Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ ( s ) на комплексной плоскости . Цвет точки s кодирует значение ζ ( s ): цвета, близкие к черному, обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент значения .

В математике , Аналитическая теория чисел является ветвью теории чисел , которая использует методы из математического анализа для решения задач о целых числах . ^[1] Часто говорят, что он начался с введения Петером Густавом Леженом Дирихле в 1837 г. L- функций Дирихле, который дал первое доказательство теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . ^{[1] [2]} Он хорошо известен своими результатами о простых числах (включая теорему о простых числах и дзета-функцию Римана ) иаддитивная теория чисел (например, гипотеза Гольдбаха и проблема Варинга ).

Разделы аналитической теории чисел [ править ]

Аналитическую теорию чисел можно разделить на две основные части, разделенные больше по типу задач, которые они пытаются решить, чем по фундаментальным различиям в технике.

• Мультипликативная теория чисел имеет дело с распределением простых чисел , например, с оценкой количества простых чисел в интервале, и включает теорему о простых числах и теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях .
• Аддитивная теория чисел занимается аддитивной структурой целых чисел, такой как гипотеза Гольдбаха о том, что каждое четное число больше 2 является суммой двух простых чисел. Одним из основных результатов аддитивной теории чисел является решение проблемы Варинга .

История [ править ]

Предшественники [ править ]

Большая часть аналитической теории чисел была вдохновлена теоремой о простых числах . Пусть π ( x ) - функция подсчета простых чисел, которая дает количество простых чисел, меньшее или равное x , для любого действительного числа  x . Например, π (10) = 4, потому что четыре простых числа (2, 3, 5 и 7) меньше или равны 10. Теорема о простых числах утверждает, что x / ln ( x ) является хорошим приближением к π ( х ), в том смысле , что предел в фактор из двух функций л ( х ) и х / п ( х ) в виде х приближается к бесконечности - 1:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x / \ ln (x)}} = 1,}$

известный как асимптотический закон распределения простых чисел.

Адриен-Мари Лежандр в 1797 или 1798 году предположил, что π ( a ) аппроксимируется функцией a / ( A ln ( a ) +  B ), где A и B - неопределенные константы. Затем во втором издании своей книги по теории чисел (1808 г.) он высказал более точное предположение с A  = 1 и B  ≈ −1,08366. Карл Фридрих Гаусс размышлял над тем же вопросом: «Im Jahr 1792 oder 1793», согласно его собственным воспоминаниям почти шестьдесят лет спустя в письме к Энке (1849 г.), он записал в своей таблице логарифмов (ему тогда было 15 или 16) краткое note "Primzahlen unter${\ Displaystyle а (= \ infty) {\ гидроразрыва {а} {\ ln а}}}$". Но Гаусс никогда не публиковал эту гипотезу. В 1838 году Питер Густав Лежен Дирихле придумал свою собственную аппроксимирующую функцию, логарифмический интеграл li ( x ) (в несколько иной форме ряда, которую он сообщил Гауссу). И Лежандра, и Формулы Дирихле влекут за собой ту же гипотезу об асимптотической эквивалентности π ( x ) и x  / ln ( x ), изложенную выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности вместо частных.

Дирихле [ править ]

Иоганну Петру Густаву Лежену Дирихле приписывают создание аналитической теории чисел ^[3], области, в которой он нашел несколько глубоких результатов и при их доказательстве ввел некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых позже были названы в его честь. В 1837 году он опубликовал теорему Дирихле об арифметических прогрессиях , используя концепции математического анализа для решения алгебраической проблемы и тем самым создав раздел аналитической теории чисел. При доказательстве теоремы он ввел характеры Дирихле и L-функции . ^{[3] [4]} В 1841 году он обобщил свою арифметическую прогрессию теорему из целых чисел в кольцо из гауссовых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я]}$. ^[5]

Чебышев [ править ]

В двух статьях 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутый Львович Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ ( s ) (для реальных значений аргумента «s», как и работы Леонарда Эйлера еще в 1737 году), предшествовавшей знаменитым мемуарам Римана 1859 года, и ему удалось доказать несколько более слабая форма асимптотического закона, а именно, что если предел π ( x ) / ( x / ln ( x )), когда x стремится к бесконечности, вообще существует, то он обязательно равен единице. ^[6]Ему удалось безоговорочно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами, близкими к 1 для всех x . ^[7] Хотя статья Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки для π ( x ) были достаточно сильными, чтобы доказать постулат Бертрана о том, что существует простое число от n до 2 n для любого целого n  ≥ 2.

Риман [ править ]

Бернхард Риман внес несколько известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел. В единственной короткой статье (единственной, которую он опубликовал по теме теории чисел) он исследовал дзета-функцию Римана и установил ее важность для понимания распределения простых чисел . Он высказал ряд предположений о свойствах дзета-функции , одной из которых является хорошо известная гипотеза Римана .

Адамар и де ла Валле-Пуссен [ править ]

Расширяя идеи Римана, два доказательства теоремы о простых числах были независимо получены Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном и появились в том же году (1896 г.). Оба доказательства использовали методы комплексного анализа, установив в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ ( s ) отлична от нуля для всех комплексных значений переменной s, которые имеют вид s  = 1 +  it с t  > 0. . ^[9]

Новое время [ править ]

Самый большой технический прогресс после 1950 года был разработкой сетчатых методов , ^[10] , особенно в мультипликативных проблемах. Они комбинаторны по своей природе и весьма разнообразны. На экстремальную ветвь комбинаторной теории, в свою очередь, большое влияние оказало то значение, которое в аналитической теории чисел придается количественным оценкам сверху и снизу. Еще одним нововведением является вероятностной теории чисел , ^[11] , который использует методы теории вероятностей для оценки распределения теории чисел функций, например, сколько простые делители число имеет.

Развитие аналитической теории чисел часто является уточнением более ранних методов, которые сокращают количество ошибок и расширяют их применимость. Например, метод , круг из Hardy и Литтлвуда был задуман , как относящиеся к степенному ряду вблизи единичной окружности в комплексной плоскости ; теперь он рассматривается в терминах конечных экспоненциальных сумм (то есть на единичной окружности, но с усеченным степенным рядом). Потребности диофантовых приближений предназначены для вспомогательных функций , которые не производящих функции -их коэффициентов построенных с использованием принципа Дирихля—И включают несколько сложных переменных . Области диофантовых приближений и теории трансцендентности расширились до такой степени, что эти методы были применены к гипотезе Морделла .

Проблемы и результаты [ править ]

Теоремы и результаты в рамках аналитической теории чисел, как правило, не являются точными структурными результатами о целых числах, для которых алгебраические и геометрические инструменты являются более подходящими. Вместо этого они дают приблизительные границы и оценки для различных теоретико-числовых функций, как показывают следующие примеры.

Теория мультипликативных чисел [ править ]

Евклид показал, что простых чисел бесконечно много. Важный вопрос - определить асимптотическое распределение простых чисел; то есть приблизительное описание того, сколько простых чисел меньше заданного числа. Гаусс , среди прочего, после вычисления большого списка простых чисел, предположил, что число простых чисел, меньшее или равное большому числу N , близко к значению интеграла

${\ displaystyle \, \ int _ {2} ^ {N} {\ frac {1} {\ log \, t}} \, dt.}$

В 1859 году Бернхард Риман использовал комплексный анализ и специальную мероморфную функцию, теперь известную как дзета-функция Римана, чтобы получить аналитическое выражение для числа простых чисел, меньших или равных действительному числу  x . Примечательно, что главным членом в формуле Римана был именно вышеуказанный интеграл, что придает существенный вес гипотезе Гаусса. Риман обнаружил, что ошибки в этом выражении и, следовательно, способ распределения простых чисел тесно связаны с комплексными нулями дзета-функции. Используя идеи Римана и получив дополнительную информацию о нулях дзета-функции, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссенудалось завершить доказательство гипотезы Гаусса. В частности, они доказали, что если

${\ displaystyle \ pi (x) = ({\ text {количество простых чисел}} \ leq x),}$

тогда

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x / \ log x}} = 1.}$

Этот замечательный результат известен как теорема о простых числах . Это центральный результат аналитической теории чисел. Грубо говоря, он утверждает, что при большом числе N количество простых чисел, меньших или равных N, составляет примерно N / log ( N ).

В более общем плане тот же вопрос можно задать о количестве простых чисел в любой арифметической прогрессии a + nq для любого целого числа n . В одном из первых приложений аналитических методов к теории чисел Дирихле доказал, что любая арифметическая прогрессия с взаимно простыми числами a и q содержит бесконечно много простых чисел. Теорема о простых числах может быть обобщена на эту проблему; позволяя

${\ displaystyle \ pi (x, a, q) = ({\ text {количество простых чисел}} \ leq x {\ text {такое, что}} p {\ text {находится в арифметической прогрессии}} a + nq, п \ in \ mathbf {Z}),}$

тогда, если a и q взаимно просты,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

В теории чисел также есть много глубоких и широкомасштабных гипотез, доказательства которых кажутся слишком сложными для современных методов, например, гипотеза о двойных простых числах, которая спрашивает, существует ли бесконечно много простых чисел p таких, что p  + 2 простое число. В предположении гипотезы Эллиотта – Халберштама недавно было доказано, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p  +  k является простым числом для некоторого положительного, даже не более чем k. Кроме того, это было доказано безоговорочно (т. Е. Не зависит от недоказанных данных). предположений), что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p  +  kпростое для некоторых положительных четных k, не превосходящих 246.

Аддитивная теория чисел [ править ]

Одной из наиболее важных проблем в аддитивной теории чисел является проблема Варинга , которая спрашивает, можно ли для любого k  ≥ 2 записать любое положительное целое число как сумму ограниченного числа k- ых степеней:

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

В случае квадратов k  = 2 ответил Лагранж в 1770 году, который доказал, что каждое положительное целое число является суммой не более четырех квадратов. Общий случай был доказан Гильбертом в 1909 году с использованием алгебраических методов, которые не давали явных оценок. Важным прорывом стало применение аналитических инструментов к проблеме Харди и Литтлвудом . Эти методы известны как метод круга и дают явные верхние границы для функции G ( k ), наименьшего количества необходимых k- х степеней, таких как оценка Виноградова

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).\,}$

Диофантовы проблемы [ править ]

Диофантовы проблемы связаны с целочисленными решениями полиномиальных уравнений: можно изучать распределение решений, то есть подсчет решений в соответствии с некоторой мерой «размера» или высоты .

Важным примером является задача о круге Гаусса , в которой требуются целые точки ( x  y ), удовлетворяющие

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

С геометрической точки зрения, если дан круг с центром в начале координат на плоскости с радиусом r , задача задается вопросом, сколько целочисленных точек решетки лежит на или внутри круга. Нетрудно доказать, что ответ - где как . Опять же, трудной частью и большим достижением аналитической теории чисел является получение конкретных верхних границ для члена ошибки  E ( r ).${\displaystyle \,\pi r^{2}+E(r)\,}$${\displaystyle \,E(r)/r^{2}\,\to 0\,}$${\displaystyle \,r\to \infty \,}$

Это было показано Гауссом . В общем, член ошибки O ( r ) был бы возможен при замене единичной окружности (или, точнее, замкнутого единичного круга) расширениями любой ограниченной плоской области с кусочно-гладкой границей. Кроме того, при замене единичного круга единичным квадратом погрешность для общей задачи может достигать линейной функции от  r . Следовательно, получение границы ошибки формы для некоторых в случае круга является значительным улучшением. Первым, кто этого добился, был Серпинский в 1906 году . В 1915 году Харди и Ландау каждый показал , что один делает не имеет${\displaystyle E(r)=O(r)}$${\displaystyle O(r^{\delta })}$${\displaystyle \delta <1}$${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$. С тех пор цель состояла в том, чтобы показать, что для каждого фиксированного существует действительное число такое, что .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle C(\epsilon )}$${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$

В 2000 году Хаксли показал ^[12] , что , что является лучшим результатом опубликован.${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$

Методы аналитической теории чисел [ править ]

Серия Дирихле [ править ]

Одним из наиболее полезных инструментов мультипликативной теории чисел являются ряды Дирихле , которые представляют собой функции комплексной переменной, определяемой бесконечным рядом вида

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

В зависимости от выбора коэффициентов этот ряд может сходиться везде, нигде или в какой-то полуплоскости. Во многих случаях, даже если ряд не сходится везде, голоморфная функция, которую он определяет, может быть аналитически продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. Полезность таких функций в мультипликативных задачах можно увидеть в формальном тождестве${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

следовательно, коэффициенты произведения двух рядов Дирихле являются мультипликативными свертками исходных коэффициентов. Кроме того, для получения информации о коэффициентах из аналитической информации о рядах Дирихле можно использовать такие методы, как частичное суммирование и тауберовы теоремы . Таким образом, общий метод оценки мультипликативной функции состоит в том, чтобы выразить ее как ряд Дирихле (или продукт более простого ряда Дирихле с использованием тождеств свертки), изучить этот ряд как сложную функцию и затем преобразовать эту аналитическую информацию обратно в информацию об исходной функции. .

Дзета-функция Римана [ править ]

Эйлер показал, что основная теорема арифметики влечет (по крайней мере формально) эйлерово произведение

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1\,\,\ (p{\text{ is prime number)}}}$

Доказательство Эйлера бесконечности простых чисел использует расходимость члена в левой части для s = 1 (так называемый гармонический ряд ), чисто аналитический результат. Эйлер был также первым, кто использовал аналитические аргументы для изучения свойств целых чисел, в частности, путем построения производящих степенных рядов . Это было началом аналитической теории чисел. ^[13]

Позже Риман рассмотрел эту функцию для комплексных значений s и показал, что эта функция может быть расширена до мероморфной функции на всей плоскости с простым полюсом при s  = 1. Эта функция теперь известна как дзета-функция Римана и обозначается как ζ ( s ). По этой функции существует множество литературы, и эта функция является частным случаем более общих L-функций Дирихле .

Теоретиков-аналитиков часто интересует погрешность приближений, таких как теорема о простых числах. В этом случае ошибка меньше, чем x / log  x . Формула Римана для π ( x ) показывает, что член ошибки в этом приближении может быть выражен через нули дзета-функции. В своей статье 1859 года Риман предположил, что все «нетривиальные» нули ζ лежат на прямой, но так и не представил доказательства этого утверждения. Эта известная и давняя гипотеза известна как гипотеза Римана.${\displaystyle \Re (s)=1/2}$и имеет много глубоких последствий в теории чисел; Фактически, многие важные теоремы были доказаны в предположении, что гипотеза верна. Например, согласно предположению гипотезы Римана, ошибка в теореме о простых числах равна .${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$

В начале 20-го века Харди и Литтлвуд доказали множество результатов о дзета-функции в попытке доказать гипотезу Римана. Фактически, в 1914 году Харди доказал, что существует бесконечно много нулей дзета-функции на критической прямой.

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

Это привело к нескольким теоремам, описывающим плотность нулей на критической линии.

См. Также [ править ]

• Матричный метод Майера
• Автоморфная L-функция
• Автоморфная форма

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001
• Дэвенпорт, Гарольд (2000), мультипликативная теория чисел , Graduate Texts in Mathematics, 74 (3-е пересмотренное издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6, Руководство по ремонту  1790423
• Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел , Кембриджские исследования в области высшей математики, 46 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7

Дальнейшее чтение [ править ]

• Аюб, Введение в аналитическую теорию чисел.
• Х.Л. Монтгомери и Р.К. Воан, Теория мультипликативных чисел I  : Классическая теория
• Иванец Х., Ковальский Э. Аналитическая теория чисел .
• Д. Ньюман, Аналитическая теория чисел , Springer, 1998 г.

По специализированным аспектам особенно известны следующие книги:

• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Oxford University Press
• H. Halberstam и HE Richert, Sieve Methods.
• RC Vaughan, Метод Харди – Литтлвуда , 2-е. edn.

Некоторые темы еще не дошли до книжной формы в какой-то степени. Некоторыми примерами являются (i) гипотеза парной корреляции Монтгомери и работа, которая началась с нее, (ii) новые результаты Голдстона, Пинца и Илидрима о малых промежутках между простыми числами и (iii) теорема Грина – Тао, показывающая, что арифметические значения произвольно длинных прогрессии простых чисел существуют.