Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 14, E = 24, V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	8 {3} +6 {4}
Обозначение Конвея	аС AAT
Символы Шлефли	r {4,3} или rr {3,3} или${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	т 1 {4,3} или т 0,2 {3,3}
Символ Wythoff	2 | 3 4 3 3 | 2
Диаграмма Кокстера	или же или же
Группа симметрии	O h , B 3 , [4,3], (* 432), порядок 48 T d , [3,3], (* 332), порядок 24
Группа вращения	O , [4,3] + , (432), порядок 24
Двугранный угол	125,26 ° угловой секунды (- √ 3 )
Рекомендации	U 07 , C 19 , W 11
Характеристики	Полурегулярный выпуклый квазирегулярный
Цветные лица	3.4.3.4 ( фигура вершины )
Ромбический додекаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель кубооктаэдра

Кубооктаэдр представляет собой полиэдр с 8 треугольных граней и 6 квадратных граней. Кубооктаэдр имеет 12 одинаковых вершин , по 2 треугольника и 2 квадрата, пересекающихся в каждой, и 24 идентичных ребра , каждое из которых отделяет треугольник от квадрата. Таким образом, это квазирегулярный многогранник , то есть архимедово твердое тело , которое не только вершинно-транзитивно, но и реберно-транзитивно . Это единственный радиально равносторонний выпуклый многогранник.

Его двойственный многогранник - ромбический додекаэдр .

Кубооктаэдр, вероятно, был известен Платону : в « Определениях Герона » цитируется Архимед, говорящий о том, что Платон знал твердое тело, состоящее из 8 треугольников и 6 квадратов. ^[1]

Другие имена [ править ]

• Гептапараллелоэдр ( Бакминстер Фуллер )
  • Фуллер применил к этой форме название « Dymaxion », которое использовалось в ранней версии карты Dymaxion . Он также назвал его «векторным равновесием» из-за его радиальной равносторонней симметрии (радиус от центра до вершины равен длине края). ^[2] Он назвал кубооктаэдр, состоящий из жестких стоек, соединенных гибкими вершинами, «джиттербагом» (эту форму можно постепенно деформировать в икосаэдр , октаэдр и тетраэдр , свернув его квадратные стороны).
• С симметрией O _h порядка 48 это выпрямленный куб или выпрямленный октаэдр ( Норман Джонсон )
• Обладая симметрией T _d порядка 24, это угловатый тетраэдр или ромбитратратетраэдр.
• Обладая симметрией D _3d порядка 12, это треугольная гиробикупола .

Площадь и объем [ править ]

Площадь A и объем V кубооктаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464\,1016a^{2}\\V&={\tfrac {5}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.357\,0226a^{3}.\end{aligned}}}$

Ортогональные проекции [ править ]

Кубооктаэдр имеет четыре специальные ортогональные проекции , сосредоточенные на вершине, ребра, и два типа граней, треугольной и площади. Последние два соответствуют самолетам Кокстера B ₂ и A ₂ . Косые проекции показывают квадрат и шестиугольник, проходящие через центр кубооктаэдра.

Сферическая мозаика [ править ]

Кубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Декартовы координаты [ править ]

В декартовы координаты для вершин кубооктаэдр (длины кромки √ 2 ) с центром в начале координат являются:

(± 1, ± 1,0)

(± 1,0, ± 1)

(0, ± 1, ± 1)

Альтернативный набор координат может быть выполнен в 4-м пространстве, как 12 перестановок:

(0,1,1,2)

Эта конструкция существует как один из 16 ортанте граней в cantellated 16-клетки .

Корневые векторы [ править ]

12 вершин кубооктаэдра могут представлять корневые векторы простой группы Ли A ₃ . С добавлением 6 вершин октаэдра эти вершины представляют 18 корневых векторов простой группы Ли B ₃ .

Рассечение [ править ]

Кубооктаэдр можно разрезать на две треугольные купола общим шестиугольника , проходящий через центр кубооктаэдра. Если эти два треугольных купола скручены так, что треугольники и квадраты совпадают, образуется твердое тело Джонсона J ₂₇ , треугольная ортобикупола .

Кубооктаэдр также можно разделить на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров, пересекающихся в центральной точке. Это расслоение выражается в чередующихся кубических сотах, где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры .

Геометрические отношения [ править ]

Симметрии [ править ]

Кубооктаэдр - это уникальный выпуклый многогранник, у которого длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины к противоположной вершине) составляет 2 длины ребра. Эта радиальная равносторонняя симметрия является свойством только нескольких однородных многогранников , включая двумерный шестиугольник , трехмерный кубооктаэдр и четырехмерный 24-элементный и 8-элементный (тессеракт) . Радиально равносторонниймногогранники - это такие многогранники, которые могут быть построены с их длинными радиусами из равносторонних треугольников, которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Следовательно, все внутренние элементы, которые встречаются в центре этих многогранников, имеют равносторонний треугольник, обращенный внутрь, как в разрезе кубооктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров. Каждый из этих радиально равносторонних многогранников также встречается как ячейки характерной мозаики, заполняющей пространство : мозаика из правильных шестиугольников, выпрямленных кубических сот (чередующихся кубооктаэдров и октаэдров), сот с 24 ячейками и тессерактических сот , соответственно. Каждая тесселяция имеет двойную тесселяцию.; центры ячеек в тесселяции - это вершины ячеек в двойном тесселяции. Самая плотная из известных регулярных сферических упаковок в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих мозаик в качестве центров сфер.

Кубооктаэдр имеет октаэдрическую симметрию. Его первый плеяде'ученых является соединением из куба и его двойной октаэдр с вершинами кубооктаэдра , расположенным в серединах ребер либо.

Конструкции [ править ]

Кубооктаэдр можно получить, взяв экваториальное поперечное сечение четырехмерного 24- или 16-элементного . Шестиугольник можно получить, взяв экваториальное сечение кубооктаэдра.

Кубооктаэдр - это выпрямленный куб, а также выпрямленный октаэдр .

Это также угловатый тетраэдр . В этой конструкции ему дается символ Wythoff : 3 3 | 2 .

При перекосе тетраэдра образуется твердое тело с гранями, параллельными граням кубооктаэдра, а именно восемь треугольников двух размеров и шесть прямоугольников. Хотя его ребра не равны, это твердое тело остается однородным по вершинам : твердое тело имеет полную тетраэдрическую группу симметрии, и его вершины эквивалентны в этой группе.

Ребра кубооктаэдра образуют четыре правильных шестиугольника . Если кубооктаэдр разрезан в плоскости одного из этих шестиугольников, каждая половина будет треугольным куполом , одним из тел Джонсона ; сам кубооктаэдр, таким образом, также может быть назван треугольной гиробикуполой , простейшим из ряда (кроме gyrobifastigium или «дигональной гиробикуполы»). Если половинки соединить вместе с поворотом так, чтобы треугольники встретились с треугольниками, а квадраты встретились с квадратами, в результате получится еще одно твердое тело Джонсона, треугольная ортобикупола , также называемая антикубоктаэдром.

Оба треугольных бикупола важны для упаковки сфер . Расстояние от центра твердого тела до его вершин равно длине его ребра. Каждая центральная сфера может иметь до двенадцати соседей, и в гранецентрированной кубической решетке они занимают позиции вершин кубооктаэдра. В гексагональной плотноупакованной решетке они соответствуют углам треугольного ортобикупола. В обоих случаях центральная сфера занимает положение центра твердого тела.

Кубооктаэдры появляются как ячейки в трех выпуклых однородных сотах и в девяти выпуклых однородных 4-многогранниках .

Объем кубооктаэдра равен 5/6 окружающего куба и 5/8 окружающего октаэдра.

Расположение вершин [ править ]

Потому что радиально равносторонняя, центр кубооктаэдра можно рассматривать как 13 - каноническую апикальную вершину , одна длины ребра на расстояние от 12 обычных вершин, как вершина из канонической пирамиды является одна длиной ребра на равном расстоянии от других его вершин.

Кубооктаэдр имеет общие ребра и расположение вершин с двумя невыпуклыми однородными многогранниками : кубогемиоктаэдром (имеющим общие квадратные грани) и октагемиоктаэдром (имеющим общие треугольные грани). Он также служит в качестве наклонного тетраэдра , как выпрямленный тетраэдр .

Кубооктаэдр 2-охватывает в тетрагемигексаэдр , ^[3] , который , соответственно , имеет ту же самую абстрактную вершину фигуры (два треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и половина вершин, ребер и граней. (Фактическая фигура вершины тетрагемигексаэдра равна 3,4.3/2.4, с а/2 фактор из-за креста.)

Связанные многогранники [ править ]

Кубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Кубооктаэдр также имеет тетраэдрическую симметрию с двумя цветами треугольников.

Семейство равномерных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Связанные квазирегулярные многогранники и мозаики [ править ]

Кубооктаэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , переходящих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и в гиперболическую плоскость. С орбифолдной нотацией симметрии * n 32 все эти мозаики являются конструкцией Wythoff в фундаментальной области симметрии с точками образующих в правом углу области. ^{[4] [5]}

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4. N .4) и продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

Связанные многогранники [ править ]

Кубооктаэдр можно разложить на правильный октаэдр и восемь неправильных, но равных октаэдров в форме выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами. Это разложение кубооктаэдра соответствует проекции 24-ячеек, параллельной первой ячейке, на три измерения. Под этой проекцией кубооктаэдр образует оболочку проекции, которую можно разложить на шесть квадратных граней, правильный октаэдр и восемь неправильных октаэдров. Эти элементы соответствуют изображениям шести октаэдрических ячеек в 24-ячейке, ближайшей и самой дальней ячеек с точки зрения 4D и оставшимся восьми парам ячеек, соответственно.

Культурные события [ править ]

• В эпизоде ​​« Звездного пути » « Под любым другим именем » инопланетяне захватывают « Энтерпрайз », превращая членов экипажа в неодушевленные кубооктаэдры.
• Непоседа "Geo Twister" [1] представляет собой гибкий кубооктаэдр.
• Космические станции Кориолиса в серии компьютерных игр Elite имеют форму кубооктаэдра.
• Весак Кууду, традиционные фонари, которые делают в Шри-Ланке ежегодно в честь дня Весак Пойя, обычно имеют кубооктаэдрическую форму.
• «Лунные змеи» из Super Mario Odyssey . ^[6]
• InfluxData , компания, создающая базу данных временных рядов InfluxDB , использует кубооктаэдр в своем логотипе .

Кубооктаэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов , A кубооктаэдрические графики являются графиком вершин и ребер из кубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Его также можно построить как линейный график куба. Он имеет 12 вершин и 24 ребра, является локально линейным и является архимедовым графом четвертой степени . ^[7]

См. Также [ править ]

• Икосододекаэдр
• Псевдокубооктаэдр
• Ромбокубооктаэдр
• Усеченный кубооктаэдр
• Тетрадекаэдр

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Эрик В. Вайсштейн , Кубооктаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
• Кубооктаэдр на сайте Hexnet, посвященном математике шестиугольника.
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3x4o - co» .
• Редактируемая печатная сетка кубооктаэдра с интерактивным трехмерным изображением