2 b ²	2 т	3 т	т	[3,6] _{( б , б )}	12 т	Плоские тороидальные многогранники
1	{6,3} _{b , c} t = b ² + bc + c ²	2 т	3 т	т	[3,6]⁺ _{_{( б , в )}}	6 т	Плоские киральные тороидальные многогранники

В общем случае правильные тороидальные многогранники { p , q } _{b , c} могут быть определены, если либо p, либо q четны, хотя только евклидовы вышеприведенные многогранники могут существовать как тороидальные многогранники в четырех измерениях. В {2 p , q } пути ( b , c ) могут быть определены как ступенчатые грань-кромка-грань по прямым линиям, в то время как двойные формы { p , 2 q } будут видеть пути ( b , c ) как ступенчатые вершина-ребро-вершина по прямым линиям.

См. Также [ править ]

Топологическая теория графов
Абстрактный многогранник
Планарный график
Тороидальный граф
Вложение графа
Обычная черепица
Платоново твердое тело
Платонический граф

Ссылки [ править ]

^ Кокстер (1980)
^ a b Секин, Карло. «Симметричные погружения неориентируемых регулярных отображений малого рода» (PDF) . Университет Беркли .
^ Coxeter 1980, 8.3 Карты типа {4,4} на торе.
^ Coxeter 1980, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на торе.
^ Кокстер и Мозер, Генераторы и отношения для дискретных групп , 1957, Глава 8, Регулярные отображения , 8.3 Карты типа {4,4} на торе, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на тор

Кокстер, HSM ; Мозер, WOJ (1980), Генераторы и отношения для дискретных групп , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 14 (4-е изд.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-09212-6.
ван Вийк, Джарк Дж. (2009), "Симметричное разбиение замкнутых поверхностей: визуализация регулярных отображений" (PDF) , Proc. SIGGRAPH (Транзакции ACM по графике) , 28 (3): 12, doi : 10.1145 / 1531326.1531355 , архивировано из оригинального ( PDF ) на 2011-06-09.
Кондер, Марстон ; Dobcsányi, Питер (2001), "Определение всех правильных карт малого рода", Журнал комбинаторной теории, серии B , 81 (2): 224-242, DOI : 10,1006 / jctb.2000.2008.
Недела, Роман (2007), Карты, гиперкарты и связанные темы (PDF).
Винс, Эндрю (2004), «Карты», Справочник по теории графов.
Брем, Ульрих; Шульте, Эгон (2004), "Многогранные карты", Справочник по дискретной и вычислительной геометрии.

[1] Кокстер (1980)

[csequin-2] Секин, Карло. «Симметричные погружения неориентируемых регулярных отображений малого рода» (PDF) . Университет Беркли .

[3] Coxeter 1980, 8.3 Карты типа {4,4} на торе.

[4] Coxeter 1980, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на торе.

[5] Кокстер и Мозер, Генераторы и отношения для дискретных групп , 1957, Глава 8, Регулярные отображения , 8.3 Карты типа {4,4} на торе, 8.4 Карты типа {3,6} или {6,3} на тор