В математике , теории Артина- Шрайер является ветвью теории Галуа , в частности , положительная характеристика аналог теории Куммера , для Галуа расширений степени , равной характеристике р . Артин и Шрайер ( 1927 ) ввели теорию Артина – Шрайера для расширений простой степени p , а Витт ( 1936 ) обобщил ее на расширения простой степени p n .
Если K - поле характеристики p , простое число , любой многочлен вида
для в K называется многочленом Артина – Шрайера . Когда для всех , Этот многочлен неприводит в К [ Х ], и его полю разложения над K является циклическим расширением из К степени р . Это следует из того, что для любого корня β числа β + i , при, образуют все корни - по малой теореме Ферма - поэтому поле расщепления равно.
Наоборот, любое расширение Галуа K степени p, равное характеристике K, является полем расщепления многочлена Артина – Шрайера. Это может быть доказано с использованием аддитивных аналогов методов теории Куммера , таких как теорема Гильберта 90 и аддитивные когомологии Галуа . Эти расширения называются расширениями Артина – Шрайера .
Расширения Артина – Шрайера играют роль в теории разрешимости радикалами в характеристике p , представляя один из возможных классов расширений в разрешимой цепи.
Они также участвуют в теории абелевых разновидностей и их изогении . В характеристике p изогения степени p абелевых многообразий для их функциональных полей должна давать либо расширение Артина – Шрайера, либо чисто неотделимое расширение .
Расширения Артина – Шрайера – Витта
Существует аналог теории Артина – Шрейера, который описывает циклические расширения характеристики p степени p- степени (а не только самой степени p ) с использованием векторов Витта , развитые Виттом ( 1936 ).
Рекомендации
- Артин, Эмиль ; Шрайер, Отто (1927), "Eine Kennzeichnung дер reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen Семинар - дер - Universität Hamburg , Springer Berlin / Heidelberg, 5 : 225-231, DOI : 10.1007 / BF02952522 , ISSN 0025-5858
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001 Раздел VI.6
- Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту 1737196 , Zbl 0948.11001 Раздел VI.1
- Witt, Эрнст (1936), "Zyklische Körper унд Algebren дер Characteristik р фом Grad р н Struktur Дискретная bewerteter Perfekter Körper vollkommenem Restklassenkörper Массачусетский технологический институт дер Charakteristik р. П " , Журнал für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 176 : 126 - 140, DOI : 10,1515 / crll.1937.176.126