В математике , то проблема круга Гаусса является проблемой определения , сколько целочисленной решетки точек существует в окружности с центром в начале координат и с радиусом . Это число приблизительно равно площади круга, поэтому настоящая проблема состоит в том, чтобы точно определить член ошибки, описывающий, как количество точек отличается от площади. Первый прогресс в решении был сделан Карлом Фридрихом Гауссом , отсюда и его название.
Проблема
Рассмотрим круг в с центром в начале координат и радиусом . Задача круга Гаусса спрашивает, сколько точек находится внутри этого круга формы где а также оба являются целыми числами. Поскольку уравнение этой окружности задается в декартовых координатах формулой, вопрос эквивалентен вопросу о том, сколько существует пар целых чисел m и n таких, что
Если ответ на данный обозначается то в следующем списке показаны первые несколько значений для целое число от 0 до 12, за которым следует список значений округлено до ближайшего целого числа:
Границы решения и гипотезы
примерно , площадь внутри круга радиуса. Это потому, что в среднем каждый единичный квадрат содержит одну точку решетки. Таким образом, реальное количество точек решетки в круге примерно равно его площади,. Так что следует ожидать, что
для некоторого срока ошибки относительно небольшой абсолютной величины. Нахождение правильной верхней границы длятакова, таким образом, форма, которую приняла проблема. Обратите внимание, чтоне обязательно должно быть целым числом. После надо В этих местах увеличивается на после чего она уменьшается (со скоростью ) до следующего раза.
Гауссу удалось доказать [1], что
Харди [2] и, независимо, Ландау нашли оценку снизу, показав, что
используя небольшую o-нотацию . Предполагается [3], что правильная оценка
Письмо , текущие границы на находятся
с нижней оценкой, полученной Харди и Ландау в 1915 г., и верхней оценкой, доказанной Мартином Хаксли в 2000 г. [4]
Точные формы
Значение может быть дан несколькими сериями. В терминах суммы, включающей минимальную функцию, это может быть выражено как: [5]
Это следствие теоремы Якоби о двух квадратах, которая почти сразу следует из тройного произведения Якоби . [6]
Гораздо более простая сумма появляется, если функция суммы квадратов определяется как количество способов записи числа как сумма двух квадратов. Тогда [1]
Самый последний прогресс основан на следующей Идентичности, которая была впервые обнаружена Харди: [7]
где обозначает функцию Бесселя первого рода с порядком 1.
Обобщения
Хотя исходная задача требует целочисленных точек решетки в круге, нет причин не рассматривать другие формы, например коники ; действительно , проблема делителей Дирихле - это эквивалентная проблема, в которой круг заменяется прямоугольной гиперболой . [3] Точно так же можно расширить вопрос с двух измерений на более высокие измерения и попросить целые точки внутри сферы или других объектов. По этим проблемам существует обширная литература. Если игнорировать геометрию и просто рассматривать проблему как алгебраическую из диофантовых неравенств, тогда можно было бы увеличить показатели, фигурирующие в задаче, с квадратов на кубики или выше.
Точка планиметр это физическое устройство для оценки площади фигуры , основанный на том же принципе. Он состоит из квадратной сетки из точек, напечатанных на прозрачном листе; Площадь фигуры можно оценить как произведение количества точек в форме на площадь квадрата сетки. [8]
Проблема примитивного круга
Другое обобщение - вычислить количество взаимно простых целочисленных решений к неравенству
Эта проблема известна как проблема примитивного круга , поскольку она включает в себя поиск примитивных решений исходной проблемы круга. [9] Это можно интуитивно понять как вопрос о том, сколько деревьев на расстоянии r видны в саду Евклида , стоящего в начале координат. Если обозначить количество таких решений тогда значения для принимающие небольшие целые значения
Используя те же идеи, что и в обычной задаче о круге Гаусса, и тот факт, что вероятность того, что два целых числа взаимно просты, равна, относительно просто показать, что
Как и в случае с обычной проблемой круга, проблемная часть проблемы примитивного круга заключается в уменьшении показателя степени ошибки. В настоящее время наиболее известным показателем являетсяесли принять гипотезу Римана . [9] Не предполагая гипотезы Римана, самая известная верхняя граница
для положительной постоянной . [9] В частности, нет ограничений на срок ошибки формы для любой в настоящее время известно, что не предполагает гипотезы Римана.
Заметки
- ^ а б Харди, GH (1959). Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, предложенным его жизнью и работой (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательская компания Челси. п. 67. MR 0106147 .
- ^ Харди, GH (1915). «О выражении числа как суммы двух квадратов». Ежеквартальный математический журнал . 46 : 263–283.
- ^ а б Гай, Ричард К. (2004). «F1: точечная проблема решетки Гауса». Нерешенные проблемы теории чисел . Проблемные книги по математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 365–367. DOI : 10.1007 / 978-0-387-26677-0 . ISBN 0-387-20860-7. Руководство по ремонту 2076335 .
- ^ Хаксли, Миннесота (2002). «Целочисленные точки, экспоненциальные суммы и дзета-функция Римана». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия; Boston, N .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Филипп, W. (ред.). Теория чисел для тысячелетия II: доклады с конференции , состоявшейся в Университете штата Иллинойс в Урбана-Шампань, Урбана, Иллинойс, 21-26 мая 2000 года . Натик, Массачусетс: А. К. Питерс. С. 275–290. Руководство по ремонту 1956254 .
- ^ Гильберт, Д .; Кон-Фоссен, С. (1952). Геометрия и воображение . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательская компания Челси. С. 37–38. Руководство по ремонту 0046650 .
- ^ Хиршхорн, Майкл Д. (2000). «Частные дроби и четыре классические теоремы теории чисел». Американский математический ежемесячник . 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 . DOI : 10.2307 / 2589321 . JSTOR 2589321 .
- ^ Ландау, Эдмунд (1927). Vorlesungen über Zahlentheorie . 2 . Verlag S. Hirzel. п. 189.
- ^ Steinhaus, Гюго . "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) . Przegląd Matematyczno-Fizyczny (на польском языке). 2 (1-2): 24-29.
- ^ а б в Ву, Цзе (2002). «О проблеме примитивного круга». Monatshefte für Mathematik . 135 (1): 69–81. DOI : 10.1007 / s006050200006 . Руководство по ремонту 1894296 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Проблема круга Гаусса" . MathWorld .