Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха
Письмо Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 г. (латинское-немецкое) [1]
Поле	Теория чисел
Предполагается	Кристиан Гольдбах
Предполагается в	1742 г.
Открытая проблема	да
Последствия	Слабая гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха является одним из старейших и наиболее известных нерешенных проблем в теории чисел и все математики . В нем говорится, что каждое четное целое число больше 2 является суммой двух простых чисел . ^[2]

Гипотеза было показано трюм для всех целых чисел , меньших , чем 4 × 10 ¹⁸ , ^[3] , но остается недоказанной , несмотря на значительные усилия.

Истоки [ править ]

7 июня 1742 года немецкий математик Кристиан Гольдбах написал письмо Леонарду Эйлеру (письмо XLIII) ^[4], в котором он предложил следующую гипотезу:

Каждое целое число, которое можно записать как сумму двух простых чисел, также можно записать как сумму любого числа простых чисел, пока все члены не станут единицами.

Гольдбаха следовал теперь оставленным конвенциям рассмотрения 1 , чтобы быть простое число , ^[2] , так что сумма единиц действительно будет суммой простых чисел. Затем он выдвинул вторую гипотезу на полях своего письма, которая, как легко видеть, подразумевает первую:

Каждое целое число больше 2 можно записать как сумму трех простых чисел. ^[5]

Эйлер ответил письмом от 30 июня 1742 г. ^[6] и напомнил Гольдбаху о своем более раннем разговоре ( «… итак, Ew vormals mit mir communirt haben…» ), в котором Гольдбах заметил, что первое из этих двух предположений последует. из заявления

Каждое положительное четное целое число можно записать как сумму двух простых чисел.

Это фактически эквивалентно его второй, маргинальной гипотезе. В письме от 30 июня 1742 г. Эйлер заявил: ^[7]^[8]

"Dass… ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses Theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht manifestriren kann". («То, что… каждое четное целое число является суммой двух простых чисел, я рассматриваю как совершенно определенную теорему, хотя я не могу ее доказать».)

Каждая из трех приведенных выше гипотез имеет естественный аналог в терминах современного определения простого числа, согласно которому 1 исключается. Современная версия первой гипотезы такова:

Каждое целое число, которое может быть записано как сумма двух простых чисел, также может быть записано как сумма любого числа простых чисел, до тех пор, пока либо все члены не станут двумя (если целое число четное), либо один член не будет равен трем, а все остальные члены не будут равны два (если целое нечетное).

Современная версия маргинальной гипотезы:

Каждое целое число больше 5 можно записать как сумму трех простых чисел .

И современная версия старой гипотезы Гольдбаха, которую напомнил ему Эйлер, такова:

Каждое четное целое число больше 2 можно записать как сумму двух простых чисел .

Эти современные версии могут не полностью соответствовать соответствующим исходным утверждениям. Например, если бы было четное целое число больше 4 для простого числа, которое не могло быть выражено как сумма двух простых чисел в современном смысле, то это было бы контрпримером к современной версии (не будучи, конечно, контрпримером). к исходной версии) третьей гипотезы. Таким образом, современная версия, вероятно, сильнее (но чтобы подтвердить это, нужно было бы доказать, что первая версия, свободно примененная к любому положительному четному числу , не могла исключить существование такого конкретного контрпримера. $N=p+1$ $p$ $n$ $N$ ). В любом случае, современные утверждения имеют такие же отношения друг с другом, как и старые утверждения. То есть второе и третье современные утверждения эквивалентны, и любое из них подразумевает первое современное утверждение.

Третье современное утверждение (эквивалентное второму) - это форма, в которой сегодня обычно выражается гипотеза. Она также известна как « сильная », «четная» или «бинарная» гипотеза Гольдбаха. Более слабая форма второго современного утверждения, известная как « слабая гипотеза Гольдбаха », «странная гипотеза Гольдбаха» или «троичная гипотеза Гольдбаха», утверждает, что

Каждое нечетное целое число больше 7 можно записать как сумму трех нечетных простых чисел ,

Доказательство слабой гипотезы было предложено в 2013 г .; однако он еще не появился в рецензируемой публикации. ^[9]^[10] Обратите внимание, что слабая гипотеза будет следствием сильной гипотезы: если $n - 3$ является суммой двух простых чисел, то $n$ является суммой трех простых чисел. Но обратное утверждение и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха остаются недоказанными.

Подтвержденные результаты [ править ]

При малых значениях n сильная гипотеза Гольдбаха (и, следовательно, слабая гипотеза Гольдбаха) может быть проверена напрямую. Например, Нильс Пиппинг в 1938 году тщательно проверил гипотезу до n ≤ 10 ⁵ . ^[11] С появлением компьютеров было проверено гораздо больше значений n ; Т. Оливейра и Силва выполнили распределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу для n ≤ 4 × 10 ¹⁸ (и дважды проверил до 4 × 10 ¹⁷ ) по состоянию на 2013 год. Одна запись из этого поиска заключается в том, что3 325 581 707 333 960 528 - наименьшее число, которое нельзя записать как сумму двух простых чисел, где одно меньше 9781. ^[12]

Эвристическое обоснование [ править ]

Статистические соображения, которые сосредоточены на вероятностном распределении простых чисел, представляют неофициальные доказательства в пользу гипотезы (как в слабой, так и в сильной формах) для достаточно больших целых чисел: чем больше целое число, тем больше возможностей для представления этого числа. как сумма двух или трех других чисел, и тем более «вероятно», что по крайней мере одно из этих представлений состоит полностью из простых чисел.

Количество способов записать четное число n как сумму двух простых чисел (4 ≤ n ≤ 1000), (последовательность A002375 в OEIS )

Количество способов записать четное число n как сумму двух простых чисел (4 ≤ n ≤ 1 000 000 )

Очень грубая версия эвристического вероятностного аргумента (для сильной формы гипотезы Гольдбаха) заключается в следующем. Теорема о простых числах утверждает, что целое число m, выбранное случайным образом, имеет примерно шанс быть простым. Таким образом, если n - большое четное целое число, а m - число от 3 до n / 2, то можно ожидать, что вероятность того, что m и n - m одновременно будут простыми, будет . Если следовать этой эвристике, можно ожидать, что общее количество способов записать большое четное целое число n как сумму двух нечетных простых чисел будет примерно $1/\ln m$ $1{\big /}{\big [}\ln m\,\ln(n-m){\big ]}$

\sum _{m=3}^{n/2}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.

Поскольку эта величина стремится к бесконечности с увеличением n , мы ожидаем, что каждое большое четное целое число имеет не только одно представление в виде суммы двух простых чисел, но фактически имеет очень много таких представлений.

Этот эвристический аргумент на самом деле несколько неточен, потому что он предполагает, что события, когда m и n - m являются простыми числами, статистически независимы друг от друга. Например, если m нечетное, то n - m также нечетное, а если m четное, то n - m четное, нетривиальное отношение, потому что, помимо числа 2, только нечетные числа могут быть простыми. Точно так же, если n делится на 3 и m уже было простым числом, отличным от 3, то n - m также было бы взаимно простымдо 3 и, таким образом, с большей вероятностью будет простым, чем обычным числом. Проведя более тщательный анализ этого типа, Харди и Литтлвуд в 1923 году предположили (в рамках своей знаменитой гипотезы Харди – Литтлвуда о простых кортежах ), что для любого фиксированного c ≥ 2 количество представлений большого целого числа n в виде суммы c простых чисел с должно быть асимптотически равным $n=p_{1}+\cdots +p_{c}$ $p_{1}\leq \cdots \leq p_{c}$

\left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},

где произведение вычисляется по всем простым числам p , а это количество решений уравнения в модульной арифметике с учетом ограничений . Эта формула была строго доказана асимптотически справедливой для c ≥ 3 из работы Виноградова , но все еще является только гипотезой, когда . ^[^{необходима цитата}^] В последнем случае приведенная выше формула упрощается до 0, когда n нечетно, и до $\gamma _{c,p}(n)$ $n=q_{1}+\cdots +q_{c}\mod p$ $q_{1},\ldots ,q_{c}\neq 0\mod p$ $c=2$

2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}

когда п четно, где есть близнец премьер - постоянная Харди-Литтлвуд $\Pi _{2}$

\Pi _{2}:=\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\dots

Иногда это называют расширенной гипотезой Гольдбаха . Сильная гипотеза Гольдбаха на самом деле очень похожа на гипотезу о простых числах-близнецах , и считается, что эти две гипотезы имеют примерно сопоставимую сложность.

Показанные здесь функции распределения Гольдбаха могут быть отображены в виде гистограмм, которые информативно иллюстрируют приведенные выше уравнения. См . Комету Гольдбаха . ^[13]

Строгие результаты [ править ]

Сильная гипотеза Гольдбаха намного труднее, чем слабая гипотеза Гольдбаха . Используя метод Виноградова , Чудаков , ^[14], Ван дер Корпут , ^[15] и Эстерманн ^[16] показали, что почти все четные числа можно записать как сумму двух простых чисел (в том смысле, что дробь четных чисел, которая может быть так написано стремится к 1). В 1930 году Лев Шнирельман доказал ^[17]^[18], что любое натуральное число больше 1 может быть записано как сумма не более чем $C$ простых чисел, где $C$ является эффективно вычислимой константой, см. плотность Шнирельмана . Константа Шнирельмана - это наименьшее число $C$ с этим свойством. Сам Шнирельман получил $C$ < 800 000 . Этот результат впоследствии был усилен многими авторами, такими как Оливье Рамаре , который в 1995 году показал, что каждое четное число $n \geq 4$ на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Наиболее известный в настоящее время результата вытекает из доказательства слабой гипотезы Гольдбаха по Хельфготтам , ^[19] , который непосредственно следует , что каждое четное число $п \geq 4$ является суммой не более 4 простых чисел. ^[20]^[21]

В 1924 г. Харди и Литтлвуд показали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что количество четных чисел до $X,$ нарушающих гипотезу Гольдбаха, намного меньше, чем для малых $c$ . ^[22] $X^{(1/2)+c}$

В 1973 году Чэнь Цзинжун показал, используя методы теории решет, что каждое достаточно большое четное число может быть записано как сумма двух простых чисел или простого и полупростого числа (произведения двух простых чисел). ^[23] См . Теорему Чена для получения дополнительной информации.

В 1975 году Хью Монтгомери и Роберт Чарльз Воган показали, что «большинство» четных чисел выражаются как сумма двух простых чисел. Точнее, они показали, что существуют положительные константы $c$ и $C$ такие, что для всех достаточно больших чисел $N$ каждое четное число, меньшее $N,$ является суммой двух простых чисел, за исключением большинства случаев. В частности, множество четных целых чисел, не являющихся суммой двух простых чисел, имеет нулевую плотность . $CN^{1-c}$

В 1951 году Линник доказал существование постоянной $K$ такой, что каждое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел и не более $K$ степеней 2. Роджер Хит-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта в 2002 году обнаружили, что $K = 13$ работает. ^[24]

Как и многие известные гипотезы в математике, существует ряд предполагаемых доказательств гипотезы Гольдбаха, ни одно из которых не принимается математическим сообществом.

Связанные проблемы [ править ]

Хотя гипотеза Гольдбаха подразумевает, что каждое положительное целое число, большее единицы, может быть записано как сумма не более трех простых чисел, не всегда возможно найти такую сумму, используя жадный алгоритм, который использует наибольшее возможное простое число на каждом шаге. Последовательность Пиллаи отслеживает числа, требующие наибольшего числа простых чисел в их жадных представлениях. ^[25]

Можно рассмотреть аналогичные задачи, в которых простые числа заменяются другими конкретными наборами чисел, например квадратами.

Лагранж доказал, что каждое положительное целое число представляет собой сумму четырех квадратов . См . Проблему Варинга и связанную с ней проблему Варинга – Гольдбаха о суммах степеней простых чисел.
Харди и Литтлвуд перечислили свою гипотезу I: « Каждое большое нечетное число ( n > 5) является суммой простого и двойного простого числа » ( Mathematics Magazine , 66.1 (1993): 45–47). Эта гипотеза известна как гипотеза Лемуана (также называемая гипотезой Леви ).
Гипотеза Гольдбаха для практических чисел , состоящая из простых чисел, была сформулирована Маргенштерном в 1984 г. ^[26] и доказана Мелфи в 1996 г. ^[27]: каждое четное число является суммой двух практических чисел.

В популярной культуре [ править ]

Гипотеза Гольдбаха ( китайский :哥德巴赫猜想) - это название биографии китайского математика и теоретика чисел Чэнь Цзинжун , написанной Сюй Чи .

Гипотеза является центральным моментом в сюжете романа « Дядя Петрос и Гольдбах», написанного греческим писателем Апостолосом Доксиадисом в 1992 году , в рассказе Исаака Азимова « Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций », а также в детективном романе Мишель « Никто, которого вы не знаете ». Ричмонд . ^[28]

Гипотеза Гольдбаха является частью сюжета испанского фильма 2007 года «Комната Ферма» .

Ссылки [ править ]

^ Correspondance Mathematique и др телосложение де Quelques célèbres GEOMETRES ая XVIIIème siècle (Группа 1), Санкт-Петербург 1843, стр. 125-129 .
^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Гольдбаха" . MathWorld .
^ Сильва, Томас Оливейра е. «Проверка гипотезы Гольдбаха» . www.ieeta.pt .
^ http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf
^ В печатной версии, опубликованной PH Fuss [1], 2 опечатано как 1 в маргинальной гипотезе.
^ http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf
^ Ingham, AE "Популярные лекции" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 16 июня 2003 года . Проверено 23 сентября 2009 .
^ Колдуэлл, Крис (2008). «Гипотеза Гольдбаха» . Проверено 13 августа 2008 .
^ Helfgott, HA (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].
^ Helfgott, HA (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv : 1205,5252 [ math.NT ].
^ Проклевыванием, Нильс (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung унд дер Гольдбаха-Vinogradowsche Сац". Acta Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.
^ Томас Оливейра и Сильва, проверка гипотезы Гольдбаха . Проверено 20 июля 2013 года.
^ Флигель, Генри Ф .; Робертсон, Дуглас С. (1989). «Комета Гольдбаха: числа, связанные с гипотезой Гольдбаха». Журнал развлекательной математики . 21 (1): 1–7.
↑ Чудаков, Николай Г. (1937). « О проблеме Гольдбаха » [О проблеме Гольдбаха]. Доклады Академии Наук СССР . 17 : 335–338.
^ Ван дер Корпута, JG (1938). "Sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF) . Proc. Акад. Мокрый. Амстердам (на французском). 41 : 76–80.
^ Эстерманн, Т. (1938). «О проблеме Гольдбаха: доказательство того, что почти все даже положительные целые числа являются суммами двух простых чисел». Proc. Лондонская математика. Soc . 2. 44 : 307–314. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-44.4.307 .
^ Шнирельманн, Л. Г. (1930). « Об аддитивных свойствах чисел », впервые опубликовано в «Известиях Донского политехнического института в Новочеркасске», том XIV (1930), стр. 3–27, и перепечатано в «Успехах математических наук». ), 1939, вып. 6, 9–25.
^ Шнирельманн, Л. Г. (1933). Впервые опубликовано как « Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen » в « Mathematische Annalen » (на немецком языке), том. 107 (1933), 649–690, и переиздано как « Об аддитивных свойствах чисел » в «Успехах математических наук», 1940, вып. 7, 7–46.
^ Helfgott, HA (2013). «Троичная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312,7748 [ math.NT ].
^ Sinisalo, Матти К. (октябрь 1993). «Проверка гипотезы Гольдбаха до 4 10 11 » (PDF) . Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (204): 931–934. CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . DOI : 10.2307 / 2153264 . JSTOR 2153264 .
^ Rassias, М. Th. (2017). Проблема Гольдбаха: избранные темы . Springer.
^ См., Например, новую явную формулу в аддитивной теории простых чисел с приложениями I. Явная формула для задач Гольдбаха и обобщенных двойных простых чисел Яноша Пинца.
Перейти ↑ Chen, JR (1973). «О представлении большего четного числа как суммы простого и произведения не более двух простых чисел». Sci. Синица . 16 : 157–176.
^ Хит-Браун, доктор философии; Пухта, JC (2002). «Целые числа представлены как сумма простых чисел и степеней двойки». Азиатский математический журнал . 6 (3): 535–565. arXiv : math.NT / 0201299 . DOI : 10.4310 / AJM.2002.v6.n3.a7 . S2CID 2843509 .
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A066352 (последовательность Пиллаи)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Margenstern, М. (1984). «Результаты и догадки о практических цифрах». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895–898.
Перейти ↑ Melfi, G. (1996). «О двух домыслах о практических числах». Журнал теории чисел . 56 : 205–210. DOI : 10,1006 / jnth.1996.0012 .
^ «MathFiction: Никто, которого вы не знаете (Мишель Ричмонд)» . kasmana.people.cofc.edu .

Дальнейшее чтение [ править ]

Deshouillers, J.-M .; Effinger, G .; te Riele, H .; Зиновьев, Д. (1997). «Полная теорема Виноградова о 3-простых числах при гипотезе Римана» (PDF) . Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества . 3 (15): 99–104. DOI : 10.1090 / S1079-6762-97-00031-0 .
Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). «Исключительное множество в проблеме Гольдбаха» (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. DOI : 10,4064 / аа-27-1-353-370 .
Теренс Тао доказал, что все нечетные числа являются не более чем суммой пяти простых чисел .
Гипотеза Гольдбаха в MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с гипотезой Гольдбаха на Викискладе?
"Проблема Гольдбаха" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Оригинал письма Гольдбаха Эйлеру - формат PDF (на немецком и латинском языках)
Гипотеза Гольдбаха , часть Prime Pages Криса Колдуэлла.
Проверка гипотезы Гольдбаха , распределенный компьютерный поиск Томаса Оливейры и Сильвы.

[1] Correspondance Mathematique и др телосложение де Quelques célèbres GEOMETRES ая XVIIIème siècle (Группа 1), Санкт-Петербург 1843, стр. 125-129 .

[MathWorldConj-2] Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Гольдбаха" . MathWorld .

[3] Сильва, Томас Оливейра е. «Проверка гипотезы Гольдбаха» . www.ieeta.pt .

[4] ttp://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf

[5] В печатной версии, опубликованной PH Fuss [1], 2 опечатано как 1 в маргинальной гипотезе.

[6] ttp://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf

[theorema-7] Ingham, AE "Популярные лекции" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 16 июня 2003 года . Проверено 23 сентября 2009 .

[PrimeGlossary-8] Колдуэлл, Крис (2008). «Гипотеза Гольдбаха» . Проверено 13 августа 2008 .

[Helfgott_2013-9] Helfgott, HA (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].

[Helfgott_2012-10] Helfgott, HA (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv : 1205,5252 [ math.NT ].

[11] Проклевыванием, Нильс (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung унд дер Гольдбаха-Vinogradowsche Сац". Acta Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.

[12] Томас Оливейра и Сильва, проверка гипотезы Гольдбаха . Проверено 20 июля 2013 года.

[13] Флигель, Генри Ф .; Робертсон, Дуглас С. (1989). «Комета Гольдбаха: числа, связанные с гипотезой Гольдбаха». Журнал развлекательной математики . 21 (1): 1–7.

[14] Чудаков, Николай Г. (1937). « О проблеме Гольдбаха » [О проблеме Гольдбаха]. Доклады Академии Наук СССР . 17 : 335–338.

[15] Ван дер Корпута, JG (1938). "Sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF) . Proc. Акад. Мокрый. Амстердам (на французском). 41 : 76–80.

[16] Эстерманн, Т. (1938). «О проблеме Гольдбаха: доказательство того, что почти все даже положительные целые числа являются суммами двух простых чисел». Proc. Лондонская математика. Soc . 2. 44 : 307–314. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-44.4.307 .

[17] Шнирельманн, Л. Г. (1930). « Об аддитивных свойствах чисел », впервые опубликовано в «Известиях Донского политехнического института в Новочеркасске», том XIV (1930), стр. 3–27, и перепечатано в «Успехах математических наук». ), 1939, вып. 6, 9–25.

[18] Шнирельманн, Л. Г. (1933). Впервые опубликовано как « Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen » в « Mathematische Annalen » (на немецком языке), том. 107 (1933), 649–690, и переиздано как « Об аддитивных свойствах чисел » в «Успехах математических наук», 1940, вып. 7, 7–46.

[19] Helfgott, HA (2013). «Троичная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312,7748 [ math.NT ].

[20] Sinisalo, Матти К. (октябрь 1993). «Проверка гипотезы Гольдбаха до 4 10 11 » (PDF) . Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (204): 931–934. CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . DOI : 10.2307 / 2153264 . JSTOR 2153264 .

[21] Rassias, М. Th. (2017). Проблема Гольдбаха: избранные темы . Springer.

[22] См., Например, новую явную формулу в аддитивной теории простых чисел с приложениями I. Явная формула для задач Гольдбаха и обобщенных двойных простых чисел Яноша Пинца.

[23] Перейти ↑ Chen, JR (1973). «О представлении большего четного числа как суммы простого и произведения не более двух простых чисел». Sci. Синица . 16 : 157–176.

[24] Хит-Браун, доктор философии; Пухта, JC (2002). «Целые числа представлены как сумма простых чисел и степеней двойки». Азиатский математический журнал . 6 (3): 535–565. arXiv : math.NT / 0201299 . DOI : 10.4310 / AJM.2002.v6.n3.a7 . S2CID 2843509 .

[25] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A066352 (последовательность Пиллаи)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[26] Margenstern, М. (1984). «Результаты и догадки о практических цифрах». Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895–898.

[27] Перейти ↑ Melfi, G. (1996). «О двух домыслах о практических числах». Журнал теории чисел . 56 : 205–210. DOI : 10,1006 / jnth.1996.0012 .

[28] «MathFiction: Никто, которого вы не знаете (Мишель Ричмонд)» . kasmana.people.cofc.edu .

[2]