Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Круг с радиусом 5, наложенный сеткой из точек по образцу точечного планиметра. При подсчете точек около границы формы как 1/2, имеется 69 внутренних точек и 20 граничных точек для предполагаемой площади 79, что близко к фактической площади 25 π ≈ 78,54.

Точка планиметр это устройство , используемое в Планиметрия для оценки площади фигуры, состоящей из прозрачного листа , содержащего квадратную сетку из точек. Чтобы оценить площадь фигуры, лист накладывается на фигуру и подсчитываются точки внутри фигуры. Оценка площади - это количество подсчитанных точек, умноженное на площадь одного квадрата сетки. В некоторых вариантах точки, которые попадают на границу фигуры или рядом с ней, считаются половиной единицы. Точки также могут быть сгруппированы в более крупные квадратные группы с помощью линий, нарисованных на прозрачной пленке, что позволяет добавлять в счет группы, полностью находящиеся в пределах формы, вместо того, чтобы требовать, чтобы их точки считались одна за другой. [1]

Оценка площади с помощью точечной сетки также называется методом точечной сетки или (особенно, когда выравнивание сетки с формой является случайным) систематической выборкой . [2] Возможно, из-за своей простоты его неоднократно изобретали заново. [3] [4] [5]

Заявление [ править ]

В лесном хозяйстве , картографии и географии точечный планиметр применялся на картах для оценки площади земельных участков. [1] [4] [5] [6] В ботанике и садоводстве его применяли непосредственно к отобранным листьям для оценки средней площади листьев. [7] [8] [9]

В медицине его применяли к диаграммам Лэшли для оценки размера поражений головного мозга . [10]

В минералогии аналогичный метод подсчета точек в сетке применяется к поперечным сечениям образцов горных пород для другой цели, оценивая относительные пропорции различных составляющих минералов. [11]

Теория [ править ]

Более высокой точности можно добиться, используя точечный планиметр с более мелкой сеткой точек. [6] В качестве альтернативы, многократное размещение планиметра точки с разными иррациональными смещениями по сравнению с его предыдущим размещением и усреднение результатов измерений может привести к набору выборочных измерений, среднее значение которых стремится к истинной площади измеряемой формы. [3] Метод, использующий более мелкую сетку, имеет тенденцию иметь лучшую статистическую эффективность, чем повторные измерения со случайным размещением. [2]

Согласно теореме Пика , опубликованной Георгом Александром Пиком в 1899 году, версия точечного планиметра с граничными точками, считающимися как 1/2 (и с добавленным поправочным членом -1), дает точные результаты для многоугольников , у которых точки являются их вершинами. . [12] [13] Согласно теореме Блихфельдта , опубликованной Гансом Фредериком Блихфельдтом в 1914 году, всегда можно сместить планиметр точки относительно заданной формы, не поворачивая ее так, чтобы количество точек внутри формы было, по крайней мере, равно его площадь. [14] [15]

Проблема круга Гаусса касается ошибки, которая была бы получена при использовании точечного планиметра для оценки площади круга . Как следует из названия, он был изучен в начале 19 века Карлом Фридрихом Гауссом . Известно, что максимальная ошибка ограничена дробной степенью радиуса круга с показателем от 1/2 до 131/208. [16]

Связанные устройства [ править ]

Штрих планиметр отличается от других видов планиметра , которые измеряют площадь фигуры, передавая устройство вокруг своей границы. [5]

Longimeter Штейнгауза аналогичной прозрачности на основе устройство для оценки длины кривых путем подсчета пересечений. [17]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б Crommer, ДАН (январь 1949), "Извлечение небольших нерегулярных областей", Австралийский лесного хозяйства , 13 (1): 64-66, DOI : 10,1080 / 00049158.1949.10675768
  2. ^ Б Bellhouse, ДР (1981), "Оценка Площади методов , точка подсчета", биометрия , 37 (2): 303-312, DOI : 10,2307 / 2530419 , JSTOR 2530419 , МР 0673040  
  3. ^ a b Steinhaus, Hugo , "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) , Przegląd Matematyczno-Fizyczny (на польском языке), 2 (1-2): 24-29
  4. ^ a b Абель, Калифорния (1939), «Метод оценки площади фигур неправильной формы и ломаных фигур» (PDF) , Journal of Forestry , 37 : 344–345
  5. ^ a b c Вуд, Уолтер Ф. (январь 1954 г.), «Планиметр с точкой, новый способ измерения площади карты», The Professional Geographer , 6 (1): 12–14, doi : 10.1111 / j.0033-0124.1954 .61_12.x
  6. ^ а б Фролов Ю.С. Малинг, DH (июнь 1969), "Точность измерения площади с помощью методов подсчета точки", картографической Journal , 6 (1): 21-35, DOI : 10.1179 / caj.1969.6.1.21
  7. ^ Хайнике, Дон Р. (октябрь 1963 г.), «Заметка об оценке площади листьев и распределения листьев на фруктовых деревьях», Canadian Journal of Plant Science , Canadian Science Publishing, 43 (4): 597–598, doi : 10.4141 / cjps63 -117
  8. ^ Бенджамин, DM; Freeman, GH; Браун, ES (февраль 1968 г.), «Определение участков неправильной формы на листьях, разрушаемых жевательными насекомыми», Annals of Applied Biology , 61 (1): 13–17, DOI : 10.1111 / j.1744-7348.1968.tb04505. Икс
  9. ^ Дольф, Гэри Э. (июль – сентябрь 1977 г.), «Влияние различных методов расчета на оценку площади листьев и построение распределений размеров листьев», Бюллетень Ботанического клуба Торри , 104 (3): 264–269 , DOI : 10,2307 / 2484308 , JSTOR 2484308 
  10. ^ Томас, Роджер К .; Павлин, LJ (январь 1965), "Способ измерения поражений головного мозга", Psychonomic Наука , 3 (1-12): 184-184, DOI : 10,3758 / bf03343085
  11. ^ Нейлсон, MJ; Брокман, Г.Ф. (декабрь 1977 г.), «Ошибка, связанная с подсчетом точек» , American Mineralogist , 62 (11–12): 1238–1244
  12. ^ Пика, Георг (1899 г.), "Geometrisches цур Zahlenlehre" , Sitzungsberichte де Deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Лотос" в Праге (Neue Folge) (на немецком языке ), 19 : 311-319, JFM 33.0216.01  CiteBank: 47270
  13. ↑ Уэллс, Дэвид (1991), «Теорема Пика», Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Penguin Books, стр. 183–184
  14. ^ Блихфельдом, HF (1914), «Новый принцип в геометрии чисел, с некоторыми приложениями», Труды Американского математического общества , 15 (3): 227-235, дой : 10,1090 / S0002-9947-1914-1500976 -6 , JSTOR 1988585 , Руководство по ремонту 1500976  
  15. ^ Olds, CD ; Лакс, Аннели ; Давидофф, Джулиана П. (2000), «Глава 9: Новый принцип в геометрии чисел», Геометрия чисел , Новая математическая библиотека Аннели Лакс, 41 , Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 119–127 , ISBN 0-88385-643-3, MR  1817689
  16. ^ Гай, Ричард К. (2004), «F1: проблема решетки Гаусса», Нерешенные проблемы теории чисел , Проблемные книги по математике (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 365–367, doi : 10.1007 / 978-0-387-26677-0 , ISBN 0-387-20860-7, Руководство по ремонту  2076335
  17. ^ Steinhaus, Hugo (1931), "Longimetr", Czasopismo geograficzne (на польском языке), 3 : 1-4

Внешние ссылки [ править ]

  • Точечный планиметр , Chris Staecker, Университет Фэрфилда