В конце концов (математика)

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математических областях теории чисел и анализа говорят , что бесконечная последовательность или функция в конечном итоге имеет определенное свойство , если оно не имеет указанного свойства во всех упорядоченных экземплярах, но будет после того, как некоторые экземпляры пройдут. ^[1] Использование термина «в конечном итоге» можно часто перефразировать как «для достаточно больших чисел» ^[2], а также распространить его на класс свойств, которые применяются к элементам любого упорядоченного набора (например, последовательностей и подмножеств из ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Обозначение [ править ]

Общая форма, в которой фраза в конечном итоге (или достаточно большая ) встречается, выглядит следующим образом:

${\ displaystyle P}$в конечном итоге верно для ( верно для достаточно больших )${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

что на самом деле является сокращением для:

${\displaystyle \exists ~a\in \mathbb {R} }$таким образом, что это правда${\displaystyle P}$${\displaystyle \forall ~x\geq a}$

или несколько более формально:

${\displaystyle \exists ~a\in \mathbb {R} :\forall ~x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

Это не обязательно означает, что известно какое-то конкретное значение , а только то, что оно существует. ^[1] Фразу «достаточно большой» не следует путать с фразами « произвольно большой » или « бесконечно большой». Для получения дополнительной информации см. Произвольно большой # Произвольно большой, достаточно большой или бесконечно большой .${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Мотивация и определение [ править ]

Для бесконечной последовательности человек часто больше интересуется долгосрочным поведением последовательности, чем поведением, которое она проявляет на ранней стадии. В этом случае один из способов формально зафиксировать эту концепцию - сказать, что последовательность обладает определенным свойством в конечном итоге или, что эквивалентно, что это свойство удовлетворяется одной из ее подпоследовательностей для некоторых . ^[3]${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Например, определение последовательности действительных чисел, сходящейся к некоторому пределу, таково:${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

Для каждого положительного числа существует такое положительное число такое , что для всех , .${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Когда термин «в конечном итоге » используется как сокращение для «существует положительное число такое, что для всех », определение сходимости можно переформулировать более просто как:${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$

В конце концов, для каждого положительного числа . ^[1]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Здесь обратите внимание, что набор целых чисел, не удовлетворяющих этому свойству, является конечным набором; то есть набор пуст или имеет максимальный элемент. В результате использование «в конечном итоге» в этом случае является синонимом выражения «для всех, кроме конечного числа терминов» - частный случай выражения « почти для всех терминов» (хотя «почти все» также может быть также допускал бесконечно много исключений).

На базовом уровне последовательность можно рассматривать как функцию с натуральными числами в качестве области определения , а понятие «в конечном итоге» применимо и к функциям на более общих наборах, в частности к тем, которые имеют порядок без наибольшего элемента. .

Более конкретно, если есть такой набор и есть элемент, в котором функция определена для всех элементов больше чем , то говорят, что в конечном итоге он имеет какое-то свойство, если существует такой элемент , что всякий раз , когда он имеет указанное свойство. Это понятие используется, например, при изучении полей Харди , которые представляют собой поля, состоящие из реальных функций, каждая из которых в конечном итоге имеет определенные свойства.${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x>x_{0}}$${\displaystyle f(x)}$

Примеры [ править ]

• «Все простые числа больше 2 нечетны» можно записать как «В конце концов, все простые числа нечетные».
• В конце концов, все простые числа равны ± 1 по модулю 6.
• Квадрат простого числа в конечном итоге сравним с 1 по модулю 24 (при условии, что простое число больше 3).
• Факториал целого числа в конечном итоге заканчивается в 0 (при условии , что целое число выше 4).

Последствия [ править ]

Когда последовательность или функция в конечном итоге имеет свойство, это может иметь полезные последствия в контексте доказательства чего-либо, связанного с этой последовательностью. Например, в контексте асимптотического поведения определенных функций может быть полезно знать, будет ли оно в конечном итоге вести себя иначе, чем могло бы или могло бы наблюдаться с помощью вычислений, поскольку в противном случае это не могло бы быть замечено. ^{[ необходима цитата ]}

Термин «в конечном итоге» можно также включить во многие математические определения, чтобы сделать их более краткими. К ним относятся определения некоторых типов ограничений (в конечном итоге применяется произвольная граница) и нотация Big O для описания асимптотического поведения. ^[1]

Другое использование в математике [ править ]

• Трехмерное многообразие называется достаточно большим, если оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Это свойство является основным требованием для того, чтобы трехмерное многообразие называлось многообразием Хакена .
• Временная логика вводит оператор, который можно использовать для выражения утверждений, интерпретируемых как: Определенное свойство в конечном итоге сохранится в будущем моменте времени.

См. Также [ править ]

• Почти все
• Обозначение Big O
• Математический жаргон
• Теория чисел

Ссылки [ править ]