Настоящее закрытое поле

В математике , А реальное замкнутое поле представляет собой поле Р , которое имеет то же первый порядок свойство, область действительных чисел . Некоторыми примерами являются поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гиперреалистических чисел .

Определения [ править ]

Вещественное замкнутое поле - это поле F, в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. F является элементарно эквивалентны для действительных чисел. Другими словами, он имеет те же свойства первого порядка, что и вещественные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в вещественных числах.
2. Существует общий порядок на F делает его упорядоченное поле таким образом, что, в таком порядке, каждый положительный элемент F имеет квадратный корень в F и любой многочлен нечетной степени с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F .
3. F - это формально вещественное поле, такое что каждый многочлен нечетной степени с коэффициентами в F имеет хотя бы один корень в F , и для каждого элемента a из F существует b в F такое, что a  =  b ² или a  = - b ² .
4. F не является алгебраически замкнутым , но его алгебраическое замыкание является конечным расширением .
5. F не является алгебраически замкнутым, но расширение поля алгебраически замкнуто.${\ displaystyle F ({\ sqrt {-1}})}$
6. Существует упорядочение на F , который не распространяется на упорядочение на любом собственном алгебраическом расширении в F .
7. F - формально вещественное поле, такое, что никакое собственное алгебраическое расширение F не является формально вещественным. (Другими словами, поле является максимальным в алгебраическом замыкании относительно свойства быть формально действительным.)
8. На F существует такой порядок, который делает его упорядоченным полем, при котором теорема о промежуточном значении выполняется для всех многочленов над F со степенью ≥ 0.
9. F - слабо o-минимальное упорядоченное поле. ^[1]

Если F - упорядоченное поле, теорема Артина – Шрайера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое действительным замыканием K поля F , такое, что K - вещественное замкнутое поле, чей порядок является расширением данного порядка на F , и единственное с точностью до единственного изоморфизма полей, идентичных на F ^[2] (заметим, что любой гомоморфизм колец между вещественными замкнутыми полями автоматически сохраняет порядок , потому что x  ≤  y тогда и только тогда, когда ∃ z  y  =  x  +  z² ). Например, действительное замыкание упорядоченного поля рациональных чисел - это поле действительных алгебраических чисел . Теорема названа в честь Эмиля Артина и Отто Шрайера , которые доказали ее в 1926 году.${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$

Если ( Р , Р ) представляет собой упорядоченное поле, а Е представляет собой расширение Галуа из F , то в силу леммы Цорна существует максимальное заказал расширение поля ( M , Q ) с М подполе Е , содержащей F и порядок на М расширение P . Это М , вместе с его заказом Q , называются относительным вещественным замыканием в ( F , P ) в E . Мы называем ( F , P) Реальный замкнуты относительно Е , если M просто F . Когда E является алгебраическим замыканием в F относительного реальное замыкание F в Е на самом деле реальное закрытие из F описывалось ранее. ^[3]

Если F является полем (не предполагается, что порядок, совместимый с полевыми операциями, и не предполагается, что F можно упорядочить), то F все еще имеет реальное замыкание, которое может больше не быть полем, а просто реальным замкнутым кольцом . Например, настоящее замыкание поля - это кольцо (две копии соответствуют двум порядкам ). С другой стороны, если оно рассматривается как упорядоченное подполе , его реальное закрытие снова является полем .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}} \ times \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ mathrm {alg}}}$

Разрешимость и исключение кванторов [ править ]

Язык реальных замкнутых полей включает в себя символы для операций сложения и умножения, константы 0 и 1, а отношение порядка ≤ (равно как и равенство, если это не считается логическим символом). На этом языке теория вещественных замкнутых полей (первого порядка) состоит из следующего:${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$

• аксиомы упорядоченных полей ;
• аксиома, утверждающая, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
• для каждого нечетного числа - аксиома, утверждающая, что все многочлены степени имеют хотя бы один корень.${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$

Все вышеперечисленные аксиомы могут быть выражены в логике первого порядка (т.е. количественная оценка распространяется только на элементы поля).

Тарский доказал ( ок.  1931 ), что это является полным , а это означает, что для любого -предложения оно может быть доказано либо истинным, либо ложным на основании вышеуказанных аксиом. Кроме того, оно разрешимо , что означает, что существует алгоритм, позволяющий определить истинность или ложность любого такого предложения. ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$

Теорема Тарского – Зайденберга расширяет этот результат до разрешимого исключения кванторов . То есть существует алгоритм, который по любой -формуле, которая может содержать свободные переменные, выдает эквивалентную бескванторную формулу в тех же свободных переменных, где эквивалент означает, что две формулы верны для точно таких же значений переменных. . Теорема Тарского – Зайденберга является расширением теоремы о разрешимости, поскольку ее можно легко проверить, истинна или ложна бескванторная формула без свободных переменных .${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ text {rcf}}}$

Эта теорема может быть расширена до следующей теоремы о проекции . Если R - вещественное замкнутое поле, формула с n свободными переменными определяет подмножество R ⁿ , набор точек, удовлетворяющих формуле. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством . Для заданного подмножества k переменных проекция из R ⁿ в R ^k - это функция, которая отображает каждый n -набор в k-набор компонентов, соответствующих подмножеству переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством, и что существует алгоритм, который, учитывая бескванторную формулу, определяющую полуалгебраическое множество, производит бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, проекционная теорема эквивалентна исключению квантора, поскольку проекция полуалгебраического множества, определяемого формулой p ( x , y ) , определяется формулой

${\ Displaystyle (\ существует х) п (х, у),}$

где x и y представляют собой соответственно набор исключенных переменных и набор сохраняемых переменных.

Разрешимость теории действительных чисел первого порядка сильно зависит от рассматриваемых примитивных операций и функций (здесь сложение и умножение). Добавление символов других функций, например, синуса или экспоненциальной функции , может дать неразрешимые теории; см . теорему Ричардсона и Разрешимость теорий первого порядка действительных чисел .

Сложность принятия решения ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ text {rcf}}}$[ править ]

Оригинальный алгоритм Тарского для исключения квантора имеет неэлементарную вычислительную сложность , а это означает, что нет башни

${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {n}}}}}}$

может ограничить время выполнения алгоритма, если n - размер входной формулы. Цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное George E. Collins , обеспечивает гораздо более достижимую алгоритм сложности

${\ Displaystyle д ^ {2 ^ {О (п)}}}$

где п есть общее число переменных (свободные и связанные), d является произведением степеней многочленов , возникающих в формуле, и О ( п ) является большим обозначением вывода .

Давенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность наихудшего случая почти оптимальна для исключения кванторов, создав семейство Φ _n формул длины O ( n ) с n кванторами и с участием многочленов постоянной степени, таких, что любой квантор - свободная формула, эквивалентная Φ _n, должна включать многочлены степени и длины , где - большая запись Ω .${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (п)}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ Omega (п)}}}$${\ Displaystyle \ Omega (п)}$

Это показывает, что и временная сложность, и пространственная сложность исключения квантора по своей сути являются двойной экспоненциальной . Однако известны более сложные проблемы решения проблемы: Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) доказали, что теория вещественных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве и, следовательно, в двойном экспоненциальном времени. Более того, параметр, который появляется во втором показателе степени, - это не размер формулы или количество переменных (как с цилиндрическим алгебраическим разложением), а количество изменений квантора (с на и наоборот) в предваренной нормальной форме. входной формулы.${\ Displaystyle \ существует}$${\displaystyle \forall }$

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида

∃ х ₁ , ..., ∃ х _к Р ₁ ( х ₁ , ..., х _к ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ Р _с ( х ₁ , ..., х _к ) ⋈ 0,

где ⋈ обозначает либо <,> или  = , сложность ниже. Басу и Рой (1996) предоставили хорошо управляемый алгоритм для определения истинности такой экстенциальной формулы со сложностью арифметических операций s ^{k +1} d ^{O ( k )} и полиномиальным пространством .

Свойства заказа [ править ]

Критически важным свойством реальных чисел является то, что это архимедово поле , то есть оно имеет свойство Архимеда, заключающееся в том, что для любого действительного числа существует целое число, превышающее его по абсолютной величине . Эквивалентное утверждение состоит в том, что для любого действительного числа есть целые числа как большие, так и меньшие. Такие настоящие закрытые поля, которые не являются архимедовыми, являются неархимедовыми упорядоченными полями . Например, любое поле гиперреальных чисел действительно замкнуто и неархимедово.

Свойство Архимеда связано с понятием конфинальности . Множество X, содержащееся в упорядоченном множестве F , конфинально в F, если для каждого y в F существует x в X такой, что y < x . Другими словами, Х представляет собой неограниченная последовательность в F . Конфинальность F - это размер наименьшего конфинального множества, то есть размер наименьшей мощности, дающей неограниченную последовательность. Например, натуральные числа являются конфинальными в действительных числах, а следовательно, конфинальностью действительных чисел .${\displaystyle \aleph _{0}}$

Таким образом, мы имеем следующие инварианты, определяющие природу замкнутого вещественного поля F :

• Мощность F .
• Конфинальность F .

К этому мы можем добавить

• Вес F , который является минимальным размером плотного подмножества F .

Эти три кардинальных числа многое говорят нам о свойствах порядка любого реального замкнутого поля, хотя может быть трудно выяснить, что они из себя представляют, особенно если мы не желаем ссылаться на гипотезу обобщенного континуума . Есть также определенные свойства, которые могут иметь или не иметь:

• Поле F является полным , если не существует упорядоченное поле К должным образом содержащий F такой , что F плотно в K . Если конфинальность F является κ , это равносильно тому последовательности Коши проиндексированы х сходятся в F .
• Упорядоченное поле F обладает свойством эта-множества η _α для порядкового числа α , если для любых двух подмножеств L и U в F мощности меньше, чем такие, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент U , существует элемент х в F с х больше , чем каждый элемент L и меньше , чем каждый элемент U . Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два вещественных замкнутых поля суть η _α${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$тогда и только тогда, когда они являются -насыщенными и, более того, два п _а вещественных замкнутых поля обеих мощностей изоморфны по порядку.${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Гипотеза обобщенного континуума [ править ]

Характеристики реальных замкнутых полей становятся намного проще, если мы готовы принять гипотезу обобщенного континуума . Если гипотеза континуума верна, все вещественные замкнутые поля с мощностью континуума и свойством η ₁ изоморфны по порядку. Это уникальное поле Ϝ может быть определена с помощью ультрастепени , так как , где М является максимальным идеалом , не приводит к полю порядка изоморфная . Это наиболее часто используемое поле гиперреальных чисел в нестандартном анализе.${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathbf {M} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$, и его единственность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если мощность континуума равна, то у нас есть единственное η β поле размера η _β .)${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Кроме того, нам не нужны ультрастепени построить Ϝ , мы можем сделать это гораздо более конструктивны , как подпол серии со счетным числом ненулевых слагаемых полей из формальных степенных рядов по вполне упорядоченной абелевой делимой группе G , который является η 1 группа мощности ( Alling 1962 ).${\displaystyle \mathbb {R} ((G))}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ϝ однако не является полным полем; если мы возьмем его завершение, мы получим поле Κ большей мощности. Ϝ имеет мощность континуума, который по предположению является , Κ имеет мощность , и содержит Ϝ как плотный подпол. Это не ультрастепень но это поле гиперреального, и , следовательно , соответствующее поле для использований нестандартного анализа. Видно, что это многомерный аналог действительных чисел; с мощностью вместо , конфинальностью вместо , весом вместо , и свойством η ₁ вместо η ₀${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$ свойство (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами мы можем найти другое).

Примеры реальных закрытых полей [ править ]

• действительные алгебраические числа
• в вычислимом номере
• в определимые номера
• что действительные числа
• сверхреальные числа
• гиперреальные числа
• серии Puiseux с вещественными коэффициентами
• в сюрреалистическом номере

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аллинг, Норман Л. (1962), "О существовании вещественно-замкнутых полей, которые являются η _α -множествами степени _α .", Trans. Амер. Математика. Soc. , 103 : 341-352, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1962-0146089-X , МР  0146089
• Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаза Рой (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в журнале « Алгоритмы и вычисления в математике» . Springer. ISBN 3-540-33098-4 ( онлайн-версия ) 
• Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, Сложность элементарной алгебры и геометрии , Журнал компьютерных и системных наук 32 (1986), вып. 2. С. 251–264.
• Кавинесс, Б.Ф., и Джереми Р. Джонсон, ред. (1998) Исключение кванторов и цилиндрическое алгебраическое разложение . Springer. ISBN 3-211-82794-3 
• Чен Чунг Чанг и Говард Джером Кейслер (1989) Теория моделей . Северная Голландия.
• Дейлз, Х.Г. и У. Хью Вудин (1996) Супер-реальные поля . Oxford Univ. Нажмите.
• Дэвенпорт, Джеймс Х .; Хайнц, Джоос (1988). «Исключение реального квантора двояко экспоненциально». J. Symb. Comput . 5 (1–2): 29–35. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (88) 80004-х . Zbl  0663.03015 .
• Эфрат, Идо (2006). Приблизительные, упорядочивания и Милнором K -теория . Математические обзоры и монографии. 124 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002 .
• Макферсон Д., Маркер Д., Стейнхорн К. Слабо о-минимальные структуры и вещественные замкнутые поля // Тр. американской математики. Soc., Vol. 352, № 12, 1998.
• Мишра, Бхубанешвар (1997) " Вычислительная вещественная алгебраическая геометрия " в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии . CRC Press. Издание 2004 г., стр. 743. ISBN 1-58488-301-4 
• Раджваде, АР (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .
• Пассмор, Грант (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной арифметики, действительной и сложной (PDF) (PhD). Эдинбургский университет .
• Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . Univ. Калифорнийской прессы.
• Erdös, P .; Gillman, L .; Хенриксен, М. (1955), "Теорема изоморфизма для вещественно-замкнутых полей" , Ann. математики. , 2, 61 (3): 542-554, DOI : 10,2307 / 1969812 , JSTOR  1969812 , МР  0069161

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме реального закрытого поля .

• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии
• Сервер препринтов Model Theory