Теорема плотности Чеботарева в алгебраической теории чисел статистически описывает расщепление простых чисел в данном расширении Галуа K поляиз рациональных чисел . Вообще говоря, простое число фактор будет на несколько идеальных простых чисел в кольце целых алгебраических чисел из K . Может возникнуть лишь конечное число шаблонов расщепления. Хотя полное описание расщепления каждого простого числа p в общем расширении Галуа является основной нерешенной проблемой, теорема плотности Чеботарева утверждает, что частота появления данного шаблона для всех простых чисел p, меньших большого целого числа N , имеет тенденцию до определенного предела, когда N стремится к бесконечности. Это доказал Николай Чеботарев в своей диссертации 1922 года, опубликованной в (Чеботарефф 1926 г. ).
Частный случай, который легче сформулировать, говорит, что если K - поле алгебраических чисел, которое является расширением Галуастепени n , то простые числа, полностью расщепляющиеся в K, имеют плотность
- 1 / п
среди всех простых чисел. В более общем смысле, поведение расщепления можно задать, присвоив (почти) каждому простому числу инвариант, его элемент Фробениуса , который является представителем четко определенного класса сопряженности в группе Галуа.
- Гал ( K / Q ).
Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряженности с k элементами возникает с частотной асимптотикой к
- к / н .
История и мотивация
Когда Карл Фридрих Гаусс впервые ввел понятие комплексных целых чисел Z [ i ], он заметил, что обычные простые числа могут быть множителями в этом новом наборе целых чисел. Фактически, если простое число p конгруэнтно 1 по модулю 4, то оно разлагается на произведение двух различных простых гауссовских целых чисел или «полностью разделяется»; если p конгруэнтно 3 mod 4, то оно остается простым или «инертным»; и если p равно 2, то оно становится произведением квадрата простого числа (1 + i) и обратимого гауссовского целого числа -i ; мы говорим, что 2 «разветвляется». Например,
- полностью раскалывается;
- инертен;
- разветвляется.
Из этого описания следует, что, если рассматривать все большие и большие простые числа, частота расщепления простых чисел полностью приближается к 1/2, и то же самое для простых чисел, которые остаются простыми числами в Z [ i ]. Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях показывает, что это действительно так. Несмотря на то, что сами простые числа появляются довольно хаотично, разделение простых чисел в расширении
следует простому статистическому закону.
Подобные статистические законы также выполняются для расщепления простых чисел в круговых расширениях , полученных из поля рациональных чисел путем присоединения первообразного корня из единицы заданного порядка. Например, обычные целые простые числа группируются в четыре класса, каждый с вероятностью 1/4, в соответствии с их схемой разбиения в кольце целых чисел, соответствующих корням восьмой степени из единицы. В этом случае расширение поля имеет степень 4 и является абелевым , при этом группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна . Оказалось, что группа Галуа расширения играет ключевую роль в схеме расщепления простых чисел. Георг Фробениус установил основу для исследования этого паттерна и доказал частный случай теоремы. Общее утверждение было доказано Николаем Григорьевичем Чеботаревым в 1922 году.
Связь с теоремой Дирихле
Теорема плотности Чеботарева может рассматриваться как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Количественная форма теоремы состояний Дирихля , что если N ≥ 2 представляет собой целое число , и является взаимно простым с N , то доля простых чисел р конгруэнтен в модах N является асимптотической 1 / п , где п = φ ( N ) представляет собой Тотиентная функция Эйлера . Это особый случай теоремы плотности Чеботарева для N - й кругового поля К . Действительно, группа Галуа K / Q абелева и может быть канонически отождествляется с группой обратимых классов вычет по модулю N . Инвариант расщепления простого числа p, не делящего N, - это просто его класс вычетов, потому что число различных простых чисел, на которые разбивается p, равно φ ( N ) / m, где m - порядок мультипликативности p по модулю N; следовательно , по теореме плотности Чеботарева, простые числа асимптотически равномерно распределены среди различных классов вычетов взаимно простое с N .
Формулировка
В своей обзорной статье Ленстра и Стивенхаген (1996) приводят более ранний результат Фробениуса в этой области. Пусть К является расширением Галуа из поля рациональных чисел Q и Р ( т ) унитарный целое число такое , что полином К является полем расщепления из P . Имеет смысл разложить P на множители по простому числу p . Его «тип расщепления» - это список степеней неприводимых множителей P mod p , т. Е. P некоторым образом факторизуется над простым полем F p . Если n - степень P , то тип расщепления - это разбиение числа n . Рассматривая также группу Галуа G группы K над Q , каждый g в G является перестановкой корней P в K ; другими словами, выбирая порядок α и его алгебраических сопряженных элементов , G точно представляется как подгруппа симметрической группы S n . Мы можем написать g с помощью его циклического представления , которое дает «циклический тип» c ( g ), снова разбиение n .
Теорема Фробениуса утверждает , что для любого данного выбора П простых чисел р , для которых типа расщепления Р по модулю р является Π имеет естественную плотность б, с δ , равные долями г в G , которые имеют тип цикла П.
Утверждение более общего Чеботарев теорема в терминах элемента Фробениуса простого числа (идеальный), который фактически связанный с ним классом сопряженным С элементами группы Галуа G . Если мы зафиксируем C, то теорема говорит, что асимптотически пропорция | C | / | G | простые числа имеют связанную фробениусову элемент как C . Когда G абелева классов Конечно , каждый имеет размер 1. Для случая неабелевой группы порядка 6 они имеют размер 1, 2 и 3, и , соответственно , существуют (например) 50% простых чисел р , которые имеют Закажите 2 элемента как их Фробениуса. Таким образом, эти простые числа имеют вычетную степень 2, поэтому они разделяются ровно на три простых идеала в расширении Q степени 6 с этой группой Галуа. [1]
Заявление
Пусть L -конечное расширение Галуа числового поля К с группой Галуа G . Пусть X - подмножество G , устойчивое относительно сопряжения. Множество простых чисел v из K , неразветвленных в L и ассоциированный с которыми класс сопряженности Фробениуса F v содержится в X, имеет плотность
Утверждение справедливо, когда плотность относится либо к естественной плотности, либо к аналитической плотности набора простых чисел. [3]
Действующая версия
Обобщенная гипотеза Римана влечет эффективную версию [4] теоремы Чеботарева о плотности : если L / K - конечное расширение Галуа с группой Галуа G , а C - объединение классов сопряженности группы G , то количество неразветвленных простых чисел группы K нормы ниже x с классом сопряженности Фробениуса в C является
где константа, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, n - степень L над Q , а Δ - его дискриминант.
Эффективная форма теории плотности Чеботарева становится намного слабее без GRH. В качестве L возьмем конечное расширение Галуа группы Q с группой Галуа G и степенью d . Братькак нетривиальное неприводимое представление группы G степени n , и возьмембыть Артиным дирижером этого представительства. Предположим, что для субпредставительство или же , целая; то есть гипотеза Артина выполняется для всех. Брать быть персонажем, связанным с . Тогда есть абсолютный позитив такой, что для ,
где равно 1, если тривиально, иначе 0, и где является исключительным вещественным нулем в; если такого нуля нет, тотермин можно игнорировать. Неявная константа этого выражения абсолютна. [5]
Бесконечные расширения
Утверждение теоремы Чеботарева о плотности может быть обобщено на случай бесконечного расширения Галуа L / K , неразветвленного вне конечного множества S простых чисел K (т. Е. Если существует конечное множество S простых чисел K такое, что любое простое из K не S неразветвлено в расширении L / K ). В этом случае группа Галуа G группы L / K является проконечной группой, снабженной топологией Крулля. Поскольку G компактна в этой топологии, на G существует единственная мера Хаара µ . Для любого простого числа v группы K, не принадлежащего S, существует ассоциированный класс фробениусовой сопряженности F v . Теорема плотности Чеботарева в этой ситуации может быть сформулирована следующим образом: [2]
- Пусть X - устойчивое относительно сопряжения подмножество G , граница которого имеет нулевую меру Хаара. Тогда множество простых чисел v поля K, не лежащих в S, таких, что F v ⊆ X имеет плотность
Это сводится к конечному случаю, когда L / K конечно (тогда мера Хаара является просто считающей мерой).
Следствие этого варианта теоремы является то , что элементы Фробениуса неразветвленных простых чисел L плотны в G .
Важные последствия
Теорема Чеботарева о плотности сводит проблему классификации расширений Галуа числового поля к задаче описания разбиения простых чисел в расширениях. В частности, это означает, что как расширение Галуа K , L однозначно определяется набором простых чисел K, которые полностью в нем распадаются. [6] Связанный с этим следствием является то , что если почти все простые идеалы K полностью разделены на L , то на самом деле L = K . [7]
Заметки
- ^ Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, потому что G - симметрическая группа. В общем, сопряжение в G более требовательно, чем цикл одного и того же типа.
- ^ a b Раздел I.2.2 Серра
- Перейти ↑ Lenstra, Hendrik (2006). "Теорема плотности Чеботарева" (PDF) . Проверено 7 июня 2018 .
- ^ Lagarias, JC; Одлызко А.М. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел : 409–464.
- ^ Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.
- ^ Следствие VII.13.10 Нойкирх
- ^ Следствие VII.13.7 из Neukirch
Рекомендации
- Ленстра, HW; Stevenhagen, P. (1996), "Чеботарев и теорема его плотности" (PDF) , Математическая Интеллидженсер , 18 (2): 26-37, CiteSeerX 10.1.1.116.9409 , DOI : 10.1007 / BF03027290 , MR 1395088
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Серр, Жан-Пьер (1998) [1968], Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые (пересмотренная перепечатка оригинального издания 1968 года), Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-077-6, Руководство по ремонту 1484415
- Чеботарефф, Н. (1926), "Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören", Mathematische Annalen , 95 (1): 191–228, doi : 10.1007 / BF01206606