В математике , А Харди поле является полем , состоящее из ростков из вещественных функций на бесконечности, замкнутые относительно дифференциации . Они названы в честь английского математика Г. Х. Харди .
Определение
По крайней мере, первоначально поля Харди были определены в терминах ростков вещественных функций на бесконечности. В частности, мы рассматриваем набор H функций, которые определены для всех больших действительных чисел, то есть функций f, которые отображают ( u , ∞) в действительные числа R , где u - некоторое действительное число, зависящее от f . Здесь и в остальной части статьи мы говорим, что функция обладает свойством «в конечном итоге », если оно имеет свойство для всех достаточно больших x , поэтому, например, мы говорим, что функция f в H в конечном итоге равна нулю, если существует некоторое действительное число U такое что F ( х ) = 0 для всех х ≥ U . Мы можем сформировать отношение эквивалентности на H , сказав, что f эквивалентно g тогда и только тогда, когда f - g в конечном итоге равно нулю. Классы эквивалентности этого отношения называются ростками на бесконечности.
Если H образует поле при обычном сложении и умножении функций, то также будет H по модулю этого отношения эквивалентности при индуцированных операциях сложения и умножения. Более того, если каждая функция из H в конечном итоге дифференцируема и производная любой функции из H также находится в H, то H по модулю вышеуказанного отношения эквивалентности называется полем Харди. [1]
Таким образом, элементы поля Харди являются классами эквивалентности и должны обозначаться, скажем, [ f ] ∞ для обозначения класса функций, которые в конечном итоге равны репрезентативной функции f . Однако на практике элементы обычно просто обозначаются самими представителями, поэтому вместо [ f ] ∞ можно было бы просто написать f .
Примеры
Если F является подполом из R , то мы можем рассматривать его как Харди, рассматривая элементы F как постоянные функции, то есть с учетом числа а в F как функцию постоянной е α , которая отображает каждый х в R к а. Это поле, поскольку F есть, и поскольку производная каждой функции в этом поле равна 0, которая должна быть в F, это поле Харди.
Менее тривиальный пример поля Харди - это поле рациональных функций на R , обозначаемое R ( x ). Это набор функций вида P ( x ) / Q ( x ), где P и Q - многочлены с действительными коэффициентами. Так как многочлен Q может иметь только конечное число нулей в основной теоремы алгебры , такая рациональная функция будет определена для всех достаточно больших х , в частности , для всех х больших , чем наибольший реальный корень Q . Сложение и умножение рациональных функций дает больше рациональных функций, а правило частного показывает, что производная рациональной функции снова является рациональной функцией, поэтому R ( x ) образует поле Харди.
Другой пример - это поле функций, которые могут быть выражены с помощью стандартных арифметических операций, показателей и логарифмов и четко определены на некотором интервале в форме . [2] Такие функции иногда называют L-функциями Харди . Гораздо более крупные поля Харди (которые содержат L-функции Харди в качестве подполя) могут быть определены с помощью транссерий .
Характеристики
Любой элемент поля Харди в конечном итоге либо строго положительный, либо строго отрицательный, либо равен нулю. Это сразу следует из того факта, что элементы в поле Харди в конечном итоге дифференцируемы и, следовательно, непрерывны и в конечном итоге либо имеют мультипликативный обратный, либо равны нулю. Это означает, что периодические функции, такие как функции синуса и косинуса, не могут существовать в полях Харди.
Этот отказ от периодических функций также означает, что каждый элемент в поле Харди имеет (возможно, бесконечный) предел на бесконечности, поэтому, если f является элементом H , то
существует в R ∪ {−∞, + ∞}. [3]
Это также означает , что мы можем разместить заказ на H , говоря , е < г , если г - е в конечном счете строго положительны. Обратите внимание, что это не то же самое, что утверждать, что f < g, если предел f меньше, чем предел g . Например, если мы рассмотрим ростки тождественной функции f ( x ) = x и экспоненциальной функции g ( x ) = e x, то, поскольку g ( x ) - f ( x )> 0 для всех x, мы имеем, что g > f . Но оба они стремятся к бесконечности. В этом смысле порядок говорит нам, как быстро все неограниченные функции расходятся до бесконечности.
В теории моделей
Современная теория полей Харди не ограничивается реальными функциями, а теми, которые определены в определенных структурах, расширяющих реальные замкнутые поля . В самом деле, если R является o-минимальным расширением поля, то набор одноместных определимых функций в R , определенных для всех достаточно больших элементов, образует поле Харди, обозначенное H ( R ). [4] Свойства полей Харди в реальной обстановке все еще сохраняются в этой более общей настройке.
Рекомендации
- ^ Boshernitzan, Майкл (1986), "Харди поля и существование transexponential функций", Aequationes Mathematicae , 30 (1): 258-280, DOI : 10.1007 / BF02189932
- ^ Харди Г. Х. Свойства логарифмических экспоненциальных функций , Proc. Лондонская математика. Soc. (2), 54–90, 10 , 1911 г.
- ^ Розенлихт Максвелл (1983), "ранг поля Харди", Труды Американского математического общества , 280 (2): 659-671, DOI : 10,2307 / 1999639 , JSTOR 1999639
- ^ Кульман, Франц-Виктор; Кульман, Сальма (2003), "Теория оценки экспоненциальных Харди полей I" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 243 (4): 671-688, DOI : 10.1007 / s00209-002-0460-4