Формула суммирования Пуассона

В математике , то формула суммирования Пуассона представляет собой уравнение , которое связывает ряд Фурье коэффициенты периодического суммирования в виде функции к значениям функции в непрерывном преобразовании Фурье . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется пересуммированием Пуассона .

Формы уравнения [ править ]

Для соответствующих функций   формулу суммирования Пуассона можно записать как :${\ displaystyle f,}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} \ left (k \ верно),}$     где   - преобразование Фурье [A] от ; то есть   ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ nu) = {\ mathcal {F}} \ {f (x) \}.}$

( Уравнение 1 )

С заменой   и свойством преобразования Фурье     (для )   уравнение 1 становится :${\ Displaystyle г (хР) \ \ треугольник q \ е (х),}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g (xP) \} \ = {\ frac {1} {P}} \ cdot {\ hat {g}} \ left ({\ frac {\ nu} { P}} \ right)}$${\ displaystyle P> 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} g (nP) = {\ frac {1} {P}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ шляпа {g}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)}$     ( Штайн и Вайс, 1971 ).

( Уравнение 2 )

С другим определением     и свойством преобразования   уравнение 2 становится периодическим суммированием (с периодом ) и его эквивалентным рядом Фурье :${\ Displaystyle s (т + х) \ \ треугольникq \ г (х),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s(t+x)\}\ ={\hat {s}}(\nu )\cdot e^{i2\pi \nu t},}$  ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)} _{S_{P}(t)}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot {\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}}$     ( Пинский 2002 ; Зигмунд 1968 ).

( Уравнение 3 )

Точно так же периодическое суммирование преобразования Фурье функции эквивалентно этому ряду Фурье :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\ e^{-i2\pi nT\nu }=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(\nu +k/T)\equiv {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\ \delta (t-nT)\right\},}$

( Уравнение 4 )

где T представляет собой интервал времени, в котором выполняется выборка функции , и - частота выборок в секунду.${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle 1/T}$

Примеры [ править ]

• Пусть для и для получения${\displaystyle f(x)=e^{-ax}}$${\displaystyle 0\leq x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z_{+}} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}},}$

• Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тета-функции
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может использоваться для доказательства некоторых из его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди ^{[ требуется пояснение ]}
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса

Распределительная формулировка [ править ]

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений ( Córdoba 1988 ; Hörmander 1983 , §7.2) для функции , все производные которой быстро убывают (см. Функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений . Используя гребенчатое распределение Дирака и его ряд Фурье : harvnb error: no target: CITEREFCórdoba1988 (help)${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\nu -k/T),}$

( Ур.7 )

Другими словами, периодизация дельты Дирака , приводящая к гребенке Дирака , соответствует дискретизации ее спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями.${\displaystyle \delta }$

Уравнение 1 легко следует :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).\end{aligned}}}$

Аналогично :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(\nu +k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}t}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(t)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}t}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nT\nu }.\end{aligned}}}$

Вывод [ править ]

Мы также можем доказать, что уравнение 3 выполняется в том смысле, что если , то правая часть является (возможно, расходящимся) рядом Фурье левой части. Это доказательство можно найти либо в ( Пинский, 2002 ), либо в ( Зигмунд, 1968 ). Это следует из теоремы о мажорируемой сходимости, которая существует и конечна почти для всех . Кроме того, следует, что интегрируемо на интервале . Правая часть уравнения (3) имеет вид ряда Фурье . Поэтому достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье равны . Исходя из определения коэффициентов Фурье имеем :${\displaystyle s(t)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s_{P}}$${\displaystyle [0,P]}$${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{P}}{\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &{\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(t+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\end{aligned}}}$

где замена суммирования интегрированием еще раз оправдана преобладающей сходимостью. При замене переменных ( ) это становится :${\displaystyle \tau =t+nP}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau ={\frac {1}{P}}\cdot {\hat {s}}\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$       QED .

Формула суммирования Пуассона также может быть доказана довольно концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями, такими как

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$^[1]

Применимость [ править ]

Уравнение 3 выполняется при условии, что непрерывная интегрируемая функция удовлетворяет${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle |s(t)|+|{\hat {s}}(t)|\leq C(1+|t|)^{-1-\delta }}$

для всех и каждого ( Grafakos 2004 ; Stein & Weiss 1971 ). Следует отметить , что такой является равномерно непрерывным , это вместе с предположением распада на , показывает , что ряд , определяющий равномерно сходится к непрерывной функции.   Уравнение 3 выполняется в строгом смысле, что обе стороны сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу ( Stein & Weiss, 1971 ).${\displaystyle C>0,\delta >0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{P}}$

Уравнение 3 выполняется в поточечном смысле при строго более слабом предположении,имеющем ограниченную вариацию и${\displaystyle s}$

${\displaystyle 2\cdot s(t)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(t+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(t-\varepsilon )}$     ( Зигмунд 1968 ).

Тогда ряд Фурье в правой части уравнения 3 понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, уравнение 3 выполняется при гораздо менее ограничительном предположении, которое есть в , но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье из ( Zygmund 1968 ). В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, путем рассмотрения методов суммирования, таких как суммируемость по Чезаро . При такой интерпретации сходимости уравнение 2 выполняется при менее ограничительных условиях, которые являются интегрируемыми, а 0 является точкой непрерывности . Однако уравнение 2 может не выполняться, даже если оба и интегрируемы и непрерывны, а суммы абсолютно сходятся (${\displaystyle s(t)}$ L 1 ( R ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )} ${\displaystyle s_{P}(t)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g_{P}(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$Кацнельсон 1976 ).

Приложения [ править ]

Метод изображений [ править ]

В дифференциальных уравнениях , формула суммирования Пуассона обеспечивает строгое обоснование для фундаментального решения этого уравнения теплопроводности с поглощающим прямоугольной границей по методе изображений . Здесь тепло ядро на известно, и что прямоугольник определяются с периодизацией. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей ( Grafakos 2004 ). В одном измерении полученное решение называется тета-функцией .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Выборка [ править ]

В статистическом исследовании временных рядов, если это функция времени, то рассмотрение только его значений в равноотстоящие моменты времени называется «выборкой». В приложениях, как правило , функция является ограниченной полосой , а это означает , что существует некоторая частота среза так , что преобразование Фурье равно нулю при частотах , превышающих частоту среза: для . Для функций с ограниченным диапазоном выбор частоты дискретизации гарантирует, что информация не будет потеряна: поскольку можно восстановить из этих дискретных значений, то с помощью инверсии Фурье можно . Это приводит к теореме выборки Найквиста – Шеннона ( Пинский, 2002 ).${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{o}}$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=0}$${\displaystyle |\xi |>f_{o}}$${\displaystyle 2f_{o}}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$

Суммирование Эвальда [ править ]

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящееся суммирование в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящееся эквивалентное суммирование в пространстве Фурье. ^{[ необходимая цитата ]} (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея, лежащая в основе суммирования Эвальда .

Точки решетки в сфере [ править ]

Формула суммирования Пуассона может использоваться для вывода асимптотической формулы Ландау для числа узлов решетки в большой евклидовой сфере. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция и обе имеют компактную опору, то   ( Pinsky 2002 ).${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f=0}$

Теория чисел [ править ]

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана . ^[2]

Одно из важных применений пуассоновского суммирования касается тета-функций : периодических суммирований гауссианов. Положите для комплексного числа в верхней полуплоскости и определите тета-функцию:${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$

Связь между и оказывается важной для теории чисел, поскольку такая связь является одним из определяющих свойств модулярной формы . Выбирая второй вариант формулы суммирования Пуассона (с ) и используя тот факт, что сразу получаем${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$${\displaystyle \theta (\tau )}$${\displaystyle f=e^{-\pi x^{2}}}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle {\hat {f}}=e^{-\pi \xi ^{2}}}$

${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau )}$

поставив .${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}}$

Из этого следует, что имеет свойство простого преобразования, и это может быть использовано для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выражения целого числа как суммы восьми полных квадратов.${\displaystyle \theta ^{8}}$${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

Сферы [ править ]

Cohn & Elkies (2003) доказали верхнюю границу плотности упаковки сфер, используя формулу суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальной упаковки сфер в размерностях 8 и 24.

Обобщения [ править ]

Формула суммирования Пуассона верна в евклидовом пространстве произвольной размерности. Пусть будут решетки в состоящих из точек с целыми координатами; это группа символов , или Понтрягина двойной , из ^{[ сомнительное - обсудить ]} . Для функции в рассмотрим ряд, полученный путем суммирования сдвигов по элементам :${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }f(x+\nu ).}$

Теорема Для in указанный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию Pƒ on . Pƒ лежит в с || Pƒ || ₁ ≤ || ƒ || ₁ . Более того, для всех in Pƒ̂ (ν) (преобразование Фурье на ) равно (преобразование Фурье на ).${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\hat {f}}(\nu )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Когда вдобавок непрерывен, и оба и затухают достаточно быстро на бесконечности, тогда можно «инвертировать» область обратно и сделать более сильное утверждение. Точнее, если${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle |f(x)|+|{\hat {f}}(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$

для некоторого C , δ> 0, то

${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }f(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }{\hat {f}}(\nu )e^{2\pi ix\cdot \nu },}$    ( Stein & Weiss 1971 , VII §2)

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает формулу, приведенную в первом разделе выше.

В более общем смысле, версия утверждения верна, если Λ заменить на более общую решетку в . Двойной решетки Λ 'может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или , альтернативно , с помощью двойственности Понтрягина . Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ ′ снова является преобразованием Фурье в виде распределений, подлежащих правильной нормировке.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Это применяется в теории тета-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в областях он обычно используется - суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это как раз вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что требуется, а правая часть - это то, что можно атаковать с помощью математического анализа .

Формула следа Сельберга [ править ]

В теории чисел требуется дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы . В некоммутативном гармоническом анализе идея развита еще дальше в формуле следа Сельберга , но принимает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона до преобразования Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах с дискретной подгруппой, такой как что имеет конечный объем. Например, могут быть реальные точки, а могут быть целые точки . В этой настройке играет роль действительной числовой прямой в классической версии пуассоновского суммирования и играет роль целых чисел${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G/\Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle n}$ которые появляются в сумме. Обобщенная версия пуассоновского суммирования называется формулой следа Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Великой теоремы Ферма Уайлсом. Левая часть (1) становится суммой по неприводимым унитарным представлениям и называется «спектральной стороной», а правая часть становится суммой по классам сопряженности и называется «геометрической стороной».${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$

Формула суммирования Пуассона является прототипом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

См. Также [ править ]

• Анализ Фурье # Резюме
• Формула обращения поста
• Формула Вороного
• Дискретное преобразование Фурье
• явные формулы для L-функций

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бенедетто, JJ; Циммерманн, Г. (1997), "Множители выборки и формула суммирования Пуассона" , J. Fourier Ana. Приложение. , 3 (5), заархивировано из оригинала 24 мая 2011 г. , получено 19 июня 2008 г..
• Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), "Новые верхние оценки сферических упаковок. I", Ann. математики. , 2, 157 (2): 689-714, Arxiv : математика / 0110009 , DOI : 10,4007 / annals.2003.157.689 , МР  1973059
• Кордова, А., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376.
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и приложения , Springer, стр. 344–352, ISBN. 0-387-98485-2.
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Хиггинс-младший (1985), «Пять рассказов о главном сериале» , Bull. Амер. Математика. Soc. , 12 (1): 45-89, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1985-15293-0.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту  0717035.
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (второе исправленное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
• Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и всплески. , Брукс Коул, ISBN 978-0-534-37660-4.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885-9.