Икосаэдрические соты | |
---|---|
Модель диска Пуанкаре | |
Тип | Гиперболические стандартные соты Однородные гиперболические соты |
Символ Шлефли | {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | {3,5} |
Лица | треугольник {3} |
Фигурка края | треугольник {3} |
Фигура вершины | додекаэдр |
Двойной | Самодвойственный |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Обычный |
Икосаэдрическая соты является одним из четырех компактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ) в гиперболической 3-пространстве . С символом Шлефли {3,5,3}, есть три икосаэдра вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильной додекаэдрической фигуре вершины .
Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Описание [ править ]
Двугранный угол из икосаэдра составляет около 138,2 °, так что невозможно уместить три икосаэдров вокруг края в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве икосаэдры с правильным масштабированием могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут умещаться вокруг ребра.
Связанные обычные соты [ править ]
В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Связанные регулярные многогранники и соты [ править ]
Он входит в последовательность регулярных полихор и сот {3, p , 3} с дельтраэдрическими ячейками:
{3, п , 3} многогранники | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | S 3 | H 3 | |||||||||
Форма | Конечный | Компактный | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||
{3, п , 3} | {3,3,3} | {3,4,3} | {3,5,3} | {3,6,3} | {3,7,3} | {3,8,3} | ... {3, ∞, 3} | ||||
Изображение | |||||||||||
Клетки | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} | ||||
Фигура вершины | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Он также входит в последовательность правильных полихор и сот { p , 5, p }, вершины которых состоят из пятиугольников:
{ p , 5, p } обычные соты | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | H 3 | ||||||||||
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||||||
Имя | {3,5,3} | {4,5,4} | {5,5,5} | {6,5,6} | {7,5,7} | {8,5,8} | ... {∞, 5, ∞} | ||||
Изображение | |||||||||||
Ячейки { p , 5} | {3,5} | {4,5} | {5,5} | {6,5} | {7,5} | {8,5} | {∞, 5} | ||||
Вершинная фигура {5, p } | {5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | {5, ∞} |
Однородные соты [ править ]
В семействе группы [3,5,3] Кокстера девять однородных сот , включая эту регулярную форму, а также усеченную форму, t 1,2 {3,5,3},, также называемые усеченными додекаэдрическими сотами , каждая из которых представляет собой усеченные додекаэдры .
{3,5,3} | т 1 {3,5,3} | т 0,1 {3,5,3} | т 0,2 {3,5,3} | т 0,3 {3,5,3} |
---|---|---|---|---|
т 1,2 {3,5,3} | т 0,1,2 {3,5,3} | т 0,1,3 {3,5,3} | т 0,1,2,3 {3,5,3} | |
Ректифицированные икосаэдрические соты [ править ]
Ректифицированные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | r {3,5,3} или t 1 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | г {3,5} {5,3} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Фигура вершины | треугольная призма |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямляются икосаэдрические сотни , т 1 {3,5,3},, имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и икосододекаэдра , с треугольной формой вершины призмы :
Перспективные проекции из центра модели диска Пуанкаре
Связанные соты [ править ]
Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:
Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | г {5,3,4} | г {4,3,5} | г {3,5,3} | г {5,3,5} |
Фигура вершины |
Усеченные икосаэдрические соты [ править ]
Усеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т {3,5,3} или т 0,1 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т {3,5} {5,3} |
Лица | пятиугольник {5} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | треугольная пирамида |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усечена икосаэдрические сотни , т 0,1 {3,5,3},, имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и усеченного икосаэдра , с треугольной вершиной пирамиды .
Связанные соты [ править ]
Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | т {5,3,4} | т {4,3,5} | т {3,5,3} | т {5,3,5} |
Фигура вершины |
Усеченные икосаэдрические соты [ править ]
Икосаэдрические соты с усеченной бородкой | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | 2 т {3,5,3} или 1,2 т {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т {5,3} |
Лица | треугольник {3} десятиугольник {10} |
Фигура вершины | тетрагональный дисфеноид |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберный, клеточно-транзитивный |
Bitruncated икосаэдрическая сот , т 1,2 {3,5,3},, имеет усеченные ячейки додекаэдра с четырехугольной вершиной дифеноида .
Связанные соты [ править ]
Изображение | |||
---|---|---|---|
Символы | 2т {4,3,5} | 2т {3,5,3} | 2т {5,3,5} |
Фигура вершины |
Скошенные икосаэдрические соты [ править ]
Скошенные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | rr {3,5,3} или t 0,2 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | rr {3,5} r {5,3} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} |
Фигура вершины | клин |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantellated икосаэдрическая соты , т 0,2 {3,5,3},, Имеет ромбоикосододекаэдр , икосододекаэдр и треугольную призму клетку, с клиновидной вершиной фигурой.
Связанные соты [ править ]
Четыре скошенных регулярных компактных сот в H 3 | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Усеченные икосаэдрические соты [ править ]
Сота с усеченным икосаэдром | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | tr {3,5,3} или t 0,1,2 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | tr {3,5} t {5,3} {} x {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10} |
Фигура вершины | зеркальная клиновидная кость |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Cantitruncated икосаэдрическая соты , т 0,1,2 {3,5,3},, имеет усеченный икосидодекаэдр , усеченный додекаэдр и ячейки треугольной призмы с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .
Связанные соты [ править ]
Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | tr {5,3,4} | tr {4,3,5} | tr {3,5,3} | тр {5,3,5} |
Фигура вершины |
Ячеистые икосаэдрические соты [ править ]
Плетеные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | {3,5} {} × {3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Фигура вершины | пятиугольная антипризма |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Runcinated икосаэдрическая соты , т 0,3 {3,5,3},, имеет ячейки икосаэдра и треугольной призмы с пятиугольной вершиной антипризмы .
- Вид из центра треугольной призмы
Связанные соты [ править ]
Изображение | |||
---|---|---|---|
Символы | т 0,3 {4,3,5} | т 0,3 {3,5,3} | т 0,3 {5,3,5} |
Фигура вершины |
Усеченные икосаэдрические соты [ править ]
Усеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | t {3,5} rr {3,5} {} × {3} {} × {6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} |
Фигура вершины | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Runcitruncated икосаэдрическая соты , т 0,1,3 {3,5,3},, имеет усеченный икосаэдр , ромбикосододекаэдр , гексагональную призму и ячейки треугольной призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .
Runcicantellated икосаэдрическая соты эквивалентно runcitruncated икосаэдрического сот.
- Вид из центра треугольной призмы
Связанные соты [ править ]
Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3 | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Усеченные икосаэдрические соты [ править ]
Усеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | tr {3,5} {} × {6} |
Лица | квадрат {4} шестиугольник {6} двенадцатигранник {10} |
Фигура вершины | филлический дисфеноид |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Omnitruncated икосаэдрическая соты , т 0,1,2,3 {3,5,3},, Имеет усеченный икосододекаэдр и гексагональную призму клетку, с филлитовой равногранной тетраэдром вершины фигурой.
- По центру шестиугольной призмы
Связанные соты [ править ]
Три полностью усеченных обычных компактных соты в H 3 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Омниснуб икосаэдрические соты [ править ]
Омниснуб икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | h (t 0,1,2,3 {3,5,3}) |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | sr {3,5} s {2,3} irr. {3,3} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Фигура вершины | |
Группа Коксетера | [[3,5,3]] + |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Omnisnub икосаэдрическая сот , ч (т 0,1,2,3 {3,5,3}),, имеет курносые ячейки додекаэдра , октаэдра и тетраэдра с неправильной формой вершины. Он вершинно-транзитивный , но не может быть сделан с однородными ячейками.
Частично уменьшенные икосаэдрические соты [ править ]
Частично уменьшенные икосаэдрические соты Парабидоуменьшенные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | pd {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | - |
Клетки | {5,3} с {2,5} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Фигура вершины | тетраэдрически уменьшенный додекаэдр |
Группа Коксетера | 1 / 5 [3,5,3] + |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Частично уменьшена икосаэдрическая соты или parabidiminished икосаэдрической соты , PD {3,5,3}, не является однородным Wythoffian сот с додекаэдром и пятиугольная антипризмой клетками, с тетраэдрическим уменьшился Додекаэдром вершины фигуры. Ячейки икосаэдра {3,5,3} уменьшаются в противоположных вершинах (уменьшаются парабидом), оставляя ядро пятиугольной антипризмы ( уменьшенное парабидом икосаэдра ) и создавая новые ячейки додекаэдра сверху и снизу. [1] [2]
См. Также [ править ]
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
- Пространство Зейферта – Вебера
- 11-элементный - абстрактный правильный полихорон, который разделяет символ Шлефли {3,5,3} .
Ссылки [ править ]
- ↑ Венди Ю. Кригер, Стены и мосты: вид из шести измерений, Симметрия: Культура и наука, том 16, номер 2, страницы 171–192 (2005) [1] Архивировано 07 октября 2013 г. на Wayback Machine
- ^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm
- Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, p212-213)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
- Клитцинг, Ричард. "Гиперболические соты H3 гиперболическая мозаика икосаэдра 3-го порядка" .