Заказать-5 соты куб.

Заказать-5 соты куб.
Модели дисков Пуанкаре
Тип	Гиперболические стандартные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{4,3}
Лица	квадрат {4}
Фигурка края	пятиугольник {5}
Фигура вершины	икосаэдр
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Двойной	Порядок-4 додекаэдрические соты
Характеристики	Обычный

Порядка 5 кубических сот является одним из четырех компактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ) в гиперболической 3-пространстве . С символом Шлефли {4,3,5} он имеет пять кубов {4,3} вокруг каждого ребра и 20 кубов вокруг каждой вершины. Он сдвоен с додекаэдрическими сотами четвертого порядка .

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание [ править ]

Он аналогичен двумерному гиперболическому квадратному мозаичному покрытию порядка 5 , {4,5}

Одна ячейка с центром в модели шара Пуанкаре

Основные ячейки

Ячейки с расширенными краями до идеальной границы

Симметрия [ править ]

Он имеет конструкцию симметрии радиальной подгруппы с додекаэдрическими фундаментальными областями: обозначение Кокстера : [4, (3,5) ^* ], индекс 120.

Связанные многогранники и соты [ править ]

Кубические соты порядка 5 имеют соответствующие чередующиеся соты, ↔ , с ячейками икосаэдра и тетраэдра .

Сота также является одной из четырех обычных компактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве:

Четыре обычных компактных соты в H 3
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

В семействе [5,3,4] группы Кокстера пятнадцать однородных сот , включая кубические соты порядка 5 в качестве регулярной формы:

[5,3,4] семейные соты
{5,3,4}	г {5,3,4}	т {5,3,4}	рр {5,3,4}	т 0,3 {5,3,4}	tr {5,3,4}	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,2,3 {5,3,4}


{4,3,5}	г {4,3,5}	т {4,3,5}	рр {4,3,5}	2т {4,3,5}	tr {4,3,5}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {4,3,5}

Кубические соты порядка 5 находятся в последовательности правильных полихор и сот с икосаэдрическими вершинами .

{p, 3,5} многогранники
Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞, 3,5}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Это также последовательность регулярных полихор и сот с кубическими ячейками . Первый многогранник в последовательности - это тессеракт , а второй - евклидовы кубические соты .

{4,3, п} соты обыкновенные
Космос	S 3	E 3	H 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3, ∞}
Изображение
Фигура вершины	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}

Выпрямленный порядок-5 кубических сот [ править ]

Ректифицированный порядок-5 куб. Соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	r {4,3,5} или 2r {5,3,4} 2r {5,3 ^1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {4,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4}
Фигура вершины	пятиугольная призма
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5] , [5,3 ^1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямляется порядка 5 кубических сот ,, имеет чередующиеся ячейки икосаэдра и кубооктаэдра , с фигурой вершины пятиугольной призмы .

Связанные соты [ править ]

Его можно рассматривать как аналог двумерного гиперболического тетрапентагонального замощения r {4,5} с квадратными и пятиугольными гранями.

Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:

Четыре выпрямленных обычных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Фигура вершины

г {р, 3,5}
Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	г {3,3,5}	г {4,3,5}	г {5,3,5}	г {6,3,5}	г {7,3,5}	... г {∞, 3,5}
Изображение
Ячейки {3,5}	г {3,3}	г {4,3}	г {5,3}	г {6,3}	г {7,3}	г {∞, 3}

Усеченные кубические соты порядка 5 [ править ]

Усеченный порядок-5 соты куб.
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т {4,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	пятиугольная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усечен порядка 5 кубических сот ,, имеет усеченный куб и ячейки икосаэдра , с вершиной пятиугольной пирамиды .

Его можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической усеченной квадратной мозаики порядка 5 , t {4,5}, с усеченными квадратными и пятиугольными гранями:

Он похож на усеченные кубические соты евклидова (порядка 4) , t {4,3,4}, у которых есть октаэдрические ячейки в усеченных вершинах.

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	т {5,3,4}	т {4,3,5}	т {3,5,3}	т {5,3,5}
Фигура вершины

Bitruncated кубические соты порядка 5 [ править ]

Bitruncated порядка 5 кубических сотнями являются таким же , как bitruncated порядка-4 двенадцатигранных сотни .

Сотовые кубические соты порядка 5 [ править ]

Сотовые соты кубические порядка-5
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	rr {4,3} r {3,5} {} x {5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	клин
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantellated порядка 5 кубических сот ,, Имеет ромбокубооктаэдр , икосододекаэдр и пятиугольные призматические клетки, с клиновидной вершиной фигуры .

Связанные соты [ править ]

Это похоже на евклидовы (четвертого порядка) скошенные кубические соты , rr {4,3,4}:

Четыре скошенных регулярных компактных сот в H 3

Изображение
Символы	рр {5,3,4}	рр {4,3,5}	рр {3,5,3}	рр {5,3,5}
Фигура вершины

Cantitruncated порядка 5 кубических сот [ править ]

Cantitruncated порядка-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {4,3} t {3,5} {} x {5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantitruncated порядка 5 кубических сот ,, имеет усеченный кубооктаэдр , усеченный икосаэдр и ячейки пятиугольной призмы с зеркально отраженной фигурой вершины клиновидной кости .

Связанные соты [ править ]

Он похож на евклидовы усеченные кубические соты (порядок 4) tr {4,3,4}:

Четыре усеченных обычных компактных сот в H 3
Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	тр {5,3,5}
Фигура вершины

Кубические соты Runcinated order-5 [ править ]

Сотовидный соты порядка 5 куб.
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве Полуправильные соты
Символ Шлефли	т _0,3 {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{4,3} {5,3} {} x {5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	неправильная треугольная антипризма
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcinated порядка 5 кубических сотни или runcinated порядка 4 додекаэдрических соты , имеет ячейки куба , додекаэдра и пятиугольной призмы с неправильной треугольной вершиной антипризмы .

Он аналогичен двумерному гиперболическому ромбитрапентагональному замощению , rr {4,5}, с квадратными и пятиугольными гранями:

Связанные соты [ править ]

Он похож на евклидову (порядок 4) кубические соты с кубической структурой , t _0,3 {4,3,4}:

Три плоских регулярных компактных соты в H 3
Изображение
Символы	т 0,3 {4,3,5}	т 0,3 {3,5,3}	т 0,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Runcitruncated порядка 5 кубических сот [ править ]

Ячеистые соты с усеченной структурой 5- го порядка Сотовые сантеллы с додекаэдрическими ячейками 4-го порядка
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,3 {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	t {4,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {8}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} восьмиугольник {8}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcitruncated порядка 5 кубических сотни или runcicantellated порядка 4 додекаэдрических сотни ,, имеет усеченный куб , ромбикосододекаэдр , пятиугольную призму и восьмиугольные ячейки призмы с равнобедренной трапециевидной пирамидальной вершиной .

Связанные соты [ править ]

Это похоже на усеченные кубические соты евклидова (порядка 4) соты , t _0,1,3 {4,3,4}:

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3


Изображение
Символы	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,3 {3,5,3}	т 0,1,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Кубические соты ранкантеллированного порядка 5 [ править ]

Runcicantellated порядка 5 кубических сотнями являются таким же , как runcitruncated порядка-4 двенадцатигранных сотни .

Омнитусеченные кубические соты порядка 5 [ править ]

Омнитусеченный порядок-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве Полуправильные соты
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {4,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	tr {5,3} tr {4,3} {10} x {} {8} x {}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} восьмиугольник {8} декагон {10}
Фигура вершины	неправильный тетраэдр
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Omnitruncated порядка 5 кубических сотни или omnitruncated порядка 4 додекаэдрических сотни ,, имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный кубооктаэдр , десятиугольную призму и восьмиугольные призматические ячейки с неправильной четырехгранной вершиной.

Связанные соты [ править ]

Он похож на евклидову (четвертый порядок) усеченные кубические соты , t _0,1,2,3 {4,3,4}:

Три полностью усеченных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	т 0,1,2,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {3,5,3}	т 0,1,2,3 {5,3,5}
Фигура вершины

Чередование кубических сот порядка 5 [ править ]

Чередование порядка-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч {4,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{3,3} {3,5}
Лица	треугольник {3}
Фигура вершины	икосододекаэдр
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$ , [5,3 ^1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберный транзитивный, квазирегулярный

В трехмерной гиперболической геометрии чередующиеся кубические соты пятого порядка представляют собой однородную компактную мозаику (или соту ), заполняющую пространство . С символом Шлефли h {4,3,5} его можно рассматривать как квазирегулярные соты , чередующиеся икосаэдры и тетраэдры вокруг каждой вершины в вершинной фигуре икосододекаэдра .

Связанные соты [ править ]

Он имеет 3 родственные формы: кантик порядка-5 кубических сот ,, То runcic порядка 5 кубических сот ,, и соты рунического порядка-5 кубических ,.

Cantic Order-5 кубические соты [ править ]

Cantic order-5 соты кубические
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч ₂ {4,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {5,3} т {3,5} т {3,3}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	прямоугольная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$ , [5,3 ^1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantic порядка 5 кубических сотнями являются однородной компактным пространством заполнения тесселяции (или сотни ), с Шлефли символ ч ₂ {4,3,5}. Он имеет икосододекаэдр , усеченный икосаэдр и усеченные ячейки тетраэдра с прямоугольной вершиной пирамиды .

Кубические соты Runcic Order-5 [ править ]

Runcic order-5 кубические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч ₃ {4,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{5,3} rr {5,3} {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	усеченный треугольник
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$ , [5,3 ^1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcic порядка 5 кубических сотнями являются однородной компактным пространством заполнения тесселяции (или сотни ), с Шлефли символ ч ₃ {4,3,5}. Он имеет ячейки додекаэдра , ромбикосододекаэдра и тетраэдра с треугольной формой вершины усеченного конуса .

Runcicantic order-5 кубических сот [ править ]

Runcicantic order-5 соты куб.
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	ч _2,3 {4,3,5}
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {5,3} tr {5,3} t {3,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	неправильный тетраэдр
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$ , [5,3 ^1,1 ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcicantic порядка 5 кубических сотнями являются однородной компактной пространство заполнения тесселяции (или сот ), с Шлефл символ ч _2,3 {4,3,5}. Он имеет усеченный додекаэдр , усеченный икосододекаэдр и усеченные ячейки тетраэдра с неправильной формой вершины тетраэдра .

См. Также [ править ]

Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства

Ссылки [ править ]

Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294-296)
Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, p212-213)
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2015) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера