В геометрии , Пика теорема дает формулу для области в виде простого многоугольника с числом вершин координат, в терминах числа целых точек внутри нее и на ее границе. Результат был впервые описан Георгом Александром Пиком в 1899 г. [1] и популяризирован на английском языке Хьюго Штайнхаусом в издании 1950 г. его книги « Математические снимки» . [2] [3] Он имеет несколько доказательств и может быть обобщен на формулы для некоторых видов непростых многоугольников.
Формула
Предположим, что у многоугольника есть целые координаты для всех его вершин, пусть - количество целых точек, находящихся внутри многоугольника, и пусть - количество целочисленных точек на его границе (включая вершины и точки по сторонам многоугольника). Тогда площадь этого многоугольника: [4] [5] [6] [7]
Доказательства
Через формулу Эйлера
Одно доказательство этой теоремы использует формулу полиэдра Эйлера для сведения проблемы к случаю треугольника с тремя целыми вершинами и без других целых точек. Такой треугольник может замощить плоскость копиями самого себя, повернутыми на 180 ° вокруг середины каждого края. Треугольники этой мозаики вдвое плотнее целых точек (каждая целая точка принадлежит шести треугольникам, а каждый треугольник касается только трех целых точек), из чего следует, что их площадь в точности равна, как следует из теоремы Пика (после того, как она была доказана). [4] Также можно использовать теорему Минковского о точках решетки в симметричных выпуклых множествах, чтобы доказать, что эти треугольники имеют площадь. [8]
Любой другой простой многоугольник можно разбить на треугольники этого типа. Если многоугольник имеет внутренние целые точки, граничные точки и площадь , то мы можем использовать это количество точек для подсчета вершин, граней и ребер подразделения, используемого формулой Эйлера. Внутренняя и граничная точки - это вершины подразделения, поэтому естьобщее количество вершин. Подразделение имеет лица: треугольники площади , чтобы покрыть область многоугольника, и еще одну грань за пределами многоугольника. Наконец, каждое ребро подразделения образует сторону одного или двух треугольников. Есть стороны треугольников и ребра подразделения, которые образуют сторону только одного треугольника, а не двух, поэтому общее количество ребер в подразделе равно . Подставляя эти числа в формулу Эйлера дает
Также можно пойти в другом направлении, используя теорему Пика (доказанную другим способом) в качестве основы для доказательства формулы Эйлера. [5] [10]
Прочие доказательства
Альтернативные доказательства теоремы Пика, не использующие формулу Эйлера, включают:
- доказательство, основанное на рекурсивном разложении данного многоугольника на большие треугольники, аддитивности подсчета площадей и точек при этом разложении, а также формулы для площади треугольника, основанной на подразделении его ограничивающего прямоугольника на данный треугольник и дополнительные прямоугольные треугольники , [6] [7] [11]
- доказательство, основанное на суммировании площадей, покрытых многоугольником в каждой ячейке диаграммы Вороного точек целочисленной сетки (единичный квадрат с каждой точкой сетки в центре), наблюдая, что внутренние точки покрывают всю свою ячейку, край точки покрывают половину своего квадрата, а угловые точки покрывают суммами, разность которых от половины квадрата (с использованием аргумента, основанного на числе поворота ) составляет всего допоправочный член в формуле Пика, [7]
- рассечение на основе доказательств , в которых данный полигоне разрежут на куски границ целого числа квадратов сетки, и эти части переставляются (путем сопоставления до пары квадратов вдоль каждого край многоугольника) в Полимин с одной и той же областью, [12]
- доказательство , основанное на комплексной интеграции в виде двоякопериодической функции , связанные с эллиптическими функциями Вейерштрасса , [13] и
- доказательство, полученное применением формулы суммирования Пуассона к характеристической функции многоугольника. [14]
Обобщения
Возможны обобщения теоремы Пика на непростые многоугольники, но они более сложные и требуют больше информации, чем просто количество внутренних и граничных вершин. [2] [15] Например, многоугольник сдыры, ограниченные простыми целочисленными многоугольниками, не пересекающиеся друг с другом и с границей, имеют площадь [16]
В тетраэдрах Рив представляют собой семейство тетраэдров в трех измерениях с целыми точками как вершины и без внутренних целых точек. Поскольку они имеют разные объемы, не может быть аналога теоремы Пика в трех измерениях, который выражает объем многогранника как функцию только количества его внутренних и граничных точек. [17] Однако вместо этого эти объемы можно выразить с помощью полиномов Эрхарта . [18] [19]
Смотрите также
- Теорема Блихфельдта о переводе любой формы так, чтобы она содержала по крайней мере ее площадь в точках сетки
- Точечный планиметр , устройство на основе прозрачности для оценки площади путем подсчета точек сетки
- Последовательность Фарея , упорядоченная последовательность рациональных чисел с ограниченными знаменателями, анализ которой включает теорему Пика
- Задача о круге Гаусса , задача об ограничении погрешности между площадями и количеством точек сетки в кругах
- Целочисленные точки в выпуклых многогранниках - проблема подсчета, возникающая в нескольких областях математики и информатики.
- Формула шнурка , другая формула для площади, использующая только последовательные вершины многоугольника.
Рекомендации
- ^ Пик, Георг (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre" . Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" в Праге . (Neue Folge). 19 : 311–319. JFM 33.0216.01 . CiteBank: 47270
- ^ а б в Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (февраль 1993 г.). «Теорема Пика». Американский математический ежемесячник . 100 (2): 150–161. DOI : 10.2307 / 2323771 . JSTOR 2323771 .
- ^ Штейнхаус, Х. (1950). Математические снимки . Издательство Оксфордского университета. п. 76. MR 0036005 .
- ^ а б в Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018). «Три приложения формулы Эйлера: теорема Пика». Доказательства из КНИГИ (6-е изд.). Springer. С. 93–94. DOI : 10.1007 / 978-3-662-57265-8 . ISBN 978-3-662-57265-8.
- ^ а б Уэллс, Дэвид (1991). «Теорема Пика». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Книги пингвинов. С. 183–184.
- ^ а б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). «2.6 Теорема Пика». Вычисление непрерывных дискретных чисел: перечисление целых точек в многогранниках . Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.). Springer. С. 40–43. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9. Руководство по ремонту 3410115 .
- ^ а б в Болл, Кит (2003). «Глава 2: Подсчет точек». Странные кривые, счет кроликов и другие математические исследования . Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси. С. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. MR 2015 451 .
- ^ Рам Мурти, М .; Тейн, Нитум (2007). «Теорема Пика через теорему Минковского». Американский математический ежемесячник . 114 (8): 732–736. DOI : 10.1080 / 00029890.2007.11920465 . JSTOR 27642309 . Руководство по ремонту 2354443 .
- ^ Funkenbusch, WW (июнь – июль 1974 г.). «От формулы Эйлера к формуле Пика с помощью краевой теоремы». Классные заметки. Американский математический ежемесячник . 81 (6): 647–648. DOI : 10.2307 / 2319224 . JSTOR 2319224 . Руководство по ремонту 1537447 .
- ^ ДеТемпл, Дуэйн; Робертсон, Джек М. (март 1974 г.). «Эквивалентность теорем Эйлера и Пика». Учитель математики . 67 (3): 222–226. DOI : 10.5951 / mt.67.3.0222 . JSTOR 27959631 .
- ^ Варберг, Дейл Э. (1985). «Возвращение к теореме Пика». Американский математический ежемесячник . 92 (8): 584–587. DOI : 10.2307 / 2323172 . JSTOR 2323172 . Руководство по ремонту 0812105 .
- ^ Трейнин, Дж. (Ноябрь 2007 г.). «Элементарное доказательство теоремы Пика». Математический вестник . 91 (522): 536–540. DOI : 10.1017 / S0025557200182270 . JSTOR 40378436 .
- ^ Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1995). "Формула Пика через Вейерштрасса. -функции» Американский Математический Ежемесячный . 102 (5): 431-437. DOI : 10,2307 / 2975035 . JSTOR 2975035 . MR 1327788 .
- ^ Brandolini, L .; Colzani, L .; Робинс, С .; Траваглини, Г. (2021 г.). «Теорема Пика и сходимость кратных рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 128 (1): 41–49. DOI : 10.1080 / 00029890.2021.1839241 . Руководство по ремонту 4200451 .
- ^ а б Розенгольц, Ира (1979). «Расчет площади поверхности по чертежу». Математический журнал . 52 (4): 252–256. DOI : 10.1080 / 0025570X.1979.11976797 . JSTOR 2689425 . Руководство по ремонту 1572312 .
- ^ Санкар П.В. Кришнамурти, Э.В. (август 1978 г.). «О компактности подмножеств цифровых изображений». Компьютерная графика и обработка изображений . 8 (1): 136–143. DOI : 10.1016 / s0146-664x (78) 80021-5 .
- ^ Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-7.1.378 . Руководство по ремонту 0095452 .
- ↑ Beck & Robins (2015) , 3.6 «От дискретного к непрерывному объему многогранника», стр. 76–77
- ^ Диас, Рикардо; Робинс, Синай (1997). «Многочлен Эрхарта решетчатого многогранника». Анналы математики . Вторая серия. 145 (3): 503–518. DOI : 10.2307 / 2951842 . Руководство по ремонту 1454701 .
Внешние ссылки
- Пика теоремы по Ed Пегг, младший , в Wolfram Demonstrations проект .
- Пи с использованием теоремы Пика Марка Даббса, GeoGebra