Порядок-4 додекаэдрические соты

Порядок-4 додекаэдрические соты
Тип	Гиперболические стандартные соты Однородные гиперболические соты
Символ Шлефли	{5,3,4} {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	{5,3}
Лица	пятиугольник {5}
Фигурка края	квадрат {4}
Фигура вершины	октаэдр
Двойной	Заказать-5 соты куб.
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Обычные, квазирегулярные соты

В геометрии из гиперболического 3-пространства , то порядок-4 додекаэдрические сотни являются одним из четырех компактных регулярных космических заполнения мозаик (или сот ). С символом Шлефли {5,3,4} он имеет четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдрическом расположении. Его вершины построены из 3-х ортогональных осей. Его дуал - это соты кубической формы порядка 5 .

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Описание [ править ]

Двугранный угол из додекаэдра составляет ~ 116,6 °, так что невозможно уместить 4 из них на ребро в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированный правильный додекаэдр можно масштабировать так, чтобы его двугранные углы уменьшились до 90 градусов, а затем четыре точно соответствовали каждому ребру.

Симметрия [ править ]

Он имеет конструкцию полусимметрии, {5,3 ^1,1 }, с двумя типами (цветами) додекаэдров в конструкции Wythoff . ↔ .

Изображения [ редактировать ]

Вид на додекаэдрические соты четвертого порядка по модели Бельтрами-Клейна

Связанные многогранники и соты [ править ]

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:

В семействе [5,3,4] группы Кокстера пятнадцать однородных сот , включая эту регулярную форму.

[5,3,4] семейные соты

{5,3,4}	г {5,3,4}	т {5,3,4}	рр {5,3,4}	т 0,3 {5,3,4}	tr {5,3,4}	т 0,1,3 {5,3,4}	т 0,1,2,3 {5,3,4}
{4,3,5}	г {4,3,5}	т {4,3,5}	рр {4,3,5}	2т {4,3,5}	tr {4,3,5}	т 0,1,3 {4,3,5}	т 0,1,2,3 {4,3,5}

В семействе разветвленных [5,3 ^1,1 ] группы Кокстера одиннадцать однородных сот , включая эту соту в ее чередующейся форме. Эту конструкцию можно представить в виде чередования (шахматной доски) двух цветов додекаэдрических ячеек.

Это сотовая также связано с 16-клетки , кубической соты , и порядок-4 гексагональной плиточные сот всех , которые имеют октаэдрические фигуры вершин:

{p, 3,4} обычные соты
Космос	S 3	E 3	H 3
Форма	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞, 3,4}
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Эти соты являются частью последовательности полихор и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3, п}

Космос	S 3	H 3
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3, ∞}
Изображение
Фигура вершины	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 4 [ править ]

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г {5,3,4} г {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	г {5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Фигура вершины	квадратная призма
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямляются порядок-4 додекаэдрические сотни ,, имеет чередующиеся ячейки октаэдра и икосододекаэдра , с квадратной формой вершины призмы .

Связанные соты [ править ]

Всего существует четыре выпрямленных компактных обычных соты:

Четыре выпрямленных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Фигура вершины

Усеченные додекаэдрические соты четвертого порядка [ править ]

Усеченный порядок-4 додекаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т {5,3,4} т {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {5,3} {3,4}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Фигура вершины	квадратная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усечен порядок-4 додекаэдрической соты ,, имеет октаэдр и усеченные ячейки додекаэдра , с квадратной пирамидальной вершиной .

Его можно рассматривать как аналог двумерного гиперболического усеченного пятиугольника порядка 4 , t {5,4} с усеченным пятиугольником и квадратными гранями:

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3

Изображение
Символы	т {5,3,4}	т {4,3,5}	т {3,5,3}	т {5,3,5}
Фигура вершины

Додекаэдрические соты с усеченным битом 4-го порядка [ править ]

Bitruncated order-4 додекаэдрические соты Bitruncated порядка-5 кубических сот
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т {5,3,4} 2т {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	т {3,5} т {3,4}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестиугольник {6}
Фигура вершины	дигональный дисфеноид
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Bitruncated порядок-4 додекаэдрической соты или bitruncated порядка 5 кубических сот ,, имеет усеченный октаэдр и усеченные ячейки икосаэдра , с двуугольной вершиной дисфеноида .

Связанные соты [ править ]

Три усеченных компактной соты в H 3

Изображение
Символы	2т {4,3,5}	2т {3,5,3}	2т {5,3,5}
Фигура вершины

Сотовые додекаэдрические соты четвертого порядка [ править ]

Додекаэдрические соты с кантеллированным порядком 4
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	rr {5,3,4} rr {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	rr {3,5} r {3,4} {} x {4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Фигура вершины	клин
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantellated порядок-4 додекаэдрической соты ,, имеет ячейки ромбикосододекаэдра , кубооктаэдра и куба с фигурной вершиной клина .

Связанные соты [ править ]

Четыре скошенных регулярных компактных сот в H 3
Изображение Символы рр {5,3,4} рр {4,3,5} рр {3,5,3} рр {5,3,5} Фигура вершины

Cantitruncated додекаэдрические соты четвертого порядка [ править ]

Cantitruncated порядок-4 додекаэдрические соты
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr {5,3,4} tr {5,3 1,1 }
Диаграмма Кокстера	↔
Клетки	tr {3,5} t {3,4} {} x {4}
Лица	квадрат {4} шестиугольник {6} десятиугольник {10}
Фигура вершины	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5] , [5,3 1,1 ] ${\ displaystyle {\ overline {DH}} _ {3}}$
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Cantitruncated порядок-4 додекаэдрической соты ,, имеет усеченный икосидодекаэдр , усеченный октаэдр и кубические ячейки с зеркальной фигурой вершины клиновидной кости .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных сот в H 3

Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	тр {5,3,5}
Фигура вершины

Додекаэдрические соты Runcinated порядка 4 [ править ]

Выполненные додекаэдрические соты четвертого порядка аналогичны кубическим сотам пятого порядка .

Runcitruncated додекаэдрические соты четвертого порядка [ править ]

Усеченные додекаэдрические соты порядка 4
Тип	Равномерные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т 0,1,3 {5,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	t {5,3} rr {3,4} {} x {10} {} x {4}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} десятиугольник {10}
Фигура вершины	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ overline {BH}} _ {3}}$, [4,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Runcitruncated порядок-4 додекаэдрической соты ,, имеет усеченный додекаэдр , ромбокубооктаэдр , десятиугольную призму и кубические ячейки с равнобедренной трапециевидной пирамидой в вершине .

Связанные соты [ править ]

Четыре усеченных обычных компактных соты в H 3
Изображение Символы т 0,1,3 {5,3,4} т 0,1,3 {4,3,5} т 0,1,3 {3,5,3} т 0,1,3 {5,3,5} Фигура вершины

Додекаэдрические соты с разветвленными контурами четвертого порядка [ править ]

Runcicantellated порядка-4 додекаэдрическая соты является таким же , как runcitruncated порядка 5 кубических сотни .

Омнитусеченные додекаэдрические соты четвертого порядка [ править ]

Полностью усеченные додекаэдрические соты четвертого порядка аналогичны многослойным кубическим сотам пятого порядка .

См. Также [ править ]

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического 3-мерного пространства
• Гомологическая сфера Пуанкаре Додекаэдральное пространство Пуанкаре
• Пространство Зейферта – Вебера Додекаэдрическое пространство Зейферта – Вебера

Ссылки [ править ]

• Кокстер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, p212-213) 
• Джеффри Р. Уикс Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии на трехмерных многообразиях I, II) 
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера