Теорема свертки

В математике , то теорема свертки утверждает , что при подходящих условиях преобразования Фурье из свертки двух функций (или сигналов ) является точечно продукт их преобразований Фурье. В более общем смысле, свертка в одной области (например, во временной области ) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной области ). Другие версии теоремы о свертке применимы к различным преобразованиям Фурье .

Функции непрерывной переменной [ править ]

Рассмотрим две функции и с преобразованиями Фурье и : $f(x)$ $g(x)$ $F$ $G$

{\begin{aligned}F(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{f\}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \nu x}\,dx,\quad \nu \in \mathbb {R} \\G(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi \nu x}\,dx,\quad \nu \in \mathbb {R} \end{aligned}}

где обозначает оператор преобразования Фурье . Преобразование может быть нормализовано другими способами, и в этом случае постоянные коэффициенты масштабирования (обычно или ) появятся в теореме свертки ниже. Свертка и определяется : ${\mathcal {F}}$ $2\pi$ ${\sqrt {2\pi }}$ $f$ $g$

h(x)=\{f*g\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(x-\tau )g(\tau )\,d\tau .

В этом контексте звездочка обозначает свертку, а не стандартное умножение. Тензорное произведение символ иногда используется вместо этого. $\otimes$

Теорема о свертке утверждает, что : ^[1]^[a]

H(\nu )\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(\nu )=F(\nu )G(\nu ).\quad \nu \in \mathbb {R}

( Уравнение 1а )

Применение обратного преобразования Фурье дает следствие : ^[b] ${\mathcal {F}}^{-1}$

Теорема свертки

h(x)=\{f*g\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{F\cdot G\},\quad \scriptstyle {\text{where }}\displaystyle \cdot \scriptstyle {\text{ denotes point-wise multiplication}}

( Уравнение 1b )

Теорема также обычно применима к многомерным функциям.

Многомерный вывод уравнения 1

Рассмотрим функции в L ^p -пространстве с преобразованиями Фурье : $f,g$ $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $F,G$

{\begin{aligned}F(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{f\}(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx,\quad \nu \in \mathbb {R} ^{n}\\G(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx,\end{aligned}}

где обозначает скалярное произведение из : и $\nu \cdot x$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\nu \cdot x=\sum _{j=1}^{n}{\nu }_{j}x_{j},$ $dx=\prod _{j=1}^{n}dx_{j}.$

Свертка из и определяются : $f$ $g$

h(x)\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau )g(x-\tau )\,d\tau .

Также :

\iint |f(\tau )g(x-\tau )|\,dx\,d\tau =\int \left(|f(\tau )|\int |g(x-\tau )|\,dx\right)\,d\tau =\int |f(\tau )|\,\|g\|_{1}\,d\tau =\|f\|_{1}\|g\|_{1}.

Следовательно , по теореме Фубини имеет , что так ее преобразование Фурье определяются интегральной формулой : $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $H$

{\begin{aligned}H(\nu )\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(\nu )&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau )g(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx.\end{aligned}}

Обратите внимание, что и, следовательно, с помощью приведенного выше аргумента мы можем снова применить теорему Фубини (т.е. поменять порядок интегрирования) : $|f(\tau )g(x-\tau )e^{-i2\pi \nu \cdot x}|=|f(\tau )g(x-\tau )|$

{\begin{aligned}H(\nu )&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau )\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x-\tau )\ e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx\right)} _{G(\nu )\ e^{-i2\pi \nu \cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau )\ e^{-i2\pi \nu \cdot \tau }\,d\tau \right)} _{F(\nu )}\ G(\nu ).\end{aligned}}

Эта теорема справедлива и для преобразования Лапласа , то двустороннее преобразование Лапласа , и, когда соответствующим образом модифицирован, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см Меллина теоремы инверсии ). Его можно расширить до преобразования Фурье абстрактного гармонического анализа, определенного над локально компактными абелевыми группами .

Периодическая свертка (коэффициенты ряда Фурье) [ править ]

Рассмотрим -периодические функции и которые могут быть выражены в виде периодических сложений : $P$ $f_{_{P}}$ $g_{_{P}},$

f_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }f(x-mP)

и

g_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g(x-mP).

На практике ненулевая часть компонентов и часто ограничиваются продолжительностью, но ничего в теореме этого не требует. В ряды Фурье коэффициенты : $f$ $g$ $P,$

{\begin{aligned}F[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{f_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}f_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}

где обозначает интеграл ряда Фурье . Свертка : ${\mathcal {F}}$

{\begin{aligned}\{f_{_{P}}*g\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}

^[A]

также является -периодическим и называется периодической сверткой . Соответствующая теорема о свертке : $P$

{\mathcal {F}}\{f_{_{P}}*g\}[k]=\ P\cdot F[k]\ G[k].

( Уравнение 2 )

Вывод уравнения 2

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f_{_{P}}*g\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}f_{_{P}}(\tau )\cdot g_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}f_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}f_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{G[k],\quad {\text{due to periodicity}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ f_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot F[k]}\ G[k].\end{aligned}}

Функции дискретной переменной (последовательности) [ править ]

По выводу, аналогичному уравнению 1, существует аналогичная теорема для последовательностей, таких как выборки двух непрерывных функций, где теперь обозначает оператор преобразования Фурье в дискретном времени (DTFT). Рассмотрим две последовательности и с преобразованиями и : ${\mathcal {F}}$ $f[n]$ $g[n]$ $F$ $G$

{\begin{aligned}F(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{f\}(\nu )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[n]\cdot e^{-i2\pi \nu n}\;,\quad \nu \in \mathbb {R} \\G(\nu )&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(\nu )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi \nu n}\;.\quad \nu \in \mathbb {R} \end{aligned}}

§ дискретная свертка из и определяется : $f$ $g$

h[n]\triangleq (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\cdot g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\cdot g[m].

Теорема свертки для дискретных последовательностей : ^[2]^[c]

H(\nu )={\mathcal {F}}\{f*g\}(\nu )=\ F(\nu )G(\nu ).

( Уравнение 3 )

Периодическая свертка [ править ]

Рассмотрим -периодические последовательности и : $N$ $f_{_{N}}$ $g_{_{N}}$

f_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-mN]

и

g_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .

На практике ненулевая часть компонентов и часто ограничиваются продолжительностью, но ничего в теореме этого не требует. Дискретная свертка : $f$ $g$ $N,$

\{f_{_{N}}*g\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{_{N}}[m]\cdot g[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}f_{_{N}}[m]\cdot g_{_{N}}[n-m]

также является -периодическим и называется периодической сверткой . В этом случае оператор может быть переопределен как гораздо более простое дискретное преобразование Фурье (ДПФ). И соответствующая теорема : ^[3]^[d] $N$ ${\mathcal {F}}$ $N$

{\mathcal {F}}\{f_{_{N}}*g\}[k]=\ {\mathcal {F}}\{f_{_{N}}\}[k]\cdot {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k],\quad k\in \mathbb {Z} .

( Ур. 4а )

И поэтому :

\{f_{_{N}}*g\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{f_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}\}.

( Ур. 4b )

Для получения и последовательностей, ненулевой длительностью меньше или равно $N$ , окончательное упрощение : $f$ $g$

Круговая свертка

\{f_{_{N}}*g\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}\}.

( Уравнение 4c )

Эта форма особенно полезна для реализации числовой свертки на компьютере . (см. § Алгоритмы быстрой свертки ) При определенных условиях подпоследовательность эквивалентна линейной (апериодической) свертке и, что обычно является желаемым результатом. (см. § Пример ) $f_{_{N}}*g$ $f$ $g,$

Вывод уравнения 4

Вывод во временной области происходит следующим образом :

{\begin{aligned}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}*g\}[k]&\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{N-1}f_{_{N}}[m]\cdot g_{_{N}}[n-m]\right)e^{-i2\pi kn/N}\\&=\sum _{m=0}^{N-1}f_{_{N}}[m]\left(\sum _{n=0}^{N-1}g_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}f_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}g_{_{N}}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle {\text{due to periodicity}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}f_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\right)} _{\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]}\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}

Вывод в частотной области следует из § Периодические данные , которые указывают, что DTFT могут быть записаны как :

{\mathcal {F}}\{f_{_{N}}*g\}(\nu )={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}*g\}[k]\right)\cdot \delta \left(\nu -k/N\right).\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5a)}}

{\mathcal {F}}\{f_{_{N}}\}(\nu )={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(\nu -k/N\right).

Таким образом, произведение с сводится к дискретно-частотной функции : $G(\nu )$

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{f_{_{N}}*g\}(\nu )&=F_{_{N}}(\nu )G(\nu )\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\right)\cdot G(\nu )\cdot \delta \left(\nu -k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\right)\cdot G(k/N)\cdot \delta \left(\nu -k/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(\nu -k/N\right),\quad \scriptstyle {\mathsf {(Eq.5b)}}\end{aligned}}

где эквивалентность и следует из § Выборка ДВПФ . Следовательно, эквивалентность (5a) и (5b) требует: $G(k/N)$ $\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right)$

\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle {\{f_{_{N}}*g\}[k]}=\left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \left(\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\right).

Мы также можем вычислить обратное ДВПФ для (5b) :

{\begin{aligned}(f_{_{N}}*g)[n]&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(\nu -k/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi \nu n}d\nu \\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(\nu -k/N\right)\cdot e^{i2\pi \nu n}d\nu \right)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}[k]\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}[k]{\bigg )}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}\\&=\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle {\bigg (}\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{f_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{g_{_{N}}\}{\bigg )}.\end{aligned}}

Теорема о свертке для обратного преобразования Фурье [ править ]

Также существует теорема свертки для обратного преобразования Фурье :

{\mathcal {F}}^{-1}\{f*g\}={\mathcal {F}}^{-1}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}^{-1}\{g\}

{\mathcal {F}}^{-1}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}^{-1}\{f\}*{\mathcal {F}}^{-1}\{g\}

так что

f*g={\mathcal {F}}\left\{{\mathcal {F}}^{-1}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}^{-1}\{g\}\right\}

f\cdot g={\mathcal {F}}\left\{{\mathcal {F}}^{-1}\{f\}*{\mathcal {F}}^{-1}\{g\}\right\}

Теорема свертки для умеренных распределений [ править ]

Теорема о свертке распространяется на умеренные распределения . Здесь - произвольное умеренное распределение (например, гребешок Дирака ) $g$

{\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}

{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot g\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{g\}

но должен «быстро уменьшаться» в сторону и для того, чтобы гарантировать существование как свертки, так и произведения умножения. Точно так же, если это гладкая "медленно растущая" обычная функция, она гарантирует существование как произведения умножения, так и произведения свертки. . ^[4]^[5]^[6] $f=F\{\alpha \}$ $-\infty$ $+\infty$ $\alpha =F^{-1}\{f\}$

В частности, каждое умеренное распределение с компактным носителем, такое как дельта Дирака , «быстро убывает». Эквивалентно, ограниченные по полосе функции , такие как функция, которая постоянно является гладкой "медленно растущей" обычной функцией. Если, например, это гребенка Дирака, оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона, а если, кроме того, - дельта Дирака, то она постоянно равна единице, и эти уравнения дают тождество гребенки Дирака . $1$ $g\equiv \operatorname {III}$ $f\equiv \delta$ $\alpha \equiv 1$

См. Также [ править ]

Момент-Производящая функция из случайной величины

Заметки [ править ]

^ Доказательство:
${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ is an arbitrary parameter}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {f_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{f_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot g(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}f_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }g(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ g_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}$

Цитирование страниц [ править ]

^ Weisstein , уравнение (8).
^ Weisstein , уравнения (7) и (10).
^ Оппенгейм и Шафера , р 60 (2,169).
Перейти ↑ Oppenheim and Schafer , p 548.

Ссылки [ править ]

^ МакГиллем, Клэр Д .; Купер, Джордж Р. (1984). Непрерывный и дискретный сигнал и системный анализ (2-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.
^ Proakis, Джон G .; Манолакис, Дмитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Нью-Джерси: Prentice-Hall International, стр. 297, Bibcode : 1996dspp.book ..... P , ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
^ Рабинер, Лоуренс Р .; Золото, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010.
^ Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company.
Перейти ↑ Barros-Neto, José (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.
^ Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.

Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о свертке" . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 8 февраля 2021 года .
Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретно-временная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. Также доступно на https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

Дальнейшее чтение [ править ]

Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Dover, ISBN 0-486-63331-4
Ли, Бинг; Бабу, Дж. Джогеш (2019), «Теорема свертки и асимптотическая эффективность», Курс для выпускников по статистическому выводу , Нью-Йорк: Springer, стр. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
Кратчфилд, Стив (9 октября 2010 г.), «The Joy of Convolution» , Университет Джона Хопкинса , получено 19 ноября 2010 г.

Дополнительные ресурсы [ править ]

Для визуального представления использования теоремы свертки в обработке сигналов см .:

Университет Джонса Хопкинса «s Java -aided моделирования: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

[4] Доказательство:
${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}f_{_{P}}(x-\tau )\cdot g(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ is an arbitrary parameter}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {f_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{f_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ by periodicity}}}\cdot g(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{substituting }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}f_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }g(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ g_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}$

[2] Weisstein , уравнение (8).

[3] Weisstein , уравнения (7) и (10).

[6] Оппенгейм и Шафера , р 60 (2,169).

[8] Перейти ↑ Oppenheim and Schafer , p 548.

[McGillem-1] МакГиллем, Клэр Д .; Купер, Джордж Р. (1984). Непрерывный и дискретный сигнал и системный анализ (2-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 118 (3-102). ISBN 0-03-061703-0.

[Proakis-5] Proakis, Джон G .; Манолакис, Дмитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Нью-Джерси: Prentice-Hall International, стр. 297, Bibcode : 1996dspp.book ..... P , ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

[Rabiner-7] Рабинер, Лоуренс Р .; Золото, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 59 (2,163). ISBN 978-0139141010.

[9] Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company.

[10] Перейти ↑ Barros-Neto, José (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.

[11] Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.

[1]