В геометрии , то midsphere или intersphere из многогранника является сферой , которая является касательной к каждому краю многогранника. То есть он касается любого заданного края ровно в одной точке. Не каждый многогранник имеет среднюю сферу, но для каждого многогранника существует комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник , у которого действительно есть средняя сфера.
Мидсфера называется так потому, что для многогранников, у которых есть середина, вписанная сфера (которая касается каждой грани многогранника) и описанная сфера (которая касается каждой вершины), средняя сфера находится посередине между двумя другими. две сферы. Радиус средней сферы называется средним радиусом.
Примеры [ править ]
Равномерная многогранники , в том числе регулярных , квазирегулярные и полурегулярных многогранников и их двойников все имеет midspheres. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и концентрически . [1]
Касательные круги [ править ]
Если O - середина многогранника P , то пересечение O с любой гранью P является окружностью. Окружности, образованные таким образом на всех гранях P, образуют систему окружностей на O , которые касаются именно тогда, когда грани, на которых они лежат, имеют общее ребро.
Двойственно, если v - вершина P , то существует конус , вершина которого находится в v и который касается O по окружности; этот круг образует границу сферической шапки, внутри которой поверхность сферы видна из вершины. То есть круг - это горизонт средней сферы, если смотреть из вершины. Образованные таким образом окружности касаются друг друга именно тогда, когда вершины, которым они соответствуют, соединены ребром.
Двойственность [ править ]
Если многогранник P имеет середину сферы O , то полярный многогранник относительно O также имеет O в качестве средней сферы. Лицевые плоскости полярного многогранника проходит через окружности на O , которые касаются конусов , имеющих вершину Р , как их верхушек. [2]
Канонический многогранник [ править ]
Одна более сильная форма теоремы об упаковке окружностей , представляющая плоские графы системами касательных окружностей, утверждает, что любой многогранный граф может быть представлен многогранником со средней сферой. Круги горизонта канонического многогранника можно преобразовать с помощью стереографической проекции в набор кругов на евклидовой плоскости, которые не пересекаются друг с другом и касаются друг друга именно тогда, когда вершины, которым они соответствуют, смежны. [3] Напротив, существуют многогранники, которые не имеют эквивалентной формы вписанной сфере или описанной сфере. [4]
Любые два многогранника с одинаковой решеткой граней и одной и той же средней сферой могут быть преобразованы друг в друга с помощью проективного преобразования трехмерного пространства, которое оставляет среднюю сферу в том же положении. Ограничение этого проективного преобразования на среднюю сферу является преобразованием Мёбиуса . [5] Существует уникальный способ выполнения этого преобразования, так что средняя сфера является единичной сферой, а центроид точек касания находится в центре сферы; это дает представление данного многогранника, единственное с точностью до конгруэнтности , канонический многогранник . [6]В качестве альтернативы преобразованный многогранник, который максимизирует минимальное расстояние вершины от средней сферы, может быть найден за линейное время ; выбранный таким образом канонический многогранник имеет максимальную симметрию среди всех вариантов канонического многогранника. [7]
См. Также [ править ]
- Идеальный многогранник
Заметки [ править ]
- ^ Кокстер (1973) утверждает это для правильных многогранников; Канди и Роллетт 1961 для архимедовых многогранников.
- Перейти ↑ Coxeter (1973) .
- ^ Шрамм (1992) ; Сакс (1994) . Шрамм утверждает, что существование эквивалентного многогранника с средней сферой утверждалось Кёбе (1936) , но Кёбе доказал этот результат только для многогранников с треугольными гранями. Шрамм приписывает полный результат Уильяму Терстону , но в соответствующей части лекционных заметок Терстона [1] снова указывается результат только для триангулированных многогранников.
- ^ Шрамм (1992) ; Стейниц (1928) .
- Перейти ↑ Sachs (1994) .
- Перейти ↑ Ziegler (1995) .
- ^ Bern & Эпштайна (2001) .
Ссылки [ править ]
- Bern, M .; Эппштейн, Д. (2001), "Оптимальные преобразования Мёбиуса для визуализации информации и создания сеток ", 7th Worksh. Алгоритмы и структуры данных , Конспект лекций по информатике, 2125 , Провиденс, Род-Айленд: Springer-Verlag, стр. 14–25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi : 10.1007 / 3-540-44634-6_3 , S2CID 3266233.
- Кокстер, HSM (1973), "2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение" , Правильные многогранники (3-е изд.), Довер, стр. 16–17 , ISBN 0-486-61480-8.
- Канди, HM; Роллетт А.П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 117.
- Koebe, Paul (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Акад. Wiss. Лейпциг, Math.-Phys. Kl. , 88 : 141–164.
- Сакс, Хорст (1994), «Монетные графы, многогранники и конформное отображение», Дискретная математика , 134 (1–3): 133–138, DOI : 10.1016 / 0012-365X (93) E0068-F , MR 1303402.
- Шрамм, Одед (1992), "Как клетка яйцо" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 107 (3): 543-560, Bibcode : 1992InMat.107..543S , DOI : 10.1007 / BF01231901 , MR 1150601 , S2CID 189830473.
- Steinitz, E. (1928), "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 159 : 133–143.
- Зиглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для выпускников по математике, 152 , Springer-Verlag, стр. 117–118, ISBN 0-387-94365-X.
Внешние ссылки [ править ]
- Hart, GW (1997), "Вычисление канонических многогранников" , Mathematica in Education and Research , 6 (3): 5–10. Mathematica реализация алгоритма построения канонической многогранники.
- Вайсштейн, Эрик В. , «Мидсфера» , MathWorld