Равномерные соты в гиперболическом пространстве

В гиперболической геометрии , A равномерные сотами в пространстве гиперболического являются однородной тесселяцией из однородных полиэдрических клеток . В 3-мерном гиперболическом пространстве имеется девять группы Кокстера семейства компактных выпуклых однородных сот , сгенерированные , как построение визофф и представлено перестановками из колец этих диаграмм кокстеровских для каждой семьи.

Четыре компактные регулярные гиперболические соты

{5,3,4}	{5,3,5}
{4,3,5}	{3,5,3}
Проекции модели Пуанкаре-шара

Гиперболические однородные сотовые семейства [ править ]

Соты делятся на компактные и паракомпактные формы, определяемые группами Кокстера , первая категория включает только конечные клетки и фигуры вершин (конечные подгруппы), а вторая включает аффинные подгруппы.

Компактные однородные сотовые семейства [ править ]

Девять компактных групп Кокстера перечислены здесь с их схемами Кокстера , ^[1] в порядке относительных объемов их основных симплексных доменов . ^[2]

Эти 9 семейств создают в общей сложности 76 уникальных однородных сот. Полный список гиперболических однородных сот не доказан, и существует неизвестное количество неитхоффовских форм. Ниже приводится один известный пример с семейством {3,5,3}. Только два семейства связаны как половинка удаления зеркала: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

Проиндексировано	Фундаментальный симплексный том [3]	Символ Витта	Обозначение Кокстера	Подгруппа коммутатора	Диаграмма Кокстера	Соты
H 1	0,0358850633	${\ displaystyle {\ bar {BH}} _ {3}}$	[5,3,4]	[(5,3) + , 4,1 + ] = [5,3 1,1 ] +		15 форм, 2 обычных
H 2	0,0390502856	${\ displaystyle {\ bar {J}} _ {3}}$	[3,5,3]	[3,5,3] +		9 форм, 1 обычная
H 3	0,0717701267	${\ displaystyle {\ bar {DH}} _ {3}}$	[5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ] +		11 форм (7 пересекаются с семейством [5,3,4], 4 уникальны)
H 4	0,0857701820	${\ displaystyle {\ widehat {AB}} _ {3}}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)] +		9 форм
H 5	0,0933255395	${\ displaystyle {\ bar {K}} _ {3}}$	[5,3,5]	[5,3,5] +		9 форм, 1 обычная
H 6	0,2052887885	${\ displaystyle {\ widehat {AH}} _ {3}}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)] +		9 форм
H 7	0,2222287320	${\ displaystyle {\ widehat {BB}} _ {3}}$	[(4,3) [2] ]	[(4,3 + , 4,3 + )]		6 форм
H 8	0,3586534401	${\ displaystyle {\ widehat {BH}} _ {3}}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)] +		9 форм
H 9	0,5021308905	${\ displaystyle {\ widehat {HH}} _ {3}}$	[(5,3) [2] ]	[(5,3) [2] ] +		6 форм

Есть только две радикальные подгруппы с несимплектическими доменами, которые могут быть созданы путем удаления набора из двух или более зеркал, разделенных всеми другими зеркалами ветвями четного порядка. Один из них - [(4,3,4,3 ^* )], представленный диаграммами Кокстера.подгруппа индекса 6 с фундаментальной областью тригонального трапецоэдра ↔, который можно расширить, восстановив одно зеркало как . Другой - [4, (3,5) ^* ], индекс 120 с додекаэдрической фундаментальной областью.

Паракомпактные гиперболические однородные соты [ править ]

Есть также 23 паракомпактных группы Кокстера ранга 4, которые производят паракомпактные однородные соты с бесконечными или неограниченными гранями или фигурой вершины , включая идеальные вершины на бесконечности.

Резюме гиперболической паракомпактной группы

Тип	Группы Кокстера
Линейные графики	| | | | | |
Трайдентальные графики	| |
Циклические графы	| | | | | | | |
Графы петли и хвоста	| | |

Другие паракомпактные группы Кокстера существуют как фундаментальные области многогранника Винберга , включая эти фундаментальные области треугольной бипирамиды (двойные тетраэдры) как графы ранга 5, включая параллельные зеркала. Равномерные соты существуют как все перестановки колец в этих графах с ограничением, что хотя бы один узел должен быть окружен по ветвям бесконечного порядка.

[3,5,3] семья [ править ]

Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [3,5,3] или

Одна связанная не-витоффова форма построена из вершинной фигуры {3,5,3} с 4 удаленными (тетраэдрически расположенными) вершинами, создавая пятиугольные антипризмы и додекаэдры, заполняющие промежутки, называемый тетраэдрически уменьшенным додекаэдром . ^[4]

Усеченные и усеченные формы (5 и 6) содержат грани двух правильных скошенных многогранников : {4,10 | 3} и {10,4 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Количество ячеек / вершина и положение в сотах				Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3
1	икосаэдр т 0 {3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	выпрямленный икосаэдр т 1 {3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	усеченный икосаэдр т 0,1 {3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	скошенный икосаэдр т 0,2 {3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	беглый икосаэдр т 0,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	усеченный икосаэдр т 1,2 {3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	усеченный икосаэдр т 0,1,2 {3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	усеченный икосаэдр т 0,1,3 {3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	усеченный икосаэдр т 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	Название соты Диаграмма Кокстера и символы Шлефли	Количество ячеек / вершина и положение в сотах					Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3	Alt
[77]	частично уменьшенный икосаэдрический pd {3,5,3} [5]				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
Неоднородный	омниснуб икосаэдр ht 0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,4] семья [ править ]

Существует 15 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [5,3,4] или.

Это семейство связано с группой [5,3 ^1,1 ] полусимметрией [5,3,4,1 ⁺ ], или ↔ , когда последнее зеркало после ветви порядка 4 неактивно, или как чередование, если неактивно третье зеркало ↔ .

#	Название сотовой диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину				Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3
10	порядок-4 додекаэдр ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	выпрямленный додекаэдр порядка 4 ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	выпрямленный заказ-5 куб. ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	порядка-5 куб.	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	усеченный додекаэдр четвертого порядка ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	bitruncated порядка 5 кубических ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	усеченный порядок-5 куб.	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	скошенный додекаэдр четвертого порядка ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	скошенный порядок-5 куб.	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	запущенный заказ-5 куб.	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	усеченный додекаэдр четвертого порядка ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21 год	усеченный порядок-5 куб.	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	усеченный додекаэдр порядка 4	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	runcitruncated порядка-5 куб.	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	омниусеченный порядок-5 куб.	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сотовой диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину					Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3	Alt
[34]	чередование порядка-5 куб. ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	кантик орден-5 куб. ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	рунский порядок-5 куб. ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	рунический орден-5 куб. ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
Неоднородный	курносый выпрямленный порядок-4 додекаэдр	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)	Irr. трехуменьшенный икосаэдр
Неоднородный	Рунчик курносый выпрямленный порядок-4 додекаэдр	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+ (3.3.3)
Неоднородный	омниснуб заказ-5 куб.	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,5] семья [ править ]

Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера : [5,3,5] или

Укороченные и усеченные формы (29 и 30) содержат грани двух правильных косых многогранников : {4,6 | 5} и {6,4 | 5}.

#	Название сотовой диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину				Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3
25	(Обычный) Додекаэдр порядка 5 т 0 {5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	выпрямленный додекаэдр порядка 5 т 1 {5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	усеченный додекаэдр порядка 5 т 0,1 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28 год	скошенный додекаэдр порядка 5 т 0,2 {5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	Бегущий додекаэдр порядка 5 т 0,3 {5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	усеченный додекаэдром порядка 5 т 1,2 {5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31 год	усеченный додекаэдр порядка 5 т 0,1,2 {5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	усеченный додекаэдр порядка 5 т 0,1,3 {5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	всенаправленный додекаэдр пятого порядка т 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Название сотовой диаграммы Кокстера	Ячейки по местоположению и количеству на вершину					Фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3	Alt
Неоднородный	омниснуб порядок-5 додекаэдр ht 0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3 ^1,1 ] семья [ править ]

Есть 11 форм (и только 4 не являются общими с семейством [5,3,4]), порожденных перестановками колец группы Кокстера : [5,3 ^1,1 ] или. Если состояния ветвящихся колец совпадают, расширенная симметрия может удвоиться в семейство [5,3,4], ↔ .

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				фигура вершины	Рисунок
		0	1	0 '	3
34	чередование порядка-5 куб. ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35 год	кантик орден-5 куб. ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	рунский порядок-5 куб. ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	рунический орден-5 куб. ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Название соты Диаграмма Кокстера ↔	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				фигура вершины	Рисунок
		0	1	3	Alt
[10]	Орден-4 додекаэдр ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	выпрямленный додекаэдр порядка 4 ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	выпрямленный заказ-5 куб. ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	bitruncated порядка 5 кубических ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	усеченный додекаэдр четвертого порядка ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	скошенный додекаэдр четвертого порядка ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	усеченный додекаэдр четвертого порядка ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Неоднородный	курносый выпрямленный порядок-4 додекаэдр ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) + (3.3.3)	Irr. трехуменьшенный икосаэдр

[(4,3,3,3)] семья [ править ]

Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера :

Усеченные и усеченные формы (41 и 42) содержат грани двух правильных косых многогранников : {8,6 | 3} и {6,8 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)					фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3	Alt
38	четырехгранно-кубический {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	четырехгранно-октаэдрический {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	циклоусеченный тетраэдрический кубический ct {(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41 год	циклоусеченный куб-тетраэдр ct {(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	циклоусеченный тетраэдр-октаэдр ct {(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43 год	выпрямленный тетраэдрический кубический г {(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44 год	усеченный четырехгранно-кубический т {(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	усеченный тетраэдр-октаэдр т {(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	полностью усеченный тетраэдрический кубический tr {(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Неоднородный	омниснуб четырехгранно-кубический sr {(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,3,3)] семья [ править ]

Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера :

Усеченные и усеченные формы (50 и 51) содержат грани двух правильных скошенных многогранников : {10,6 | 3} и {6,10 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3
47	четырехгранно-додекаэдрический	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	четырехгранно-икосаэдрический	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	циклоусеченный тетраэдр-додекаэдр	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	выпрямленный тетраэдр-додекаэдр	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	усеченный тетраэдр-додекаэдр	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	усеченный тетраэдр-икосаэдр	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)			фигура вершины	Рисунок
		0,1	2,3	Alt
50	циклоусеченный додекаэдр-тетраэдр	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	циклоусеченный тетраэдр-икосаэдр	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	усеченный тетраэдр-додекаэдр	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Неоднородный	всенаправленный тетраэдр-додекаэдр	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,4,3)] семья [ править ]

Существует 6 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера :. Возможны 4 расширенные симметрии, основанные на симметрии колец:, , , и .

Это семейство симметрий также связано с радикальной подгруппой индекса 6, ↔ , построенный по [(4,3,4,3 ^* )], и представляет собой фундаментальную область тригонального трапецоэдра .

Усеченные формы (57 и 58) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6 | 4} и {8,8 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				фигура вершины	Картинки
		0	1	2	3
56	кубооктаэдрический	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	усеченный кубооктаэдрический	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)			фигура вершины	Рисунок
		0,3	1,2	Alt
57	циклоусеченный октаэдрический кубический	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Неоднородный	циклоснуб октаэдрический кубический	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) + (3.3.3.3)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		фигура вершины	Рисунок
		0,1	2,3
58	циклоусеченный кубооктаэдрический	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		фигура вершины	Рисунок
		0,2	1,3
59	ректификованный кубооктаэдрический	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)		фигура вершины	Рисунок
		0,1,2,3	Alt
61	всестороннеусеченный кубооктаэдрический	(4) (4.6.8)
Неоднородный	омниснуб кубо-восьмигранный	(4) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

[(4,3,5,3)] семья [ править ]

Существует 9 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера :

Усеченные формы (65 и 66) содержат грани двух правильных косых многогранников : {10,6 | 3} и {6,10 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)				фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3
62	октаэдрический-додекаэдрический	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	кубико-икосаэдрический	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	циклоусеченный октаэдрический-додекаэдрический	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	выпрямленный октаэдрический-додекаэдрический	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	усеченный октаэдр-додекаэдр	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	усеченный кубический додекаэдр	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)			фигура вершины	Рисунок
		0,1	2,3	Alt
65	циклоусеченный додекаэдрический октаэдрический	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	циклоусеченный кубико-икосаэдрический	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	всесторонне усеченный октаэдрический-додекаэдрический	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Неоднородный	омниснуб октаэдрический-додекаэдрический	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[(5,3,5,3)] семья [ править ]

Существует 6 форм, порожденных перестановками колец группы Кокстера :. Возможны 4 расширенные симметрии, основанные на симметрии колец:, , , и .

Усеченные формы (72 и 73) содержат грани двух правильных косых многогранников : {6,6 | 5} и {10,10 | 3}.

#	Название соты Диаграмма Кокстера	Ячейки по местоположению (и считайте вокруг каждой вершины)					фигура вершины	Рисунок
		0	1	2	3	Alt
71	додекаэдр-икосаэдр	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	циклоусеченный икосаэдр-додекаэдр	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	циклоусеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	выпрямленный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	усеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	всесторонне усеченный додекаэдр-икосаэдр	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Неоднородный	всенаправленный додекаэдр-икосаэдр	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

Сводный перечень компактных однородных сот [ править ]

Это полный перечень 76 однородных сот Wythoffian. В чередованиях перечислены для полноты картины , но большинство из них неоднородно.

Показатель	Группа Коксетера	Расширенная симметрия	Соты		Киральная расширенная симметрия	Чередование сот
H 1	${\ displaystyle {\ bar {BH}} _ {3}}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	| | | | | | | | | | | |	[1 + , 4, (3,5) + ]	(2)	знак равно )
					[4,3,5] +	(1)
H 2	${\ displaystyle {\ bar {J}} _ {3}}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	| | | | |
		[2 + [3,5,3]]	5	| |	[2 + [3,5,3]] +	(1)
H 3	${\ displaystyle {\ bar {DH}} _ {3}}$ [5,3 1,1 ]	[5,3 1,1 ]	4	| | |
		[1 [5,3 1,1 ]] = [5,3,4] ↔	(7)	| | | | | |	[1 [5,3 1,1 ]] + = [5,3,4] +	(1)
H 4	${\ displaystyle {\ widehat {AB}} _ {3}}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(4,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(4,3,3,3)]] +	(1)
H 5	${\ displaystyle {\ bar {K}} _ {3}}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	| | | | |
		[2 + [5,3,5]]	3	| |	[2 + [5,3,5]] +	(1)
H 6	${\ displaystyle {\ widehat {AH}} _ {3}}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,3,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,3,3)]] +	(1)
H 7	${\ displaystyle {\ widehat {BB}} _ {3}}$ [(3,4) [2] ]	[(3,4) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1
		[2 + [(3,4) [2] ]]	1		[2 + [(3 + , 4) [2] ]]	(1)
		[(2,2) + [(3,4) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,4) [2] ]] +	(1)
H 8	${\ displaystyle {\ widehat {BH}} _ {3}}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	| | | | |
		[2 + [(5,3,4,3)]]	3	| |	[2 + [(5,3,4,3)]] +	(1)
H 9	${\ displaystyle {\ widehat {HH}} _ {3}}$ [(3,5) [2] ]	[(3,5) [2] ]	2	|
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[2 + [(3,5) [2] ]]	1
		[(2,2) + [(3,5) [2] ]]	1		[(2,2) + [(3,5) [2] ]] +	(1)

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с однородными мозаиками гиперболического 3-пространства .

• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список правильных многогранников # Мозаика трехмерного гиперболического пространства

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990)
• Красота геометрии: Двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Регулярные соты в гиперболическом пространстве ) 
• Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296) 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Главы 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) [3] 
• Кокстеровские разложения гиперболических тетраэдров , arXiv / PDF , А. Феликсон, декабрь 2002 г.
• К.У.Л. Гарнер, Правильные косые многогранники в гиперболическом трехмерном пространстве . J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [4]
• Норман Джонсон , Геометрии и преобразования (2018), главы 11,12,13
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований 1999 г., том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [5]
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера H ³ : p130. [6]
• Клитцинг, Ричард. «Гиперболические соты H3 compact» .