В геометрии , то Рив тетраэдр представляет собой полиэдр , в трехмерном пространстве с вершинами в точках (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (1, 1, г ) , где r - целое положительное число. Он назван в честь Джона Рива , который использовал его, чтобы показать, что многомерные обобщения теоремы Пика не существуют.
Контрпример к обобщениям теоремы Пика
Каждая вершина тетраэдра лежит Рив на фундаментальной решетки точке (точка в ℤ 3 ). Никакие другие фундаментальные точки решетки не лежат на поверхности или внутри тетраэдра . Объем тетраэдра Reeve является г / 6 . В 1957 году Рив использовал этот тетраэдр, чтобы показать, что существуют тетраэдры с четырьмя точками решетки в качестве вершин и не содержащие других точек решетки, но со сколь угодно большим объемом. [1]
В двух измерениях площадь каждого многогранника с вершинами решетки определяется как формула количества точек решетки в его вершинах, на границе и внутри, согласно теореме Пика . Тетраэдры Рива подразумевают, что не может быть соответствующей формулы для объема в трех или более измерениях. Любая такая формула не сможет отличить тетраэдры Рива с различным выбором r друг от друга, но их объемы отличаются друг от друга. [1]
Несмотря на этот отрицательный результат, можно (как показал Рив) разработать более сложную формулу для объема многогранника решетки, которая объединяет количество узлов решетки в многограннике, число точек более тонкой решетки в многограннике и эйлерову характеристику многогранника. [1] [2]
Полином Эрхарта
Эрхарт многочлен любой решетки многогранника подсчитывает число точек решетки , что он содержит при масштабировании до целого числа раза. Многочлен Эрхарта тетраэдра Рива T r высоты r равен [3]
Таким образом, при r ≥ 13 коэффициент при t в полиноме Эрхарта от T r отрицателен. Этот пример показывает, что полиномы Эрхарта иногда могут иметь отрицательные коэффициенты. [3]
Рекомендации
- ^ a b c Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-7.1.378 . Руководство по ремонту 0095452 .
- ^ Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Нечетная формула объема трехмерных решетчатых многогранников». Geometriae Dedicata . 61 (3): 271–278. DOI : 10.1007 / BF00150027 . Руководство по ремонту 1397808 .
- ^ а б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Вычисление непрерывных дискретных чисел: перечисление целых точек в многогранниках . Тексты для бакалавриата по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 78–79, 82 . DOI : 10.1007 / 978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9. Руководство по ремонту 3410115 .