Пространство Шварца

В математике , пространство Шварца${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ это функциональное пространство всех функций , чьи производные быстро уменьшается. Это пространство обладает тем важным свойством, что преобразование Фурье является автоморфизмом на этом пространстве. Это свойство позволяет, двойственность, чтобы определить преобразование Фурье для элементов в сопряженном пространстве с , то есть, для закаленных распределений . Функцию в пространстве Шварца иногда называют функцией Шварца .${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Двумерная функция Гаусса является примером быстро убывающей функции.

Пространство Шварца названо в честь французского математика Лорана Шварца .

Определение [ править ]

Мотивация [ править ]

Идея пространства Шварца состоит в том, чтобы рассмотреть набор всех гладких функций, на которых быстро убывают. Это кодируется путем рассмотрения всех возможных производных (с мультииндексом ) на гладкой комплекснозначной функции и супремума всех возможных значений, умноженных на любой моном и ограничивающего их. Это ограничение кодируется как неравенство${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f = \ partial _ {x_ {1}} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial _ {x_ {n}} ^ {\ alpha _ {n}} f }$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f}$ ${\ displaystyle x ^ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} | x ^ {\ beta} D ^ {\ alpha} f | <\ infty}$

Обратите внимание, если мы только требовали, чтобы производные были ограничены, т. Е.

${\ Displaystyle \ sup _ {х \ in \ mathbb {R} ^ {n}} | D ^ {\ alpha} f | <\ infty}$

это означало бы, что все возможные производные гладкой функции должны быть ограничены некоторой константой , поэтому${\ displaystyle c _ {\ alpha}}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|D^{\alpha }f|=c_{\alpha }<\infty }$

Например, гладкая комплексная функция с дает , которая является неограниченной функцией, поэтому какой-либо многочлен не может находиться в этом пространстве. Но если мы потребуем дополнительно исходное неравенство, то этот результат будет еще сильнее, поскольку из него следует неравенство${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle D^{1}f(x)=2x}$

${\displaystyle D^{\alpha }f<{\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}}$для любых и некоторых постоянных${\displaystyle \beta }$${\displaystyle k_{\alpha ,\beta }}$

поскольку

${\displaystyle x^{\beta }\cdot D^{\alpha }f<x^{\beta }\cdot {\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}=k_{\alpha ,\beta }}$

Это показывает, что рост всех производных от должен быть намного меньше обратного любого одночлена.${\displaystyle f}$

Определение [ править ]

Позвольте быть набором неотрицательных целых чисел , и для любого , позвольте быть n- кратным декартовым произведением . Пространство Шварца или пространство быстро убывающих функций на - это функциональное пространство${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},}$

где - функциональное пространство гладких функций из в , а${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.}$

Здесь обозначает верхнюю грань , и мы используем многоиндексную нотацию .${\displaystyle \sup }$

Для того, чтобы поместить общий язык с этим определением, можно было бы рассматривать быстро убывающую функцию, по существу , функция ф ( х ) такая , что F ( х ), е  '( х ), е  "( х ), ... все есть везде на ℝ и стремятся к нулю при x → ± ∞ быстрее, чем любая обратная степень x . В частности, S ( ℝ ⁿ , ℂ ) является подпространством функционального пространства C ^∞ ( ℝ ⁿ , ℂ) Гладких функций из ℝ ^п во ℂ .

Примеры функций в пространстве Шварца [ править ]

• Если α - мультииндекс, а a - положительное действительное число , то

${\displaystyle x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

• Любая гладкая функция f с компактным носителем принадлежит S ( R ⁿ ). Это очевидно , так как любая производная F является непрерывной и поддерживается в поддержке F , так что ( х ^α D ^β ) F имеет максимум в R ^п по к теореме экстремальных значений .
• Поскольку пространство Шварца является векторным пространством, любой полином можно умножить на коэффициент для получения действительной константы, чтобы получить элемент пространства Шварца. В частности, существует вложение многочленов внутрь пространства Шварца.${\displaystyle \phi (x^{\alpha })}$${\displaystyle e^{-ax^{2}}}$${\displaystyle a>0}$

Свойства [ править ]

Аналитические свойства [ править ]

• Из правила Лейбница следует, что 𝒮 (ℝ ⁿ ) также замкнута относительно поточечного умножения :

Если f , g ∈ 𝒮 (ℝ ⁿ ), то произведение fg ∈ 𝒮 (ℝ ⁿ ) .

• Преобразование Фурье - это линейный изоморфизм F: 𝒮 (ℝ ⁿ ) → 𝒮 (ℝ ⁿ ) .

Если F ∈ 𝒮 (ℝ) тогда F является равномерно непрерывной на ℝ .

• 𝒮 (ℝ ⁿ ) - выделенная локально выпуклая ТВП Фреше- Шварца над комплексными числами .
• И 𝒮 (ℝ ⁿ ), и его сильное двойственное пространство также:

1. полные хаусдорфовы локально выпуклые пространства,
2. ядерный MONTEL пространство ,

   Известно , что в сопряженном пространстве любого монтелевскома пространства, последовательность сходится в сильной двойной топологии тогда и только тогда , когда она сходится в слабой * топологии , ^[1]

3. Ультраборнологические пространства ,
4. рефлексив Barreled Макки пространства .

Связь пространств Шварца с другими топологическими векторными пространствами [ править ]

• Если 1 ≤ p ≤ ∞ , то 𝒮 (ℝ ⁿ ) ⊂ L p (ℝ n ) .
• Если 1 ≤ р <∞ , то 𝒮 (ℝ ^п ) является плотным в L ^р (ℝ ^п ) .
• Пространство всех выпуклых функций , C^∞
  _c(ℝ ⁿ ) , входит в 𝒮 (ℝ ⁿ ) .

См. Также [ править ]

• Функция удара
• Функция Шварца – Брюа
• Ядерное пространство

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Хёрмандер, Л. (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I, (теория распределений и анализ Фурье) (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
• Рид, М .; Саймон Б. (1980). Методы современной математической физики: Функциональный анализ I. (Перераб. И доп. Ред.). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
• Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2003). Анализ Фурье: Введение (Принстонские лекции по анализу I) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-11384-X.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Эта статья включает в себя материал из Space о быстро сокращающихся функциях PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .