Космос (математика)

Рис. 1: Обзор типов абстрактных пространств. Стрелка указывает, что это тоже своего рода ; например, нормированное векторное пространство также является метрическим пространством.

В математике , А пространство является множество (иногда называется Вселенной ) с некоторой добавленной структурой .

Хотя современная математика использует многие типы пространств, такие как евклидовы пространства , линейные пространства , топологические пространства , гильбертовы пространства или вероятностные пространства , она не определяет понятие «пространство» как таковое. ^{[1] [подробнее 1]}

Пространство состоит из выбранных математических объектов, которые рассматриваются как точки, и выбранных отношений между этими точками. Природа точек может сильно различаться: например, точки могут быть элементами набора, функциями в другом пространстве или подпространствами другого пространства. Именно отношения определяют природу пространства. Точнее, изоморфные пространства считаются идентичными, где изоморфизм между двумя пространствами - это взаимно однозначное соответствие между их точками, которое сохраняет отношения. Например, отношения между точками трехмерного евклидова пространства однозначно определяются аксиомами Евклида ^{[детали 2],} и все трехмерные евклидовы пространства считаются идентичными.

Топологические понятия, такие как непрерывность, имеют естественные определения в каждом евклидовом пространстве. Однако топология не отличает прямые линии от кривых, и связь между евклидовым и топологическим пространствами, таким образом, «забывает». Подробнее о подобных отношениях можно прочитать в разделе «Типы пространств» .

Не всегда ясно, следует ли рассматривать данный математический объект как геометрическое «пространство» или как алгебраическую «структуру». Общее определение «структура», предложенное Бурбаки , ^[2] включает в себя все общие типы пространств, дает общее определение изоморфизма, и оправдывает передачу свойств между изоморфными структурами.

История [ править ]

До золотого века геометрии [ править ]

Рис. 2: Гомотетия преобразует геометрическую фигуру в аналогичную путем масштабирования.

В древнегреческой математике «пространство» было геометрической абстракцией трехмерной реальности, наблюдаемой в повседневной жизни. Около 300 г. до н.э. Евклид дал аксиомы для свойств пространства. Евклид построил всю математику на этих геометрических основ, так далеко, чтобы определить число путем сравнения длин отрезков к длине выбранного опорного сегмента.

Метод координат ( аналитическая геометрия ) был принят Рене Декартом в 1637 году. ^[3] В то время геометрические теоремы трактовались как абсолютные объективные истины, познаваемые посредством интуиции и разума, подобно объектам естествознания; ^{[4] : 11} и аксиомы рассматривались как очевидные следствия определений. ^{[4] : 15}

Использовались два отношения эквивалентности между геометрическими фигурами: соответствие и подобие . Переводы, вращения и отражения превращают фигуру в конгруэнтные фигуры; гомотетии - в похожие фигуры. Например, все круги похожи друг на друга, но эллипсы не похожи на круги. Третье отношение эквивалентности, введенное Гаспаром Монжем в 1795 году, встречается в проективной геометрии : не только эллипсы, но также параболы и гиперболы превращаются в окружности при соответствующих проективных преобразованиях; все они являются проективно эквивалентными фигурами.

Связь между двумя геометриями, евклидовой и проективной ^{[4] : 133,} показывает, что математические объекты не даны нам с их структурой . ^{[4] : 21} Скорее, каждая математическая теория описывает свои объекты с помощью некоторых из их свойств, именно тех, которые положены в качестве аксиом в основу теории. ^{[4] : 20}

Расстояния и углы не могут появляться в теоремах проективной геометрии, поскольку эти понятия не упоминаются в аксиомах проективной геометрии и не определяются из упомянутых там понятий. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовой геометрии, но не имеет смысла в проективной геометрии.

Иная ситуация возникла в 19 веке: в некоторых геометриях сумма трех углов треугольника четко определена, но отличается от классического значения (180 градусов). Неевклидова гиперболическая геометрия , введенная Николаем Лобачевским в 1829 году и Яношом Бойяи в 1832 году (и Карлом Фридрихом Гауссом в 1816 году, не опубликовано) ^{[4] : 133} утверждали, что сумма зависит от треугольника и всегда меньше 180 градусов. Эухенио Бельтрами в 1868 г. и Феликс Клейн в 1871 г. получили евклидовы «модели» неевклидовой гиперболической геометрии и тем самым полностью подтвердили эту теорию как логическую возможность. ^{[4]: 24 [5]}

Это открытие заставило отказаться от претензий на абсолютную истину евклидовой геометрии. Он показал, что аксиомы не являются «очевидными» и не «следствиями определений». Скорее, это гипотезы. Насколько они соответствуют экспериментальной реальности? Эта важная физическая проблема больше не имеет ничего общего с математикой. Даже если «геометрия» не соответствует экспериментальной реальности, ее теоремы остаются не менее «математическими истинами». ^{[4] : 15}

Евклидова модель неевклидовой геометрии - это выбор некоторых объектов, существующих в евклидовом пространстве, и некоторых отношений между этими объектами, которые удовлетворяют всем аксиомам (и, следовательно, всем теоремам) неевклидовой геометрии. Эти евклидовы объекты и отношения «играют» неевклидову геометрию, как современные актеры разыгрывают античный спектакль. Актеры могут имитировать ситуацию, которой никогда не было в реальности. Отношения между актерами на сцене имитируют отношения между персонажами спектакля. Точно так же выбранные отношения между выбранными объектами евклидовой модели имитируют неевклидовы отношения. Это показывает, что отношения между объектами важны в математике, в то время как природа объектов - нет.

Золотой век и после [ править ]

Слово «геометрия» (от древнегреческого: гео- «земля», -метрон «измерение») первоначально означало практический способ обработки длин, регионов и объемов в пространстве, в котором мы живем, но затем было широко распространено (а также как рассматриваемое здесь понятие пространства).

Согласно Бурбаки ^{[4] : 131} период между 1795 г. ( Géométrie, описывающий Монжа) и 1872 г. ( «Эрлангенская программа» Кляйна) можно назвать золотым веком геометрии. Первоначальное пространство, исследованное Евклидом, теперь называется трехмерным евклидовым пространством . Его аксиоматизация, начали Евклид 23 веков назад, была реформирована с аксиомами Гильберта , аксиомами Тарских и аксиомами Биркгоф . Эти системы аксиом описывают пространство через примитивные понятия (например, «точка», «между», «конгруэнтность»), ограниченные рядом аксиом .

Аналитическая геометрия достигла больших успехов и сумела заменить теоремы классической геометрии вычислениями через инварианты групп преобразований. ^{[4] : 134,5} С тех пор новые теоремы классической геометрии ^{вызывают} больший интерес у любителей, чем у профессиональных математиков. ^{[4] : 136} Однако наследие классической геометрии не было потеряно. По словам Бурбаки, ^{[4] : 138} «превратившись в свою роль автономной и живой науки, классическая геометрия, таким образом, трансформируется в универсальный язык современной математики».

В то же время числа начали вытеснять геометрию как основу математики. Например, в эссе Ричарда Дедекинда 1872 года Stetigkeit und irrationale Zahlen ( Непрерывность и иррациональные числа ) он утверждает, что точки на линии должны иметь свойства разрезов Дедекинда , и что, следовательно, линия - это то же самое, что и множество действительных чисел. . Дедекинд осторожно отмечает, что это предположение не может быть доказано. В современных трактовках утверждение Дедекинда часто воспринимается как определение линии, тем самым сводя геометрию к арифметике. Трехмерное евклидово пространство определяется как аффинное пространство, связанное с ним векторное пространство разностей его элементов снабжено внутренним продуктом. ^[6]Определение «с нуля», как у Евклида, сейчас используется нечасто, поскольку не раскрывает отношения этого пространства к другим пространствам. Кроме того, трехмерное проективное пространство теперь определяется как пространство всех одномерных подпространств (то есть прямых линий, проходящих через начало координат) четырехмерного векторного пространства. Этот сдвиг в основах требует нового набора аксиом, и если эти аксиомы будут приняты, классические аксиомы геометрии станут теоремами.

Теперь пространство состоит из выбранных математических объектов (например, функций в другом пространстве или подпространств другого пространства или просто элементов набора), рассматриваемых как точки, и выбранных отношений между этими точками. Следовательно, пробелы - это просто удобные математические конструкции. Можно ожидать, что структуры, называемые «пространствами», воспринимаются более геометрически, чем другие математические объекты, но это не всегда верно.

Согласно знаменитой вступительной лекции, прочитанной Бернхардом Риманом в 1854 году, каждый математический объект, параметризованный n действительными числами, можно рассматривать как точку n -мерного пространства всех таких объектов. ^{[4] : 140} Современные математики постоянно следуют этой идее и находят чрезвычайно многообещающим использовать терминологию классической геометрии почти везде. ^{[4] : 138}

Функции - важные математические объекты. Обычно они образуют бесконечномерные функциональные пространства , как уже отмечалось Риманом ^{[4] : 141} и разработано в 20 веке с помощью функционального анализа .

Таксономия пространств [ править ]

Три таксономических ранга [ править ]

Хотя каждый тип пространства имеет собственное определение, общая идея «пространства» ускользает от формализации. Некоторые структуры называются пространствами, другие - нет, без формального критерия. Более того, нет единого мнения по поводу общей идеи «структуры». По словам Пудлака ^[7], «Математику [...] нельзя полностью объяснить с помощью одного понятия, такого как математическая структура. Тем не менее, структуралистский подход Бурбаки - лучшее из того, что у нас есть». Мы вернемся к структуралистскому подходу Бурбаки в последнем разделе «Пространства и структуры», а теперь обрисовываем возможную классификацию пространств (и структур) в духе Бурбаки.

Мы классифицируем пространства на трех уровнях. Учитывая, что каждая математическая теория описывает свои объекты некоторыми из их свойств, первый вопрос, который следует задать: какие свойства? Это приводит к первому (верхнему) уровню классификации. На втором уровне учитываются ответы на особо важные вопросы (среди вопросов, имеющих смысл согласно первому уровню). На третьем уровне классификации учитываются ответы на все возможные вопросы.

Например, классификация верхнего уровня различает евклидовы и проективные пространства , так как расстояние между двумя точками определено в евклидовых пространствах, но не определено в проективных пространствах. Другой пример. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовом пространстве, но не в проективном пространстве. В неевклидовом пространстве вопрос имеет смысл, но на него ответят по-другому, что не является различием верхнего уровня.

Кроме того, различие между евклидовой плоскостью и евклидовым трехмерным пространством не является различием верхнего уровня; вопрос «каков размер» имеет смысл в обоих случаях.

В классификации второго уровня различает, например, между евклидовой и неевклидовых пространств; между конечномерным и бесконечномерным пространствами; между компактными и некомпактными пространствами и т. д. В терминах Бурбаки ^[2] классификация второго уровня - это классификация по «видам». В отличие от биологической таксономии пространство может принадлежать нескольким видам.

В классификации третьего уровня отличает, например, между пространствами разной размерности, но не различает плоскость трехмерного евклидова пространства рассматривается как два евклидово пространства, а множество всех пар вещественных чисел, также рассматривается как двумерное евклидово пространство. Точно так же он не делает различий между разными евклидовыми моделями одного и того же неевклидова пространства. Более формально, третий уровень классифицирует пространства с точностью до изоморфизма. Изоморфизм между двумя пространствами определяется как взаимно однозначное соответствие между точками первого пространства и точками второго пространства, которое сохраняет все отношения, оговоренные в соответствии с первым уровнем. Взаимно изоморфные пространства считаются копиями одного пространства. Если один из них принадлежит к данному виду, то они все принадлежат.

Понятие изоморфизма проливает свет на классификацию верхнего уровня. Учитывая взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами одного и того же класса верхнего уровня, можно спросить, является ли это изоморфизмом или нет. Этот вопрос не имеет смысла для двух пространств разных классов.

Изоморфизм самому себе называется автоморфизмом. Автоморфизмы евклидова пространства - это сдвиги, повороты, отражения и их композиции. Евклидово пространство однородно в том смысле, что каждая точка может быть преобразована в любую другую точку с помощью некоторого автоморфизма.

Аксиомы Евклида ^{[подробности 2] не} оставляют свободы; они однозначно определяют все геометрические свойства пространства. Точнее: все трехмерные евклидовы пространства взаимно изоморфны. В этом смысле мы имеем «трехмерное евклидово пространство». С точки зрения Бурбаки, соответствующая теория однолистны . Напротив, топологические пространства обычно неизоморфны; их теория многовалентна . Аналогичная идея встречается в математической логике: теория называется категоричной, если все ее модели одной мощности изоморфны между собой. Согласно Бурбаки ^[8] изучение многовалентных теорий является наиболее яркой чертой, которая отличает современную математику от классической математики.

Отношения между видами пространств [ править ]

Топологические понятия (непрерывность, сходимость, открытые множества, замкнутые множества и т. Д.) Естественным образом определяются в каждом евклидовом пространстве. Другими словами, каждое евклидово пространство также является топологическим пространством. Каждый изоморфизм между двумя евклидовыми пространствами также является изоморфизмом между соответствующими топологическими пространствами (так называемый « гомеоморфизм »), но обратное неверно: гомеоморфизм может искажать расстояния. В терминах Бурбаки ^[2] «топологическое пространство» является базовой структурой структуры «евклидова пространства». Подобные идеи встречаются в теории категорий : категория евклидовых пространств - это конкретная категория над категорией топологических пространств; забывчив (или «зачистка») функтор отображает первую категорию во вторую категорию.

Трехмерное евклидово пространство - это частный случай евклидова пространства. В терминах Бурбаки ^[2] виды трехмерного евклидова пространства богаче видов евклидова пространства. Точно так же виды компактного топологического пространства богаче видов топологического пространства.

Такие отношения между видами пространств может быть выражена , как показано схематически на фиг. 3. Стрелка , от А до B средств , что каждый А-пространство также В-пространство, или может рассматриваться как B-пространстве, или предоставляет B -пространство и т. д. Рассматривая A и B как классы пространств, можно интерпретировать стрелку как переход от A к B. (В терминах Бурбаки ^[9], «процедура вывода» B-пространства из A-пространства. Не совсем функция, если классы A, B не являются наборами; этот нюанс не отменяет следующего.) Две стрелки на рис. 3 не обратимы, но по разным причинам.

Переход от «евклидова» к «топологическому» забывчив. Топология отличает непрерывную от прерывистой, но не отличает прямолинейную от криволинейной. Интуиция подсказывает нам, что евклидова структура не может быть восстановлена ​​по топологии. Доказательство использует автоморфизм топологического пространства (то есть самогомеоморфизм ), который не является автоморфизмом евклидова пространства (то есть не является композицией сдвигов, вращений и отражений). Такое преобразование превращает данную евклидову структуру в (изоморфную, но) другую евклидову структуру; обе евклидовы структуры соответствуют единой топологической структуре.

Напротив, переход от «трехмерного евклидова» к «евклидову» не забывается; Евклидово пространство не обязательно должно быть трехмерным, но если оно оказывается трехмерным, оно является полноценным, структура не теряется. Другими словами, последний переход инъективен (один к одному), тогда как первый переход не инъективен (многие к одному). Обозначим инъективные переходы стрелкой с зазубренным хвостом, «↣», а не «→».

Оба перехода не сюръективны , то есть не каждое B-пространство является результатом некоторого A-пространства. Во-первых, трехмерное евклидово пространство - это частный (не общий) случай евклидова пространства. Во-вторых, топология евклидова пространства - это частный случай топологии (например, оно должно быть некомпактным, связным и т. Д.). Мы обозначаем сюръективные переходы двуглавой стрелкой, «↠», а не «→». См., Например, Рис. 4; там стрелка от «реальной линейной топологии» к «действительной линейной» является двуглавой, поскольку каждое реальное линейное пространство допускает некоторую (по крайней мере одну) топологию, совместимую с его линейной структурой.

Такая топология в общем случае неединственна, но уникальна, когда реальное линейное пространство конечномерно. Для этих пространств переход является одновременно инъективным и сюръективным, т. Е. Биективным ; см. стрелку от «конечно-тусклой реальной линейной топологии» к «конечно-тусклой реальной линейной» на рис. 4. Обратный переход существует (и может быть показан второй, направленной назад стрелкой). Таким образом, два вида структур эквивалентны. На практике не делается различия между эквивалентными видами структур. ^[10] Эквивалентные структуры можно рассматривать как единую структуру, как показано большим прямоугольником на фиг. 4.

Переходы, обозначенные стрелками, подчиняются изоморфизму. То есть два изоморфных A-пространства приводят к двум изоморфным B-пространствам .

Диаграмма на рис. 4 коммутативна . То есть все направленные пути на диаграмме с одинаковыми начальной и конечной точками приводят к одному и тому же результату. Другие диаграммы ниже также коммутативны, за исключением пунктирных стрелок на рис. 9. Стрелка от «топологического» к «измеримому» заштрихована по причине, объясненной там: «Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, его наделяют σ-алгебра. σ-алгебра борелевских множеств - самый популярный, но не единственный выбор ". Сплошная стрелка обозначает распространенный, так называемый «канонический» переход, который сам собой напрашивается сам собой и широко используется, часто неявно, по умолчанию. Например, говоря о непрерывной функции в евклидовом пространстве, нет необходимости явно указывать ее топологию. Фактически,альтернативные топологии существуют и иногда используются, например,прекрасная топология ; но они всегда указываются явно, поскольку они гораздо менее заметны, чем распространенная топология. Пунктирная стрелка указывает на то, что используется несколько переходов, и ни один из них не является широко распространенным.

Типы пространств [ править ]

Линейные и топологические пространства [ править ]

Два основных пространства - это линейные пространства (также называемые векторными пространствами) и топологические пространства .

Линейные пространства имеют алгебраическую природу; существуют реальные линейные пространства (над полем из действительных чисел ), комплексные линейные пространства (над полем комплексных чисел ), а в более общем случае , линейные пространства над любым полем. Каждое комплексное линейное пространство также является реальным линейным пространством (последнее лежит в основе первого), поскольку каждое действительное число также является комплексным числом. ^{[подробнее 3]}В более общем смысле, векторное пространство над полем также имеет структуру векторного пространства над подполем этого поля. Линейные операции, заданные в линейном пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как прямые линии (и плоскости, и другие линейные подпространства); параллельные линии; эллипсы (и эллипсоиды). Однако невозможно определить ортогональные (перпендикулярные) линии или выделить круги среди эллипсов, потому что в линейном пространстве нет такой структуры, как скалярное произведение, которое можно было бы использовать для измерения углов. Размерность линейного пространства определяется как максимальное количество линейно независимыхвекторы или, что то же самое, минимальное количество векторов, охватывающих пространство; он может быть конечным или бесконечным. Два линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. П - мерное комплексное линейное пространство также 2 п - мерное вещественное линейное пространство.

Топологические пространства носят аналитический характер. Открытые множества , заданные в топологическом пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как непрерывные функции , пути, карты; сходящиеся последовательности, пределы ; интерьер, граница, экстерьер. Однако равномерная непрерывность , ограниченные множества , последовательности Коши , дифференцируемые функции (пути, карты) остаются неопределенными. Изоморфизмы между топологическими пространствами традиционно называются гомеоморфизмами; это взаимно однозначные соответствия, непрерывные в обоих направлениях. Открытый интервал (0,1) гомеоморфно всей числовой прямой (-∞, ∞) , но не гомеоморфноотрезок [0,1], ни окружность. Поверхность куба гомеоморфна сфере (поверхности шара), но не гомеоморфна тору. Евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны, что кажется очевидным, но нелегко доказать. Размерность топологического пространства определить сложно; можно использовать индуктивный размер (основанный на наблюдении, что размер границы геометрической фигуры обычно на единицу меньше размера самой фигуры) и размер покрытия Лебега . В случае n- мерного евклидова пространства обе топологические размерности равны n .

Каждое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством (напротив, только линейные подмножества линейного пространства являются линейными пространствами). Произвольные топологические пространства, исследуемые общей топологией (называемой также точечной топологией), слишком разнообразны для полной классификации с точностью до гомеоморфизма. Компактные топологические пространства - важный класс топологических пространств («разновидностей» этого «типа»). Всякая непрерывная функция ограничена на таком пространстве. Отрезок [0,1] и расширенная вещественная прямая [-∞, ∞] компактны; открытый интервал (0,1) и прямая (-∞, ∞) - нет. Геометрическая топология исследует многообразия(еще один «вид» этого «типа»); это топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовым пространствам (и удовлетворяющие нескольким дополнительным условиям). Маломерные многообразия полностью классифицируются с точностью до гомеоморфизма.

Как линейная, так и топологическая структуры лежат в основе структуры линейного топологического пространства (другими словами, топологического векторного пространства). Линейное топологическое пространство - это как действительное или комплексное линейное пространство, так и топологическое пространство, так что линейные операции непрерывны. Итак, линейное пространство, которое также является топологическим, в общем случае не является линейным топологическим пространством.

Каждое конечномерное действительное или комплексное линейное пространство является линейным топологическим пространством в том смысле, что оно несет одну и только одну топологию, которая делает его линейным топологическим пространством. Две структуры, «конечномерное реальное или комплексное линейное пространство» и «конечномерное линейное топологическое пространство», таким образом, эквивалентны, то есть лежат в основе друг друга. Соответственно, любое обратимое линейное преобразование конечномерного линейного топологического пространства является гомеоморфизмом. Три понятия размерности (одно алгебраическое и два топологических) совпадают для конечномерных вещественных линейных пространств. Однако в бесконечномерных пространствах различные топологии могут соответствовать заданной линейной структуре, и обратимые линейные преобразования, как правило, не являются гомеоморфизмами.

Аффинные и проективные пространства [ править ]

Аффинные и проективные пространства удобно вводить с помощью линейных пространств следующим образом. П - мерное линейное подпространство ( п + 1) n - мерного линейного пространства, будучи сам по себе является п - мерное линейного пространства, не является однородным; он содержит особую точку - начало координат. Сдвигая его на внешний по отношению к нему вектор, мы получаем n- мерное аффинное подпространство. Он однородный. Аффинное пространство не обязательно должно быть включено в линейное пространство, но оно изоморфно аффинному подпространству линейного пространства. Все n -мерные аффинные пространства изоморфны между собой. По словам Джона Баэза, «аффинное пространство - это векторное пространство, которое забыло свое происхождение». В частности, каждое линейное пространство также является аффинным пространством.

Для данного n- мерного аффинного подпространства A в ( n +1) -мерном линейном пространстве L прямую в A можно определить как пересечение A с двумерным линейным подпространством L, которое пересекает A : другими словами , с плоскостью , проходящей через начало координат, которая не параллельна А . В более общем смысле, k -мерное аффинное подпространство A - это пересечение A с ( k + 1) -мерным линейным подпространствомЛ , что пересекает .

Каждая точка аффинного подпространства А является пересечением А с одномерным линейным подпространством L . Однако некоторые одномерные подпространства в L параллельны A ; в некотором смысле они пересекают A на бесконечности. Множество всех одномерных линейных подпространств ( n +1) -мерного линейного пространства по определению является n -мерным проективным пространством. А аффинное подпространство Aвкладывается в проективное пространство как собственное подмножество. Однако само проективное пространство однородно. Прямая линия в проективном пространстве соответствует двумерному линейному подпространству (n + 1) -мерного линейного пространства. В более общем смысле, k -мерное проективное подпространство проективного пространства соответствует ( k + 1) -мерному линейному подпространству (n + 1) -мерного линейного пространства и изоморфно k -мерному проективному пространству.

Определенные таким образом аффинные и проективные пространства имеют алгебраическую природу; они могут быть реальными, сложными и, в более общем смысле, применимыми к любой области.

Каждое действительное или комплексное аффинное или проективное пространство также является топологическим пространством. Аффинное пространство - это некомпактное многообразие; проективное пространство - это компактное многообразие. В реальном проективном пространстве прямая линия гомеоморфна окружности, поэтому компактна, в отличие от прямой линии в линейном аффинном пространстве.

Метрические и равномерные пространства [ править ]

Расстояния между точками определены в метрическом пространстве . Изоморфизмы между метрическими пространствами называются изометриями. Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством. Топологическое пространство называется метризуемым , если оно лежит в основе метрического пространства. Все многообразия метризуемы.

В метрическом пространстве мы можем определять ограниченные множества и последовательности Коши. Метрическое пространство называется полным, если все последовательности Коши сходятся. Каждое неполное пространство изометрически вкладывается как плотное подмножество в полное пространство (пополнение). Каждое компактное метрическое пространство полно; реальная линия некомпактная, но полная; открытый интервал (0,1) неполный.

Каждое евклидово пространство также является полным метрическим пространством. Более того, все геометрические понятия, имманентные евклидову пространству, можно охарактеризовать в терминах его метрики. Например, отрезок прямой , соединяющей две заданные точки A и C состоит из всех точек B таким образом, что расстояние между A и C , равна сумме двух расстояний, между A и B , а также между B и C .

Хаусдорфово (связанно с числом маленьких шариков , которые покрывают данное множество) относится к метрическим пространствам, и может быть нецелыми (особенно для фрактал ). Для n- мерного евклидова пространства размерность Хаусдорфа равна n .

Равномерные пространства не вводят расстояния, но все же позволяют использовать равномерную непрерывность, последовательности Коши (или фильтры или сети ), полноту и завершение. Каждое однородное пространство также является топологическим пространством. Каждое линейное топологическое пространство (метризуемое или нет) также является однородным пространством, полным в конечномерном, но, как правило, неполным в бесконечномерном. В более общем смысле каждая коммутативная топологическая группа также является однородным пространством. Однако некоммутативная топологическая группа несет две однородные структуры: одна левоинвариантная, а другая правоинвариантная.

Нормированное, банаховое, внутреннее произведение и гильбертовы пространства [ править ]

Векторы в евклидовом пространстве образуют линейное пространство, но каждый вектор имеет также длину, другими словами, норма, . Вещественное или комплексное линейное пространство, наделенное нормой, называется нормированным пространством . Каждое нормированное пространство одновременно является линейным топологическим пространством и метрическим пространством. Банахово пространство является полным нормированным пространством. Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными банаховыми пространствами.${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ lVert х \ rVert}$

Множество всех векторов нормы меньше единицы называется единичным шаром нормированного пространства. Это выпуклое центрально-симметричное множество, обычно не эллипсоид; например, это может быть многоугольник (на плоскости) или, в более общем смысле, многогранник (в произвольной конечной размерности). Закон параллелограмма (называемый также тождеством параллелограмма)

${\ Displaystyle \ lVert xy \ rVert ^ {2} + \ lVert x + y \ rVert ^ {2} = 2 \ lVert x \ rVert ^ {2} +2 \ lVert y \ rVert ^ {2} \,}$

в общем , не в нормированных пространствах, но справедливо и для векторов в евклидовых пространствах, вытекает из того факта , что квадрат евклидова норма вектора является его скалярное произведение с самим собой, .${\ Displaystyle \ lVert х \ rVert ^ {2} = (х, х)}$

Внутреннее пространство продукта представляет собой действительное или комплексное линейное пространство, снабженное билинейным или соответственно полуторалинейной формой, удовлетворяющий некоторые условия и называется внутренний продукт. Каждое внутреннее пространство продукта также является нормированным пространством. Нормированное пространство лежит в основе внутреннего пространства продукта тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет закону параллелограмма или, что эквивалентно, если его единичный шар является эллипсоидом. Углы между векторами определены во внутренних пространствах продукта. Гильбертово пространство определяется как полное внутреннее пространство продукта. (Некоторые авторы настаивают на том, что оно должно быть комплексным, другие допускают также вещественные гильбертовы пространства.) Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными гильбертовыми пространствами. Гильбертовы пространства очень важны для квантовой теории . ^[11]

Все n -мерные вещественные внутренние пространства произведения изоморфны между собой. Можно сказать, что n- мерное евклидово пространство - это n- мерное реальное внутреннее пространство продукта, которое забыло свое происхождение.

Гладкие и римановы многообразия [ править ]

Гладкие многообразия не называются «пространствами», но могли бы. Каждое гладкое многообразие является топологическим многообразием и может быть вложено в конечномерное линейное пространство. Гладкие поверхности в конечномерном линейном пространстве - это гладкие многообразия: например, поверхность эллипсоида является гладким многообразием, а многогранник - нет. Вещественные или комплексные конечномерные линейные, аффинные и проективные пространства также являются гладкими многообразиями.

В каждой из своих точек гладкий путь в гладком многообразии имеет касательный вектор, который принадлежит касательному пространству многообразия в этой точке. Касательные пространства к n- мерному гладкому многообразию - это n -мерные линейные пространства. Дифференциал гладкой функции на гладком многообразии дает линейный функционал на касательном пространстве в каждой точке.

Риманова многообразия , или пространство Римана, является гладким многообразием, тангенс пространства наделены внутренними продуктами , удовлетворяющих некоторым условиям. Евклидовы пространства также являются римановыми пространствами. Гладкие поверхности в евклидовых пространствах - это римановы пространства. Гиперболическое неевклидово пространство также является римановым пространством. Кривая в римановом пространстве имеет длину, а длина самой короткой кривой между двумя точками определяет расстояние, так что риманово пространство является метрическим пространством. Угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, - это угол между их касательными.

Отказавшись от положительности скалярных произведений на касательных пространствах, можно получить псевдоримановы пространства , в том числе лоренцевы пространства, которые очень важны для общей теории относительности .

Пространства измерения, меры и вероятности [ править ]

Отказ от расстояний и углов при сохранении объемов (геометрических тел) приходим к теории меры . Помимо объема, мера обобщает понятия площади, длины, распределения массы (или заряда), а также распределения вероятностей в соответствии с подходом Андрея Колмогорова к теории вероятностей .

«Геометрическое тело» классической математики гораздо более правильное, чем просто набор точек. Граница тела нулевого объема. Таким образом, объем тела - это объем его внутреннего пространства, а внутреннее пространство может быть исчерпано бесконечной последовательностью кубов. Напротив, граница произвольного набора точек может иметь ненулевой объем (пример: множество всех рациональных точек внутри данного куба). Теории меры удалось расширить понятие объема на обширный класс множеств, так называемые измеримые множества . Действительно, неизмеримые множества почти никогда не встречаются в приложениях.

Измеримые множества, заданные в измеримом пространстве по определению, приводят к измеримым функциям и отображениям. Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, нужно снабдить его σ-алгеброй. Σ-алгебра из борелевских множеств является наиболее популярным, но не единственным выбором. ( Иногда также используются множества Бэра , универсально измеримые множества и т. Д.). Топология не определяется однозначно борелевской σ-алгеброй; например, нормальная топология и слабая топология на сепарабельном гильбертовом пространстве приводят к одной и той же борелевской σ-алгебре . Не всякая σ-алгебраявляется борелевской σ-алгеброй некоторой топологии. ^{[подробности 4]} Фактически, σ-алгебра может быть порождена заданным набором множеств (или функций) независимо от какой-либо топологии. Каждое подмножество измеримого пространства само по себе является измеримым пространством.

Стандартные измеримые пространства (также называемые стандартными борелевскими пространствами ) особенно полезны из-за некоторого сходства с компактными пространствами (см. EoM ). Всякое биективное измеримое отображение между стандартными измеримыми пространствами является изоморфизмом; то есть обратное отображение также измеримо. И отображение между такими пространствами измеримо тогда и только тогда, когда его график измерим в пространстве продукта. Точно так же любое биективное непрерывное отображение между компактными метрическими пространствами является гомеоморфизмом; то есть обратное отображение также непрерывно. И отображение между такими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в пространстве произведения.

Каждое борелевское множество в евклидовом пространстве (и, в более общем смысле, в полном сепарабельном метрическом пространстве), снабженное борелевской σ-алгеброй, является стандартным измеримым пространством. Все несчетные стандартные измеримые пространства изоморфны между собой.

Пространство с мерой измеримое пространство , снабженное мерой. Евклидово пространство с мерой Лебега - это пространство с мерой. Теория интеграции определяет интегрируемость и интегралы измеримых функций на пространстве с мерой.

Наборы меры 0, называемые нулевыми наборами, незначительны. Соответственно, «изоморфизм по модулю 0» определяется как изоморфизм между подмножествами полной меры (то есть с незначительным дополнением).

Вероятностное пространство является мера пространства , таким , что мера всего пространства равна 1. Произведения любого семейства (конечным или нет) вероятностных пространств является вероятностным пространством. Напротив, для пространств с мерой в целом определяется только произведение конечного числа пространств. Соответственно, существует множество бесконечномерных вероятностных мер (особенно гауссовских мер ), но нет бесконечномерных мер Лебега.

Стандартные вероятностные пространства являются особенно полезными . В стандартном вероятностном пространстве условное ожидание можно рассматривать как интеграл по условной мере ( обычные условные вероятности , см. Также дезинтеграцию меры ). Для двух стандартных вероятностных пространств каждый гомоморфизм их алгебр с мерой индуцирован некоторым сохраняющим меру отображением. Каждая вероятностная мера на стандартном измеримом пространстве приводит к стандартному вероятностному пространству. Произведение последовательности (конечной или нет) стандартных вероятностных пространств является стандартным вероятностным пространством. Все неатомарные стандартные вероятностные пространства взаимно изоморфны по модулю 0; один из них - отрезок (0,1) с мерой Лебега.

Эти пространства менее геометрические. В частности, идея размерности, применимая (в той или иной форме) ко всем другим пространствам, не применима к измеримым, мерным и вероятностным пространствам.

Некоммутативная геометрия [ править ]

Теоретическое изучение исчисления, известное как математический анализ , привело в начале 20 века к рассмотрению линейных пространств действительных или комплексных функций. Самыми ранними примерами из них были функциональные пространства , каждое из которых адаптировано к своему классу задач. Эти примеры обладали многими общими чертами, и вскоре эти особенности были перенесены в гильбертовы пространства, банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства. Это был мощный инструментарий для решения широкого круга математических задач.

Наиболее подробную информацию несет класс пространств, называемых банаховыми алгебрами . Это банаховы пространства вместе с операцией непрерывного умножения. Важный ранний пример банахов алгебра существенно ограниченные измеримых функций на пространстве с мерой X . Этот набор функций является банаховым пространством относительно поточечного сложения и скалярного умножения. Благодаря операции поточечного умножения оно становится особым типом банахова пространства, которое теперь называется коммутативной алгеброй фон Неймана . Поточечная умножения определяет представление этой алгебры в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на X . Раннее наблюдение Джона фон Неймана состояло в том, что это соответствие работает и в обратном направлении: при некоторых мягких технических гипотезах коммутативная алгебра фон Неймана вместе с представлением в гильбертовом пространстве определяет пространство с мерой, и эти две конструкции (алгебры фон Неймана плюс представление и меры пробел) взаимно обратны.

Затем фон Нейман предположил, что некоммутативные алгебры фон Неймана должны иметь геометрический смысл, как это делают коммутативные алгебры фон Неймана. Вместе с Фрэнсисом Мюрреем он разработал классификацию алгебр фон Неймана. Конструкция прямого интеграла показывает, как любую алгебру фон Неймана разбить на набор более простых алгебр, называемых факторами. Фон Нейман и Мюррей разделили факторы на три типа. Тип I был почти идентичен коммутативному случаю. Типы II и III показали новые явления. Алгебра фон Неймана типа II определила геометрию с той особенностью, что размерность может быть любым неотрицательным действительным числом, а не только целым. Алгебры типа III не были ни типами I, ни II, и после нескольких десятилетий усилий было доказано, что они тесно связаны с факторами типа II.

Несколько иной подход к геометрии функциональных пространств был разработан одновременно с работой фон Неймана и Мюррея по классификации факторов. Этот подход есть теория C * -алгебр . Здесь мотивирующим примером является C * -алгебра , где X - локально компактное хаусдорфово топологическое пространство. По определению, это алгебра непрерывных комплекснозначных функций на X, которые обращаются в нуль на бесконечности (что примерно означает, что чем дальше вы уходите от выбранной точки, тем ближе функция к нулю) с операциями точечного сложения и умножения. Из теоремы Гельфанда – Наймарка следует, что существует соответствие между коммутативными C * -алгебрами${\ displaystyle C_ {0} (X)}$и геометрические объекты: Каждый коммутативный C * -алгебра имеет вида для некоторой локально компактного хаусдорфова пространства X . Следовательно, можно изучать локально компактные хаусдорфовы пространства исключительно в терминах коммутативных C * -алгебр. Некоммутативная геометрия вдохновляет это на изучение некоммутативных C * -алгебр: если бы существовала такая вещь, как «некоммутативное пространство X », то это была бы некоммутативная C * -алгебра ; если дополнительно к этим несуществующим объектам применить теорему Гельфанда – Наймарка, то пространства (коммутативные или нет) будут такими же, как C * -алгебры;${\ displaystyle C_ {0} (X)}$${\ displaystyle C_ {0} (X)}$Итак, из-за отсутствия прямого подхода к определению некоммутативного пространства, некоммутативное пространство определяется как некоммутативная C * -алгебра. Многие стандартные геометрические инструменты могут быть переформулированы в терминах C * -алгебр, и это дает геометрически вдохновленные методы изучения некоммутативных C * -алгебр .

Оба этих примера теперь являются случаями поля, называемого некоммутативной геометрией . Конкретные примеры алгебр фон Неймана и C * -алгебр известны как некоммутативная теория меры и некоммутативная топология соответственно. Некоммутативная геометрия - это не просто стремление к общности ради нее самой и не просто любопытство. Некоммутативные пространства естественным образом и даже неизбежно возникают из некоторых конструкций. Например, рассмотрим непериодические мозаики Пенроузасамолета воздушными змеями и дротиками. Теорема гласит, что в таком тайлинге каждый конечный фрагмент воздушных змеев и дротиков появляется бесконечно часто. Как следствие, невозможно различить две мозаики Пенроуза, глядя на конечную часть. Это делает невозможным присвоение множеству всех мозаик топологии в традиционном смысле. Несмотря на это, мозаики Пенроуза определяют некоммутативную C * -алгебру, и, следовательно, они могут быть изучены методами некоммутативной геометрии. Другой пример, представляющий большой интерес в дифференциальной геометрии , связан со слоениями многообразий. Это способы разбиения многообразия на подмногообразия меньшей размерности, называемые листами, каждый из которых локально параллелен другим поблизости. Набор всех листьев можно превратить в топологическое пространство. Однако пример иррационального вращения показывает, что это топологическое пространство может быть недоступно для техники классической теории меры. Однако существует некоммутативная алгебра фон Неймана, связанная с листовым пространством слоения, и это опять же придает непонятному в остальном пространстве хорошую геометрическую структуру.

Схемы [ править ]

Алгебраическая геометрия изучает геометрические свойства полиномиальных уравнений. Полиномы - это тип функции, определяемый основными арифметическими операциями сложения и умножения. Из-за этого они тесно связаны с алгеброй. Алгебраическая геометрия предлагает способ применения геометрических методов к вопросам чистой алгебры и наоборот.

До 1940-х годов алгебраическая геометрия работала исключительно над комплексными числами, и наиболее фундаментальной разновидностью было проективное пространство. Геометрия проективного пространства тесно связана с теорией перспективы , а ее алгебра описывается однородными многочленами . Все остальные разновидности были определены как подмножества проективного пространства. Проективные многообразия - это подмножества, определяемые набором однородных многочленов. В каждой точке проективного многообразия все многочлены в наборе должны были равняться нулю. Дополнение нулевого множества линейного многочлена - это аффинное пространство, а аффинное многообразие - это пересечение проективного многообразия с аффинным пространством.

Андре Вейль видел, что геометрические рассуждения могут иногда применяться в теоретико-числовых ситуациях, когда рассматриваемые пространства могут быть дискретными или даже конечными. Преследуя эту идею, Вейль переписал основы алгебраической геометрии, освободив алгебраическую геометрию от ее зависимости от комплексных чисел и введя абстрактные алгебраические многообразия, которые не были вложены в проективное пространство. Теперь это просто разновидности .

Тип пространства, лежащего в основе большей части современной алгебраической геометрии, даже более общий, чем абстрактные алгебраические многообразия Вейля. Он был введен Александром Гротендиком и называется схемой.. Одним из мотивов теории схем является то, что многочлены необычно структурированы среди функций, и, следовательно, алгебраические многообразия являются жесткими. Это создает проблемы при попытке изучить вырожденные ситуации. Например, почти любая пара точек на окружности определяет уникальную линию, называемую секущей линией, и когда две точки движутся по окружности, секущая линия непрерывно изменяется. Однако, когда две точки сталкиваются, секущая линия вырождается в касательную. Касательная линия уникальна, но геометрия этой конфигурации - единственная точка на окружности - недостаточно выразительна, чтобы определить уникальную линию. Изучение подобных ситуаций требует теории, способной назначать дополнительные данные для вырожденных ситуаций.

Одним из строительных блоков схемы является топологическое пространство. Топологические пространства имеют непрерывные функции, но непрерывные функции слишком общие, чтобы отражать интересующую алгебраическую структуру. Таким образом, другой компонент схемы - это пучок в топологическом пространстве, называемый «структурным пучком». На каждом открытом подмножестве топологического пространства пучок определяет набор функций, называемых «регулярными функциями». Топологическое пространство и структурный пучок вместе должны удовлетворять условиям, которые означают, что функции происходят из алгебраических операций.

Как и многообразия, схемы определяются как пространства, которые локально моделируются на знакомом пространстве. В случае многообразий знакомое пространство - это евклидово пространство. Для схемы локальные модели называются аффинными схемами . Аффинные схемы обеспечивают прямую связь между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй . Основными объектами изучения коммутативной алгебры являются коммутативные кольца . Если - коммутативное кольцо, то существует соответствующая аффинная схема, переводящая алгебраическую структуру${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$${\ displaystyle R}$в геометрию. Наоборот, всякая аффинная схема определяет коммутативное кольцо, а именно кольцо глобальных сечений его структурного пучка. Эти две операции взаимно обратны, поэтому аффинные схемы предоставляют новый язык для изучения вопросов коммутативной алгебры. По определению каждая точка схемы имеет открытую окрестность, которая является аффинной схемой.

Есть много схем, которые не являются аффинными. В частности, проективные пространства удовлетворяют условию, называемому собственностью, которое аналогично компактности. Аффинные схемы не могут быть правильными (за исключением тривиальных ситуаций, например, когда схема имеет только одну точку), и, следовательно, никакое проективное пространство не является аффинной схемой (кроме нульмерных проективных пространств). Проективные схемы, то есть схемы, которые возникают как замкнутые подсхемы проективного пространства, являются единственным наиболее важным семейством схем. ^[12]

Введено несколько обобщений схем. Майкл Артин определил алгебраическое пространство как фактор схемы по отношениям эквивалентности, которые определяют этальные морфизмы . Алгебраические пространства сохраняют многие полезные свойства схем, одновременно будучи более гибкими. Например, теорема Киля – Мори может использоваться, чтобы показать, что многие пространства модулей являются алгебраическими пространствами.

Более общим, чем алгебраическое пространство, является стек Делиня – Мамфорда . Стеки DM похожи на схемы, но они допускают особенности, которые не могут быть описаны только в терминах полиномов. Для схем они играют ту же роль, что и орбифолды для многообразий . Например, фактор аффинной плоскости по конечной группевращений вокруг начала координат дает стек Делиня – Мамфорда, который не является схемой или алгебраическим пространством. Вдали от начала координат фактор по действию группы идентифицирует конечные наборы равноотстоящих точек на окружности. Но в начале координат круг состоит только из одной точки, самого начала, и действие группы фиксирует эту точку. Однако в стеке частных DM эта точка имеет дополнительные данные о частном. Такая уточненная структура полезна в теории пространств модулей, и фактически она была первоначально введена для описания модулей алгебраических кривых .

Дальнейшим обобщением являются алгебраические стеки , также называемые стеками Артина. Стеки DM ограничены факторами по действиям конечной группы. Хотя этого достаточно для многих задач теории модулей, он слишком ограничивает другие, и стеки Артина допускают более общие факторы.

Топои [ править ]

В работе Гротендика над гипотезами Вейля он ввел новый тип топологии, который теперь называется топологией Гротендика . Топологическое пространство (в обычном смысле) аксиоматизирует понятие «близости», делая две точки близкими тогда и только тогда, когда они лежат во многих из одних и тех же открытых множеств. Напротив, топология Гротендика аксиоматизирует понятие «покрытие». Покрытие пространства - это набор подпространств, которые вместе содержат всю информацию окружающего пространства. Поскольку пучки определены в терминах покрытий, топологию Гротендика можно также рассматривать как аксиоматизацию теории пучков.

Работа Гротендика над его топологиями привела его к теории топоев . В своих мемуарах Récoltes et Semailles он назвал их своей «самой обширной концепцией». ^[13] Пучок (либо в топологическом пространстве, либо по топологии Гротендика) используется для выражения локальных данных. Категория всех пучков несет в себе все возможные способы выражения локальных данных. Поскольку топологические пространства построены из точек, которые сами по себе являются своего рода локальными данными, категорию пучков можно использовать в качестве замены исходного пространства. Следовательно, Гротендик определил топос как категорию пучков и изучал топос как самостоятельные объекты интереса. Теперь они называются Grothendieck topoi .

Каждое топологическое пространство определяет топос, и наоборот. Есть топологические пространства, где при взятии связанных топосов теряется информация, но они обычно считаются патологическими. (Необходимым и достаточным условием является то, что топологическое пространство является трезвым пространством .) И наоборот, существуют топосы, ассоциированные топологические пространства которых не захватывают исходные топосы. Но эти топои далеко не патологические, они могут представлять большой математический интерес. Например, теория этальных когомологий Гротендика (которая в конечном итоге привела к доказательству гипотез Вейля) может быть сформулирована как когомологии этальных топосов схемы, и этот топос не исходит из топологического пространства.

Фактически, топологические пространства приводят к очень специфическим топосам, называемым локали . Множество открытых подмножеств топологического пространства определяет решетку . Аксиомы топологического пространства делают эти решетки полными гейтинговыми алгебрами . Теория локалей берет это за отправную точку. Локаль определяется как полная алгебра Гейтинга, и элементарные свойства топологических пространств повторно выражаются и опровергаются в этих терминах. Понятие локали оказывается более общим, чем топологическое пространство, в том смысле, что каждое трезвое топологическое пространство определяет уникальную локаль, но многие интересные локали происходят не из топологических пространств. Поскольку у локаций не обязательно должны быть баллы, изучение локаций в шутку называютбессмысленная топология .

Топои также демонстрируют глубокие связи с математической логикой. Каждый топос Гротендика имеет специальный пучок, называемый классификатором подобъектов. Этот классификатор подобъектов функционирует как набор всех возможных значений истинности. В топосе множеств классификатором подобъектов является множество , соответствующее «Ложь» и «Истина». Но в других топоях классификатор подобъектов может быть намного сложнее. Ловер и Тирни признали , что аксиоматизации подобъектов классификатору дали более общий вид топоса, который теперь известен как элементарный топос , и что элементарные топосы были моделью интуиционистской логики${\ displaystyle \ {0,1 \}}$. Помимо предоставления мощного способа применения инструментов от логики к геометрии, это сделало возможным использование геометрических методов в логике.

Пространства и конструкции [ править ]

По словам Кевина Карлсона,

Ни одно из этих слов [«пространство» и «структура»] не имеет единого математического определения. Английские слова можно использовать практически во всех одних и тех же ситуациях, но вы часто думаете о «пространстве» как о более геометрическом, а о «структуре» как о более алгебраическом. [...] Итак, вы можете думать о «структурах» как о местах, где мы занимаемся алгеброй, а о «пространствах» как о местах, где мы занимаемся геометрией. Затем большая часть великой математики пришла из перехода от структур к пространствам и наоборот, например, когда мы смотрим на фундаментальную группу топологического пространства или спектр кольца . Но, в конце концов, различие не является ни жестким, ни быстрым, и заходит так далеко: многие вещи, очевидно, являются одновременно структурами и пространствами, некоторые вещи также не очевидныи некоторые люди вполне могут не согласиться со всем, что я здесь сказал. ^[1]

Тем не менее, Бурбаки предложил общее определение «структуры»; ^[2] он охватывает все типы пространств, упомянутых выше, (почти?) Все типы математических структур, используемые до сих пор, и многое другое. Он дает общее определение изоморфизма и оправдывает перенос свойств между изоморфными структурами. Однако он никогда активно не использовался в математической практике (даже в математических трактатах, написанных самим Бурбаки). Вот последние фразы из рецензии Роберта Рида ^[14] на книгу Лео Корри:

Корри, похоже, не считает, что какое-либо формальное определение структуры может отдать должное использованию этого понятия в реальной математической практике [...] Точка зрения Корри может быть резюмирована как убеждение, что «структура» по существу относится к способу выполнения математических вычислений. , и поэтому это понятие, вероятно, столь же далек от того, чтобы быть точно определимым, как культурный артефакт самой математики.

Для получения дополнительной информации о математических структурах см. Википедию: математическая структура , эквивалентные определения математических структур и перенос структуры .

Различие между геометрическими «пространствами» и алгебраическими «структурами» иногда очевидно, иногда неуловимо. Ясно, что группы алгебраичны, а евклидовы пространства геометрически. Модули над кольцами так же алгебраичны, как и группы. В частности, когда кольцо кажется полем , модуль кажется линейным пространством ; это алгебраический или геометрический? В частности, когда оно конечномерно, над действительными числами и снабжено внутренним продуктом , оно становится евклидовым пространством ; теперь геометрический. (Алгебраическое?) Поле действительных чисел такое же, как (геометрическое?) Вещественная линия . Егоалгебраическое замыкание , (алгебраическое?) поле комплексных чисел - это то же самое, что (геометрическая?) комплексная плоскость . Это прежде всего «место, где мы занимаемся анализом » (а не алгеброй или геометрией).

Каждое пространство, рассматриваемое в разделе « Типы пространств » выше, за исключением подразделов «Некоммутативная геометрия», «Схемы» и «Топои», представляет собой набор («основной базовый набор» структуры, согласно Бурбаки), наделенный некоторая дополнительная структура; элементы базового набора обычно называют «точками» этого пространства. Напротив, элементы (базового набора) алгебраической структуры обычно не называют «точками».

Однако иногда используется более одного основного базового набора. Например, двумерная проективная геометрия может быть формализована с помощью двух базовых наборов , набора точек и набора линий. Кроме того, отличительной чертой проективных плоскостей является симметричность ролей точек и линий . Менее геометрический пример: граф может быть формализован с помощью двух базовых наборов , набора вершин (называемых также узлами или точками) и набора ребер (называемых также дугами или линиями). Обычно конечное число основных базовых множеств и конечное число вспомогательных базовых множеств устанавливаются Бурбаки.

Многие математические структуры геометрического типа, рассматриваемые в подразделах «Некоммутативная геометрия», «Схемы» и «Топои» выше, не предусматривают базовый набор точек. Например, « бессмысленная топология » (другими словами, бесточечная топология или теория локали) начинается с единственного базового набора, элементы которого имитируют открытые множества в топологическом пространстве (но не являются наборами точек); см. также меротопологию и безточечную геометрию .

Математические пробелы по имени [ править ]

См. Также [ править ]

• Математическая структура
• Транспорт конструкции
• Набор (математика)

Примечания [ править ]

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья была отправлена ​​в WikiJournal of Science для внешнего научного рецензирования в 2017 году ( отчеты рецензентов ). Обновленный контент был повторно интегрирован на страницу Википедии по лицензии CC-BY-SA-3.0 ( 2018 ). Рецензированная версия записи: Борис Цирельсон ; и другие. (1 июня 2018 г.). «Пространства в математике» (PDF) . WikiJournal of Science . 1 (1): 2. DOI : 10,15347 / WJS / 2018,002 . ISSN 2470-6345 . Викиданные Q55120290 .   

• Бурбаки, Николас , Элементы математики , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод).
• Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод).
• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / b97680 , ISBN 978-0-387-98638-8CS1 maint: ref = harv ( ссылка ).
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре , ред. (2008), Принстонский компаньон по математике , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2.
• Ито, Киёси , изд. (1993), Энциклопедический математический словарь (второе изд.), Математическое общество Японии (оригинал), MIT Press (перевод).

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с космосом (математикой) на Викискладе?
• Матильда Марколли (2009) Понятие пространства в математике , из Калифорнийского технологического института .