В алгебре чисто неотделимое расширение полей - это расширение k ⊆ K полей характеристики p > 0, такое что каждый элемент K является корнем уравнения вида x q = a , где q является степенью p и a в к . Чисто неразделимые расширения иногда называют радиальными расширениями , которые не следует путать с похожим по звучанию, но более общим понятием радикальных расширений .
Совершенно неразделимые расширения
Алгебраическое расширение является чисто неотделимым расширением тогда и только тогда, когда для каждого, минимальный многочлен от над F является не разъемным многочленом . [1] Если F - любое поле, тривиальное расширениеполностью неразлучен; чтобы поле F обладало нетривиальным чисто неотделимым расширением, оно должно быть несовершенным, как указано в предыдущем разделе.
Известно несколько эквивалентных и более конкретных определений понятия чисто неотделимого расширения. Еслиявляется алгебраическим расширением с (ненулевой) простой характеристикой p , то следующие утверждения эквивалентны: [2]
1. E чисто неотделимо над F.
2. Для каждого элемента , Существует такой, что .
3. Каждый элемент E имеет минимальный многочлен над F вида для некоторого целого числа и какой-то элемент .
Из приведенных выше эквивалентных характеризаций следует, что если (для F поле простой характеристики) такое, что для некоторого целого числа , То Е является чисто неотделим над F . [3] (Чтобы увидеть это, заметьте, что множество всех x таких, что для некоторых образует поле; так как это поле содержит обаи F , это должно быть E , и по условию 2 выше, должны быть неразлучны.)
Если F - несовершенное поле простой характеристики p , выберитетакое, что a не является p- й степенью в F , и пусть f ( X ) = X p - a . Тогда f не имеет корня в F , и поэтому, если E является полем расщепления для f над F , можно выбрать с участием . В частности, и из свойства, указанного в параграфе непосредственно выше, следует, что является нетривиальным чисто неотделимым расширением (на самом деле, , и другие автоматически является полностью неотделимым расширением). [4]
Неразделимые расширения действительно возникают естественным образом; например, они встречаются в алгебраической геометрии над полями простой характеристики. Если К является полем характеристики р , и если V представляет собой алгебраическое многообразие над K размерности больше нуля, то функция поля К ( V ) является чисто несепарабельное расширение над подполе К ( V ) р о р м полномочий (это следует из условия 2 выше). Такие расширения происходят в контексте умножения на p на эллиптической кривой над конечным полем характеристики p .
Характеристики
- Если характеристика поля F является (ненулевым) простым числом p , и если является чисто неотделимым расширением, то если , К чисто неотделим над F и E является чисто неотделим над K . Кроме того, если [ Е : F ] конечен, то есть степень р , характеристика F . [5]
- Наоборот, если таково, что а также чисто неотделимые расширений, то Е является чисто неотделим над F . [6]
- Алгебраическое расширение является неотделимым расширением тогда и только тогда, когда есть некоторые такой, что минимальный многочлен над F является не разъемным многочленом (т.е. алгебраического расширения неотделимо тогда и только тогда , когда он не отделит, обратите внимание, однако, что неотделимо расширение не то же самое , как чисто неразрывное расширение). Еслиявляется конечной степенью нетривиальной неотделима расширения, то [ Е : F ] обязательно делится на характеристике F . [7]
- Если является нормальным расширением конечной степени, и если , То K чисто неотделимо над F и E сепарабелен над K . [8]
Соответствие Галуа для чисто неотделимых расширений
Якобсон ( 1937 , 1944 ) ввел разновидность теории Галуа для чисто неотделимых расширений экспоненты 1, в которой группы Галуа полевых автоморфизмов в теории Галуа заменены ограниченными алгебрами Ли дифференцирований. Простейший случай - это для конечного индекса чисто неотделимые расширения K ⊆ L экспоненты не более 1 (это означает, что p- я степень каждого элемента L принадлежит K ). В этом случае алгебра Ли K -дифференцирований алгебры L является ограниченной алгеброй Ли, которая также является векторным пространством размерности n над L , где [ L : K ] = p n , а промежуточные поля в L, содержащие K, соответствуют Ограниченный подалгебры Ли эта алгебры Ли , которые являются векторными пространствами над L . Хотя алгебра Ли дериваций является векторным пространством над L , в общем случае это не алгебра Ли над L , а алгебра Ли над K размерности n [ L : K ] = np n .
Чисто неотделимое расширение называется модульным расширением, если оно является тензорным произведением простых расширений, поэтому, в частности, каждое расширение показателя 1 модулярно, но существуют немодульные расширения показателя 2 ( Weisfeld 1965 ). Свидлер (1968) и Герстенхабер и Заромп (1970) расширили соответствие Галуа до модульных чисто неотделимых расширений, где производные заменены более высокими производными.
Смотрите также
Рекомендации
- Герстенхабер, Мюррей ; Заромп, Авигдор (1970), "Теория Галуа чисто неразделимых расширений полей", Бюллетень Американского математического общества , 76 : 1011–1014, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1970-12535-6 , ISSN 0002-9904 , Руководство по ремонту 0266904
- Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, выпускной курс (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Jacobson, Натан (1937), "Абстрактное Выведение и алгебра Ли", Труды Американского математического общества , Providence, RI: Американское математическое общество , 42 (2): 206-224, DOI : 10,2307 / 1989656 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1989656
- Jacobson, Натан (1944), "Теория Галуа чисто неотделимые полей экспоненты одного", Американский журнал математики , 66 : 645-648, DOI : 10,2307 / 2371772 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371772 , MR 0011079
- Sweedler, Мосс Eisenberg (1968), "Структура неотделимых расширений", Анналы математики , второй серии, 87 : 401-410, DOI : 10,2307 / 1970711 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970711 , MR 0223343
- Weisfeld, Моррис (1965), "Чисто неотделимые расширения и высшие производные", Труды Американского математического общества , 116 : 435-449, DOI : 10,2307 / 1994126 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994126 , MR 0191895