Теория Multiplicative числа подпол аналитической теории чисел , которая имеет дело с простыми числами и с факторизацией и делителями . Обычно основное внимание уделяется разработке приблизительных формул для подсчета этих объектов в различных контекстах. Теорема о простых числах - ключевой результат в этой теме. Тема Классификация Математика для теории мультипликативного чисел является 11Nxx.
Сфера
Мультипликативная теория чисел в основном занимается асимптотическими оценками арифметических функций . Исторически сложилось так, что в этой теме доминировала теорема о простых числах , сначала из-за попыток ее доказать, а затем из-за улучшений в термине ошибки. Задача о делителях Дирихле , оценивающая средний порядок функции делителей d (n), и задача о круге Гаусса , оценивающая средний порядок числа представлений числа в виде суммы двух квадратов, также являются классическими задачами, и снова в центре внимания находится по улучшению оценок погрешности.
Распределение простых чисел по классам остатков по модулю целого числа является областью активных исследований. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях показывает, что существует бесконечное количество простых чисел в каждом классе вычетов, совпадающих с простыми числами, а теорема о простых числах для арифметических прогрессий показывает, что простые числа асимптотически равнораспределены среди классов вычетов. Теорема Бомбьери – Виноградова дает более точную меру того, насколько равномерно они распределены. Также большой интерес вызывает размер наименьшего простого числа в арифметической прогрессии; Теорема Линника дает оценку.
Гипотеза о простых числах-близнецах , а именно, что существует бесконечное количество простых чисел p, таких что p +2 также является простым, является предметом активных исследований. Теорема Чена показывает, что существует бесконечное количество простых чисел p, таких что p +2 либо простое число, либо произведение двух простых чисел.
Методы
Эти методы относятся в первую очередь к аналитической теории чисел , но очень важны и элементарные методы, особенно методы сита . На большие сита и экспоненциальные суммы , как правило , рассматривается как часть теории мультипликативного чисел.
Распределение простых чисел тесно связана с поведением дзета - функции Римана и гипотезы Римана , и эти предметы изучаются как с теории чисел точки зрения и комплексного анализа точки зрения.
Стандартные тексты
Большая часть аналитической теории чисел связана с мультипликативными проблемами, поэтому большинство ее текстов содержат разделы по мультипликативной теории чисел. Вот некоторые хорошо известные тексты, которые конкретно посвящены мультипликативным задачам:
- Давенпорт, Гарольд (2000). Теория мультипликативных чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
- Монтгомери, Хью ; Роберт К. Воан (2005). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6.