Зигель ноль

В математике , точнее в области аналитической теории чисел , ноль Ландау – Зигеля или просто ноль Зигеля (также известный как исключительный ноль ^[1] ), названный в честь Эдмунда Ландау и Карла Людвига Зигеля , является типом потенциального контрпримера к обобщенная гипотеза Римана о нулях L-функций Дирихле, связанных с полями квадратичных чисел . Грубо говоря, это возможные нули, очень близкие (в количественном смысле) к s = 1 .

Мотивация и определение [ править ]

То, как нули Зигеля появляются в теории L-функций Дирихле, является потенциальным исключением из классических областей без нулей , которые могут иметь место только тогда, когда L-функция связана с действительным характером Дирихле.

Настоящие примитивные персонажи Дирихле [ править ]

Для целой д ≥ 1 , А характер Дирихле по модулю д является арифметическая функция , удовлетворяющая следующие свойства:${\textstyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{*}}$

• ( Полностью мультипликативный ) для любого m , n ;${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• (Периодический) для каждого n ;${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (Поддержка) если .${\textstyle \chi (n)=0}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

То есть х - поднятие гомоморфизма .${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

Тривиальный характер есть характер по модулю 1, а основной характер по модулю д , обозначается , является снятием тривиального гомоморфизма . Характер называется импримитивным, если существует некоторое целое с таким, что индуцированный гомоморфизм множится как${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$${\textstyle d\neq q}$${\textstyle d\mid q}$${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

для какого-то персонажа ; в противном случае называется примитивным . Символ является действительным (или квадратичным ), если он равен своему комплексно-сопряженному (определенному как ), или, что эквивалентно, если . В реальных примитивных характерах Дирихле взаимно однозначное соответствие с символами Кронекера для более фундаментального дискриминанта (то есть, дискриминант поля квадратичного числа ). ^[2] Один из способов определения - это полностью мультипликативная арифметическая функция, определяемая (для простого p ):${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots \\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots \end{cases}},\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Таким образом, принято писать настоящие примитивные символы по модулю .${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$${\textstyle |D|}$

Классические области без нуля [ править ]

L-функция Дирихле , связанная с характером определяются как аналитическое продолжение этого ряда Дирихля , определенный для , где s представляет собой комплексную переменный . Для непринципиальных это продолжение целиком ; в противном случае она имеет простой полюс из остатка при х = 1 в качестве единственной сингулярности. Для L-функции Дирихле можно разложить в произведение Эйлера , откуда следует, что в этой области нет нулей. Теорема о простых числах для арифметических прогрессий${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$${\textstyle L(s,\chi )}$эквивалентно (в определенном смысле) ( ). Более того, с помощью функционального уравнения мы можем отразить эти области, чтобы заключить, что, за исключением отрицательных целых чисел той же четности, что и χ , ^[3] все остальные нули должны лежать внутри . Эта область называется критической полосой , а нули в этой области - нетривиальными нулями .${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$${\textstyle s\mapsto 1-s}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

Классическая теорема об областях без нулей (Гренвалл, ^[4] Ландау, ^[5] Титчмарш ^[6] ) утверждает, что существует (n) (эффективно вычислимое) действительное число такое, что, записывая для комплексной переменной, функция имеет нет нулей в регионе${\textstyle A>0}$${\displaystyle s=\sigma +it}$${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

если нереально. Если реально, то в этой области есть не более одного нуля, который обязательно должен быть реальным и простым . Этот возможный ноль и есть так называемый ноль Зигеля .${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle \chi }$

В Обобщенная гипотеза Римана (GRH) утверждает , что для каждого , все нетривиальные нули лежат на прямой .${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

Определение "нулей Сигеля" [ править ]

Представленное определение нулей Зигеля связывает его с константой A в области без нулей. Это часто затрудняет работу с этими объектами, поскольку во многих ситуациях конкретное значение константы A не имеет большого значения. ^[1] Следовательно, обычно работают с более определенными утверждениями, утверждающими или отрицающими существование бесконечного семейства таких нулей, например, в:

• Гипотеза («нет нулей Зигеля»): если${\textstyle \beta _{D}}$ обозначает наибольший действительный ноль , то .${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}}$

Возможность существования или отсутствия нулей Зигеля имеет большое влияние на тесно связанные предметы теории чисел, при этом гипотеза «отсутствия нулей Зигеля» служит более слабой, но мощной и иногда полностью достаточной заменой GRH (см. Ниже пример с теоремой Зигеля – Татудзавы и проблемой идонеального числа ). Эквивалентной формулировкой «без нулей Зигеля», которая не ссылается на нули явно, является утверждение:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

Эквивалентность может быть выведена, например, с помощью областей без нулей и классических оценок количества нетривиальных нулей до определенной высоты. ^[7]${\textstyle L(s,\chi )}$

Оценки Ландау – Зигеля [ править ]

Первый прорыв в работе с этими нулями был сделан Ландау, который показал, что существует эффективно вычислимая абсолютная константа B > 0 такая, что если и являются действительными примитивными характерами с различными модулями и являются действительными нулями соответственно, то${\textstyle \chi _{D}}$${\textstyle \chi _{D'}}$${\textstyle \beta ,\beta '}$${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

Это говорит о том, что если нули Сигеля существуют, то их не может быть слишком много. Образом это доказанное через «скручивание» аргумент, который поднимает проблему к дедекиндовым дзета - функции в биквадратичным поле . Этот прием до сих пор широко применяется в современных работах.${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

Этот «эффект отталкивания» (см. Феномен Дойринга – Хейльбронна ) после более тщательного анализа привел Ландау к его теореме 1936 г. ^{[8], в} которой говорится, что для каждого существует такое, что если является действительным нулем , то . Однако в том же году в том же номере того же журнала Зигель ^[9] прямо улучшил эту оценку до${\textstyle \varepsilon >0}$${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$${\textstyle \beta }$${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

Доказательство Ландау и Зигеля не дает явного способа вычисления , являясь примером неэффективного результата .${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

Теорема Зигеля – Татудзавы [ править ]

В 1951 г. Т. Татудзава доказал «почти» эффективную версию теоремы Зигеля ^[10], показав, что для любого фиксированного , если тогда${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655|D|^{-\varepsilon },}$

за возможным исключением не более одного фундаментального дискриминанта. Используя «почти эффективность» этого результата, П. Дж. Вайнбергер (1973) ^[11] показал, что список Эйлера из 65 идонеальных чисел является полным, за исключением не более одного элемента.

Отношение к квадратичным полям [ править ]

Нули Зигеля - это больше, чем искусственный аргумент в пользу вывода областей без нулей, и на самом деле они имеют глубокую связь с арифметикой квадратичных полей. Например, тождество можно интерпретировать как аналитическую формулировку квадратичной взаимности (см. Закон взаимности Артина §Заявление в терминах L-функций ). Фактическая связь между распределением нулей около s = 1 и арифметикой происходит более точно из формулы числа классов Дирихле :${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

где:

• ${\textstyle h(D)}$это число классов идеалов из ;${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$ is the number of roots of unity in ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ (D < 0);
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$ is the fundamental unit of ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ (D > 0).

This way, estimates for the largest real zero of ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ can be translated into estimates for ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ (via, for example, the fact that ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$ for ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$),^[12] which in turn become estimates for ${\textstyle h(D)}$. Classical works in the subject treat these three quantities essentially interchangeably, although the case D > 0 brings additional complications related to the fundamental unit.

Siegel zeros as 'quadratic phenomena'[edit]

В некотором смысле сложность, связанная с феноменом нулей Зигеля в целом, полностью ограничивается квадратичными расширениями. Это является следствием теоремы Кронекера-Вебер , например, что дедекиндова дзета - функция из поля абелевого числа может быть записана в виде произведения Дирихле L-функции. ^[13] Таким образом, если имеет нуль Зигеля, должно быть какое-то подполе с таким, что имеет нуль Зигеля.${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle \zeta _{K}(s)}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

В то время как для неабелевого случая можно разложить только на более сложные L-функции Артина , то же самое верно:${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• Теорема ( Старк , 1974) . ^[14] Позвольте быть числовое поле степени n > 1 . Существует константа ( если это нормально, в противном случае) такая, что, если в диапазоне есть вещественное число${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle c(n)}$${\textstyle =4}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle =4n!}$${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

с , то существует такое квадратичное подполе , что . Здесь - дискриминант поля расширения .${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$${\textstyle \Delta _{K}}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

"Нет нулей Зигеля" для D <0 [ править ]

При работе с квадратичными полями случай, как правило, неуловим из-за поведения фундаментальной единицы. Таким образом, принято рассматривать случаи и отдельно. Об отрицательном дискриминанте известно гораздо больше:${\textstyle D>0}$${\textstyle D<0}$${\textstyle D>0}$

Нижние оценки для h ( D ) [ править ]

В 1918 году Гекке показал, что «отсутствие нулей Зигеля для» означает, что ^[5] (см. Для сравнения задачу о числе классов ). Это может быть расширено до эквивалентности, поскольку является следствием теоремы 3 из Granville - Stark (2000): ^[15]${\textstyle D<0}$${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{``No Siegel zeros'' for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

where the summation runs over the reduced binary quadratic forms ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ of discriminant ${\textstyle D}$. Using this, Granville and Stark showed that a certain uniform formulation of the abc conjecture for number fields implies "no Siegel zeros" for negative discriminants.

In 1976, D. Goldfeld^[16] proved the following unconditional, effective lower bound for ${\textstyle h(D)}$:

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Complex multiplication[edit]

Another equivalence for "no Siegel zeros" for ${\textstyle D<0}$ can be given in terms of upper bounds for heights of singular moduli:

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

where:

• ${\textstyle h}$ is the absolute logarithmic naïve height for number fields;
• ${\textstyle j}$ is the j-invariant function;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

The number ${\textstyle j(\tau _{D})}$ generates the Hilbert class field of ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$, which is its maximal unramified abelian extension.^[17] This equivalence is a direct consequence of the results in Granville–Stark (2000),^[15] and can be seen in C. Táfula (2019).^[18]

A precise relation between heights and values of L-functions was obtained by P. Colmez (1993,^[19] 1998^[20]), who showed that, for an elliptic curve ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ with complex multiplication by ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$, we have

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

где обозначает высоту Фальтингса . ^[21] С помощью относительно элементарных соотношений ^[22] и , ^[23] теорема Колмеса также обеспечивает доказательство эквивалентности, указанной выше.${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

Последствия существования нулей Зигеля [ править ]

Although the Generalized Riemann Hypothesis is expected to be true, while the "no Siegel zeros" conjecture remains open it is interesting to study what are the consequences of such severe counterexamples to the hypothesis. Another reason to study this possibility is that the proof of certain unconditional theorems require the division into two cases: first a proof assuming no Siegel zeros exist, then another assuming Siegel zeros do exist. The most famous example of a theorem of this type is Linnik's theorem on the smallest prime in an arithmetic progression.

The following are some examples of facts that follow from the existence of Siegel zeros.

Infinitude of twin primes[edit]

One of the most striking results in this direction is Heath-Brown's 1983 result^[24] which, following Tao,^[25] can be stated as follows:

• Theorem (Heath-Brown, 1983). At least one the following is true: (1) There are no Siegel zeros. (2) There are infinitely many twin primes.

Parity problem[edit]

The parity problem in sieve theory roughly refers to the fact that sieving arguments are, generally speaking, unable to tell if an integer has an even or odd number of prime divisors. This leads to many upper bounds in sieve estimates, such as the one from the linear sieve^[26] being off by a factor of 2 from the expected value. In 2020, Granville^[27] showed that under the assumption of the existence of Siegel zeros, the general upper bounds for the problem of sieving intervals are optimal, meaning that the extra factor of 2 coming from the parity phenomenon would thus not be an artificial limitation of the method.

See also[edit]

• Generalized Riemann hypothesis
• Deuring–Heilbronn phenomenon
• Class number problem
• Brauer–Siegel theorem
• Siegel–Walfisz theorem

References[edit]

• Davenport, H. (1980). "Multiplicative Number Theory". Graduate Texts in Mathematics. doi:10.1007/978-1-4757-5927-3. ISSN 0072-5285.

• Iwaniec, H. (2006), Friedlander, J. B.; Heath-Brown, D. R.; Iwaniec, H.; Kaczorowski, J. (eds.), "Conversations on the Exceptional Character", Analytic Number Theory: Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, July 11–18, 2002, Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 97–132, doi:10.1007/978-3-540-36364-4_3, ISBN 978-3-540-36364-4, retrieved 2021-03-13

• Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (2006). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.

• Zagier, D. B. (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Hochschultext (in German). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6.