Распределения , также известные как распределения Шварца или обобщенные функции , являются объектами, которые обобщают классическое понятие функций в математическом анализе . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению. Распределения широко используются в теории уравнений с частными производными , где может быть проще установить существование распределительных решений, чем классических решений, или подходящие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике иинженерия, где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решениями или начальными условиями которых являются распределения, такие как дельта- функция Дирака .
функция обычно считается действующим на точки в своем домене , "посылая" точку x в его домене в точку Вместо воздействия на точки теория распределения переосмысливает такие функции, как как действующие на тестовые функции определенным образом. Тестовые функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплекснозначные (или иногда вещественнозначные ) функции с компактной опорой ( ударные функции являются примерами тестовых функций). Многие «стандартные функции» (означающие, например, функцию, которая обычно встречается в курсе математического анализа ), например, непрерывная картамогут быть канонически интерпретированы как действующие на тестовые функции (вместо их обычной интерпретации как действующие на точки своей области) посредством действия, известного как « интегрирование против тестовой функции»; явно это означает, что"действует" на тестовую функцию g , "посылая" g на номер Это новое действие таким образом, является комплексным (или действительным) -значным отображением , обозначаемымчьей областью определения является пространство тестовых функций; у этой карты есть два дополнительных свойства [примечание 1], которые превращают ее в так называемое распределение наРаспределения, которые возникают из "стандартных функций" таким образом, являются прототипами распределений. Но есть много распределений, которые не возникают таким образом, и эти распределения известны как «обобщенные функции». Примеры включают дельта-функцию Дирака или некоторые распределения, которые возникают в результате действия «интегрирования тестовых функций против мер ». Однако, используя различные методы, тем не менее, все еще возможно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые действительно возникают в результате таких действий интеграции.
В приложениях к физике и технике пространство тестовых функций обычно состоит из гладких функций с компактным носителем , которые определены на некотором заданном непустом открытом подмножестве. Это пространство пробных функций обозначается через или же а распределение на U по определению является линейным функционалом наэто непрерывно, когдадается топология под названием канонической топологии LF . Это приводит к в пространстве (все) распределений на U , обычно обозначается(обратите внимание на штрих ), который по определению является пространством всех распределений на(то есть это непрерывное двойственное пространство к); именно этим дистрибутивам посвящена основная тема данной статьи.
Есть и другие возможные варианты выбора пространства тестовых функций, которые приводят к другим другим пространствам распределений. Еслито использование функций Шварца [примечание 2] в качестве пробных функций дает начало некоторому подпространствуэлементы которого называются умеренными распределениями . Это важно, потому что они позволяют расширить преобразование Фурье от «стандартных функций» до умеренных распределений. Набор умеренных распределений образует векторное подпространство пространства распределенийи, таким образом, является одним из примеров пространства распределений; есть много других пространств дистрибутивов.
Также существуют другие основные классы тестовых функций, которые не являются подмножествамитакие как пространства аналитических тестовых функций , которые производят очень разные классы распределений. Теория таких распределений носит иной характер, чем предыдущая, поскольку не существует аналитических функций с непустым компактным носителем. [примечание 3] Использование аналитических тестовых функций привело к теории гиперфункций Сато .
История
Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но формализовалась лишь намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957) , обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева ( 1936 ) по гиперболическим уравнениям с частными производными второго порядка, а идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно его автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включая не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) комментирует, что, хотя идеи в преобразующей книге Шварца (1951) не были полностью новыми, именно широкая атака и убежденность Шварца в том, что распределения будут полезны почти повсюду в анализе, имели значение.
Обозначение
В этой статье будут использоваться следующие обозначения:
- фиксированное положительное целое число и это фиксированное непустое открытое подмножество в евклидовом пространстве
- обозначает натуральные числа .
- будет обозначать неотрицательное целое число или
- Если это функция, тогдабудет обозначать его домен и поддержку в обозначается определяется как замыкание множества в
- Для двух функций , следующие обозначения определяют каноническое спаривание :
- Многоиндексных размера это элемент в (учитывая, что фиксировано, если размер мультииндексов опущен, то предполагается, что размер ). Длина из мультииндекса определяется как и обозначается Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса : Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов следующим образом: если и только если для всех Когда мы определяем их многоиндексный биномиальный коэффициент как:
- будет обозначать некоторый непустой набор компактных подмножеств (подробно описано ниже).
Определения тестовых функций и распределений
В этом разделе мы формально определим вещественнозначные распределения на U . С небольшими изменениями можно также определять комплексные распределения, и можно заменитьс любым ( паракомпактным ) гладким многообразием .
Обозначение : Предположим
- Позволять обозначим векторное пространство всех к -кратного непрерывно дифференцируемые вещественные функции на U .
- Для любого компактного подмножества позволять а также оба обозначают векторное пространство всех этих функций такой, что
- Обратите внимание, что зависит как от K, так и от U, но мы будем указывать только K , где, в частности, если тогда область является U , а не K . Будем использовать обозначения только когда обозначение рискует быть двусмысленным.
- Ясно, что каждый содержит постоянную карту 0 , даже если
- Позволять обозначим множество всех такой, что для некоторого компактного подмножества K из U .
- Эквивалентно, это набор всех такой, что имеет компактную опору.
- равно объединению всех в виде колеблется над
- Если - вещественная функция на U , то является элементом если и только если это функция удара . Каждая действительная тестовая функция на всегда также является комплексной тестовой функцией на
Обратите внимание, что для всех и любых компактных подмножеств K и L в U имеем:
Определение : Элементы называются тестовыми функциями на U и называется пространство тестовой функции на U . Мы будем использовать оба а также для обозначения этого пространства.
Распределения на U определяются как непрерывные линейные функционалы накогда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Эту топологию, к сожалению, нелегко определить, но, тем не менее, все еще можно охарактеризовать распределения таким образом, чтобы не упоминать каноническую LF-топологию.
Предложение : если T - линейный функционал нато T является распределением тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:
- Для каждого компактного подмножества существуют константы а также такое, что для всех [1]
- Для каждого компактного подмножества существуют константы а также такое, что для всех при поддержке, содержащейся в [2]
- Для любого компактного подмножества и любая последовательность в если сходится равномерно к нулю на для всех мультииндексов , тогда
Приведенные выше характеристики могут использоваться для определения того, является ли линейный функционал распределением, но более продвинутое использование распределений и тестовых функций (например, приложения к дифференциальным уравнениям ) ограничено, если на них не размещены топологии. а также Чтобы определить пространство распределений, мы должны сначала определить каноническую LF-топологию, которая, в свою очередь, требует, чтобы сначала были определены несколько других локально выпуклых топологических векторных пространств (TVS). Во-первых, ( ненормируемая ) топология на будет определено, то каждый будет наделен топологией подпространства, индуцированной на неми, наконец, ( неметризуемая ) каноническая LF-топология набудет определено. Пространство распределений, определяются как непрерывное сопряженное пространство изтогда наделяется (неметризуемой) сильной дуальной топологией, индуцированнойи каноническая LF-топология (эта топология является обобщением обычной индуцированной операторной нормой топологии, помещенной на непрерывные сопряженные пространства нормированных пространств ). Это, наконец, позволяет рассматривать более сложные понятия, такие как сходимость распределений (как последовательностей, так и сетей), различные (подпространства) пространств распределений и операции с распределениями, включая расширение дифференциальных уравнений на распределения.
- Выбор компактов
Через, будет любой набор компактных подмножеств такой, что (1) и (2) для любого компакта есть некоторые такой, что Наиболее распространенный выбор для находятся:
- Множество всех компактных подмножеств или же
- Множество где и для всех я , а также является относительно компактным непустое открытое подмножество(здесь, «относительно компактные» означает , что закрытие влибо в U, либо в компактно).
Мы делаем в направленное множество , определяя если и только если Обратите внимание, что, хотя определения определяемых впоследствии топологий явно ссылаются на в действительности они не зависят от выбора то есть, если а также - любые два таких набора компактных подмножеств то топологии, определенные на а также используя на месте такие же, как те, которые определены с помощью на месте
Топология на C k (U)
Теперь введем полунормы, которые будут определять топологию наРазные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому мы перечислим наиболее распространенные семейства ниже. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется.
Предполагать а также - произвольное компактное подмножество Предполагать целое число такое, что [примечание 4] и это мультииндекс с длиной Для определять:в то время как для мы определяем все вышеупомянутые функции как постоянное отображение 0 .
Каждая из вышеперечисленных функций неотрицательна -значные [примечание 5] полунорм на
Каждое из следующих семейств полунорм порождает одну и ту же локально выпуклую векторную топологию на:
Предположение : в дальнейшем мы будем предполагать, что наделен локально выпуклой топологией, определяемой любым (или, что эквивалентно, всеми) семействами полунорм, описанных выше.
В этой топологии становится локально выпуклыми ( нон -normable ) пространство Фреше и все полунормов определенных выше непрерывны на этом пространстве. Все определенные выше полунормы являются непрерывными функциями наВ этой топологии сеть в сходится к тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса с участием и каждый чистая часть частных производных финансовых инструментов равномерно сходится к на [3] Для любоголюбой (фон Нейман) ограниченное подмножество изявляется относительно компактным подмножеством[4] В частности, подмножество ограничен тогда и только тогда, когда он ограничен в для всех [4] Пространствоявляется пространством Монтеля тогда и только тогда, когда[5]
Топология на является верхним пределом топологий подпространств, индуцированных на ТВС поскольку я пробегает неотрицательные целые числа. [3] Подмножество из открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда существует такой, что открыт когда наделено топологией подпространств, индуцированной на нем
- Метрика, определяющая топологию
Если семейство компактов удовлетворяет а также для всех тогда полная трансляционно-инвариантная метрика на можно получить, взяв подходящую счетную комбинацию Фреше любого из перечисленных выше семейств. Например, с помощью полунорм приводит к метрике
Часто проще рассматривать просто полунорм.
Топология на C k ( K )
Как и раньше, исправить Напомним, что если любое компактное подмножество тогда
Предположение : для любого компактного подмножества в дальнейшем будем предполагать, что наделен топологией подпространств, унаследованной от пространства Фреше
Для любого компактного подмножества замкнутое подпространство пространства Фреше и, таким образом, также является пространством Фреше . Для всех компактных удовлетворение обозначим отображение включения черезТогда это отображение является линейным вложением TVS (то есть это линейное отображение, которое также является топологическим вложением ), образ (или «диапазон») которых замкнут в своей области ; иначе говоря, топология на идентична топологии подпространства, от которой наследуется а также является замкнутым подмножеством Интерьер из относительно пустой. [6]
Если конечно, то является банаховым пространством [7] с топологией, определяемой нормой
И когда тогда является даже гильбертовым пространством . [7] Пространствоявляется выделенным пространством Шварца- Монтеля, поэтому, еслито это не нормируемая и , следовательно , не банахово пространство (хотя , как и все остальныеэто пространство Фреше ).
Тривиальные расширения и независимость топологии C k ( K ) от U
Определение зависит от U, поэтому мы позволим обозначим топологическое пространство которое по определению является топологическим подпространством в Предполагать открытое подмножество содержащий Дано его тривиальное продолжение на V по определению является функцией определяется:
чтобы Позволять обозначают карту, которая отправляет функцию в к его тривиальному расширению на V . Это отображение является линейной инъекцией и для каждого компактного подмножества у нас есть где векторное подпространство состоящий из карт с поддержкой, содержащейся в (поскольку также является компактным подмножеством ). Следует, чтоЕсли я ограниченто следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (и, следовательно, TVS-изоморфизмом):
и, таким образом, следующие две карты (которые, как и предыдущая, определяются как ) являются топологическими вложениями :
(топология на - каноническая топология LF, которая будет определена позже). С использованием мы идентифицируем с его изображением в Так как через это отождествление, также можно рассматривать как подмножество Важно отметить, что топология подпространства наследуется от (когда он рассматривается как подмножество ) идентична топологии подпространства, которую она наследует от (когда вместо этого рассматривается как подмножество через идентификацию). Таким образом, топология нане зависит от открытого подмножества U вкоторый содержит K . [6] Это оправдывает практику письменного вместо
Каноническая LF топология
Напомним, что обозначим все эти функции в которые имеют компактную опору в где отметить, что это союз всех поскольку K переходитКроме того, для каждого к , плотное подмножество Частный случай, когда дает нам пространство тестовых функций.
называется пространством тестовых функций на и его также можно обозначить как
В этом разделе каноническая топология LF определяется как прямой предел . Также возможно определить эту топологию в терминах ее окрестностей начала координат, что будет описано позже.
- Топология определяется прямыми ограничениями
Для любых двух множеств K и L мы заявляем, что если и только если что, в частности, делает коллекцию компактных подмножеств U в направленное множество (мы говорим, что такой набор направлен включением подмножеств ). Для всех компактных удовлетворение есть карты включения
Напомним, что карта является топологическим вложением . Коллекция карт
образует прямую систему в категории из локально выпуклых топологических векторных пространств , что направленная на(при включении подмножества). Прямым пределом этой системы (в категории локально выпуклых ТВП) является пара где природные включения и где теперь наделен (уникальной) сильнейшей локально выпуклой топологией, делающей все отображения включения непрерывный.
Каноническая топология LF наявляется тончайшей локально выпуклой топологией на создание всех карт включения непрерывный (где K пробегает ).
Предположение : как это принято в математической литературе, в этой статье впредь предполагается, что наделен своей канонической LF-топологией (если явно не указано иное).
- Топология, определяемая окрестностями начала координат
Если U - выпуклое подмножеството U является окрестностью начала координат в канонической ЛФ топологии тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию:
- Для всех является окрестностью начала координат в
( CN )
Заметим, что любое выпуклое множество, удовлетворяющее этому условию, обязательно поглощает вПоскольку топология любого топологического векторного пространства трансляционно-инвариантна, любая TVS-топология полностью определяется множеством окрестностей начала координат. Это означает, что можно фактически определить каноническую топологию LF, объявив, что выпуклое сбалансированное подмножество U является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию CN .
- Топология, определяемая с помощью дифференциальных операторов
Линейный дифференциальный оператор в U с гладкими коэффициентами является суммой
где и почти все, кроме конечного множества тождественно 0 . Целое числоназывается порядком дифференциального оператора Если является линейным дифференциальным оператором порядка k, то он индуцирует каноническое линейное отображение определяется где мы будем использовать обозначения повторно, а также обозначим это отображение через [8]
Для любой каноническая LF топология на является самой слабой локально выпуклой топологией TVS, делающей все линейные дифференциальные операторы в U порядка в непрерывные карты из в [8]
Свойства канонической LF топологии
- Независимость канонической LF топологии от
Одно из преимуществ определения канонической LF-топологии как прямого предела прямой системы состоит в том, что мы можем сразу использовать универсальное свойство прямых пределов. Еще одно преимущество состоит в том, что мы можем использовать хорошо известные результаты теории категорий, чтобы сделать вывод, что каноническая топология LF фактически не зависит от конкретного выбора направленного набора.компактов. И рассматривая разные коллекции (в частности, те упомянутые в начале статьи), мы можем вывести различные свойства этой топологии. В частности, мы можем вывести, что каноническая топология LF делаетв хаусдорфово локально выпуклое строгое LF-пространство (а также строгое LB-пространство, если), что, конечно, является причиной того, что эта топология называется «канонической топологией LF» (см. эту сноску для более подробной информации). [примечание 6]
- Универсальная собственность
Из универсального свойства прямых пределов мы знаем, что еслиесть линейное отображение в локально выпуклое пространство Y (не обязательно хаусдорфово), то у непрерывно тогда и только тогда , когда у будет ограничена , если и только если для каждогоограничение u нанепрерывно (или ограничено). [9] [10]
- Зависимость канонической топологии СФ от U
Предположим, что V - открытое подмножество содержащий Позволять обозначают карту, которая отправляет функцию в к его тривиальному продолжению на V (которое было определено выше). Эта карта представляет собой непрерывную линейную карту. [11] Если (и только если) тогда это не плотное подмножество а также это не топологическое вложение . [11] Следовательно, если затем транспонирование не является ни один-к-одному, ни на. [11]
- Ограниченные подмножества
Подмножество B изявляется ограниченным в тогда и только тогда, когда существует какой-то такой, что и B - ограниченное подмножество[10] Более того, если компактный и то S ограничена в тогда и только тогда, когда он ограничен в Для любой любое ограниченное подмножество (соотв. ) является относительно компактным подмножеством (соотв. ), где [10]
- Неметризуемость
Для всех компактных интерьер в пусто, так что сам по себе относится к первой категории. Из теоремы Бэра следует, чтоне является метризуемым и, следовательно, также не нормируемым (см. эту сноску [примечание 7] для объяснения того, как неметризуемое пространствоможет быть полным, даже если он не допускает метрики). Дело в том, чтоявляется ядерным монтелевским восполняет не-метризуемость(см. эту сноску для более подробного объяснения). [примечание 8]
- Отношения между пространствами
Используя универсальное свойство прямых пределов и тот факт, что природные включенияявляются топологическими вложениями , можно показать, что все отображениятакже являются топологическими вложениями. Иначе говоря, топология наидентична топологии подпространства, которая наследуется от где напомнить, что топология была определена как топология подпространства, индуцированная на нем В частности, оба а также индуцирует ту же топологию подпространств на Однако это не означает, что каноническая топология LF на равна топологии подпространств, индуцированной на от ; эти две топологии нана самом деле никогда не равны друг другу, поскольку каноническая топология LF никогда не является метризуемой, а топология подпространства, индуцированная на ней метризуемо (так как напомним, что метризуемо). Каноническая LF топология нана самом деле строго тоньше, чем топология подпространства, которую он наследует от (таким образом, естественное включение непрерывно , но не топологическое вложение ). [7]
Действительно, каноническая топология LF настолько хороша, что если обозначает некоторую линейную карту, которая является «естественным включением» (например, или же или другие карты, обсуждаемые ниже), то эта карта обычно будет непрерывной, что, как показано ниже, в конечном итоге является причиной того, что локально интегрируемые функции, меры Радона и т. д. все индуцируют распределения (посредством транспонирования такого «естественного включения»). Иными словами, причина, по которой существует так много разных способов определения распределений из других пространств, в конечном итоге проистекает из того, насколько прекрасна каноническая LF-топология. Более того, поскольку распределения являются просто непрерывными линейными функционалами на тонкий характер канонической топологии LF означает, что больше линейных функционалов на в конечном итоге быть непрерывным ("больше" означает по сравнению с более грубой топологией, которую мы могли бы разместить на такие как, например, топология подпространства, индуцированная некоторыми что, хотя это сделало бы метризуемый, это также привело бы к меньшему количеству линейных функционалов на быть непрерывным и, следовательно, было бы меньше распределений; кроме того, эта конкретная более грубая топология также имеет недостаток, заключающийся в том, чтов полную ТВС [12] ).
- Прочие свойства
- Карта дифференциации - сюръективный непрерывный линейный оператор. [13]
- Карта билинейной умножения дано не является непрерывным; однако это лицемерно . [14]
Распределения
Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы наизвестны как распределения на U . Таким образом, множество всех распределений на U является непрерывным двойственным пространством ккоторый в сочетании с сильной дуальной топологией обозначается через
По определению распределение на U определяется как непрерывный линейный функционал на Иначе говоря, распределение на U представляет собой элемент из непрерывного сопряженного пространства из когда наделен своей канонической LF-топологией.
Имеется каноническая двойственность между распределением T на U и пробной функциейкоторый обозначается угловыми скобками как
Это обозначение интерпретируется как распределение T, действующее на пробную функцию дать скаляр или симметрично в качестве тестовой функции действующего на распределение Т .
- Характеристики распределений
Предложение. Если T - линейный функционал на то следующие эквиваленты:
- Т - распределение;
- Определение : Т является непрерывным ;
- Т является непрерывным в начале координат;
- Т является равномерно непрерывен ;
- T - ограниченный оператор ;
- Т является последовательно непрерывен ;
- явно для каждой последовательности в что сходится в некоторым [примечание 9]
- Т является последовательно непрерывна в начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности [примечание 10] в нулевые последовательности;
- явно для каждой последовательности в что сходится в в начало координат (такая последовательность называется нулевой последовательностью ),
- последовательность нуля является последовательностью определения , что сходится к происхождению;
- T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
- явно для каждой последовательности в что сходится в в начало координат, последовательность ограничен;
- T отображает нулевые последовательности сходимости Макки [примечание 11] в ограниченные подмножества;
- явно для каждой сходящейся нулевой последовательности Макки в последовательность ограничен;
- последовательность называется сходящейся по Макки к 0, если существует расходящаяся последовательность положительного действительного числа такое, что последовательность ограничен; каждая последовательность, сходящаяся по Макки к 0, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле);
- Ядро T - замкнутое подпространство в
- График T замкнут;
- Там существует непрерывная полунорма г на такой, что
- Существует постоянная набор непрерывных полунорм, который определяет каноническую LF топологию и конечное подмножество такой, что [примечание 12]
- Для каждого компактного подмножества существуют константы а также такое, что для всех [1]
- Для каждого компактного подмножества существуют константы а также такое, что для всех при поддержке, содержащейся в [15]
- Для любого компактного подмножества и любая последовательность в если сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов p , то
- Любое из трех утверждений непосредственно выше (т. Е. Утверждения 14, 15 и 16), но с дополнительным требованием, чтобы компакт K принадлежал
Топология на пространстве распределений
Определение и обозначение : пространство распределений на U , обозначим через является непрерывным сопряженным пространством из наделенная топологией равномерной сходимости на ограниченные подмножества из [7] Более кратко, пространство распределений на U есть
Топология равномерной сходимости на ограниченных множествах также называется сильной двойной топологией . [примечание 13] Эта топология выбрана потому, что именно с этой топологиейстановится ядерным пространством Монтеля, и именно с этой топологией выполняется теорема Шварца о ядрах . [16] Независимо от того, в какой двойной топологии используется[Примечание 14] последовательность распределения сходятся в этой топологии тогда и только тогдакогда она сходится точечно (хотя это не обязательно быть правдой в сети ). Независимо от того, какая топология выбрана,будет не- метризуемый , локально выпуклое топологическое векторное пространство . Космосявляется разъемные [17] и имеет сильный Пыткеев свойство [18] , но она не является ни к-пространстве [18] , ни последовательное пространство , [17] , который , в частности , означает , что она не метризуемый , а также , что его топология может не быть определяется с использованием только последовательностей.
Топологические свойства
- Категории топологического векторного пространства
Каноническая топология LF делает в полное выделенное строгое LF-пространство (и строгое LB-пространство тогда и только тогда, когда[19] ), откуда следует, чтоявляется скудным подмножеством самого себя. [20] Кроме того,а также его сильное сопряженное пространство , является полным Хаусдорфом локально выпуклой двуствольным борнологическим пространство Макки . Сильное сопряженное изявляется пространством Фреше тогда и только тогда, когда так, в частности, сильное двойственное что это пространство распределений на U , не является метризуемым (заметим, что слабая топология натакже не является метризуемым и, кроме того, лишен почти всех хороших свойств, которые дает сильная дуальная топология.).
Три пространства и пространство Шварца а также сильные двойники каждого из этих трех пространств являются полными ядерными [21] борнологическими пространствами Монтеля [22] , что означает, что все шесть из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными [23] рефлексивными бочкообразными пространствами Макки . Пространства а также оба являются выделенными пространствами Фреше . Более того, как а также являются ТВП Шварца .
Сходящиеся последовательности
- Сходящиеся последовательности и их недостаточность для описания топологий
Сильные двойственные пространства а также являются секвенциальными пространствами, но не пространствами Фреше-Урысона . [17] Более того, ни пространство пробных функций ни его сильный дуал является секвенциальным пространством (даже не пространством Асколи ) [17] [24], что, в частности, означает, что их топологии не могут быть полностью определены в терминах сходящихся последовательностей.
Последовательность в сходится в тогда и только тогда, когда существует какой-то такой, что содержит эту последовательность, и эта последовательность сходится в ; эквивалентно, он сходится тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия: [25]
- Есть компактный набор содержащий опоры всех
- Для каждого мультииндекса последовательность частных производных равномерно стремится к
Ни пространство ни его сильный дуал является секвенциальным пространством , [17] [24] и, следовательно, их топологии не могут быть полностью определены в терминах сходящихся последовательностей. По этой причине, выше характеристика Когда последовательность сходится это не достаточно , чтобы определить каноническую топологию LF на То же можно сказать о сильной дуальной топологии на
- Какие последовательности характеризуют
Тем не менее, как мы сейчас обсудим, последовательности действительно характеризуют многие важные свойства. Известно , что в сопряженном пространстве любого монтелевском пространства, последовательность сходится в сильной двойной топологии тогда и только тогда , когда она сходится в слабой * топологии , [26] , которая , в частности, является причиной того, почему последовательность распределений сходится ( в сильной дуальной топологии) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для фактического определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но не распространяется на сходимость сетей распределений поскольку сеть может поточечно сходиться, но не может сойтись в сильной двойственной топологии).
Последовательности характеризуют непрерывность линейных отображений со значениями в локально выпуклом пространстве. Предположим, что X - локально выпуклое борнологическое пространство (например, любое из шести упомянутых ранее TVS). Тогда линейное отображениев локально выпуклое пространство Y непрерывно тогда и только тогда , когда он отображает нулевые последовательности [Примечание 10] в X в ограниченных подмножеств в Y . [примечание 15] В общем, такая линейная картанепрерывно тогда и только тогда, когда оно отображает сходящиеся нулевые последовательности Макки [примечание 11] в ограниченные подмножества Так, в частности, если линейная карта в локально выпуклое пространство последовательно непрерывна в нуле, то она непрерывна. [27] Однако это не обязательно распространяется на нелинейные отображения и / или отображения со значениями в топологических пространствах, которые не являются локально выпуклыми TVS.
Для каждого это последовательно плотно в[28] Кроме того, является секвенциально плотным подмножеством (с его сильной двойственной топологией) [29], а также секвенциально плотное подмножество сильного двойственного пространства[29]
- Последовательности раздач
Последовательность раздач сходится относительно слабой * топологии на распределению T тогда и только тогда, когда
для каждой тестовой функции Например, если это функция
а также распределение, соответствующее тогда
в виде так δ в Таким образом, для больших функция можно рассматривать как приближение дельта-распределения Дирака.
- Прочие свойства
- Сильное двойственное пространство изоморфна TVS через канонический TVS-изоморфизм определяется путем отправки к стоимости на (то есть к линейному функционалу на определяется путем отправки к );
- На любом ограниченном подмножестве топологии слабого и сильного подпространств совпадают; то же самое верно для;
- Каждая слабо сходящаяся последовательность в сильно сходится (хотя и не распространяется на сети ).
Локализация дистрибутивов
Невозможно определить ценность распределения в на определенной точке U . Однако, как и в случае с функциями, распределения на U ограничение дать распределения на открытых подмножеств U . Кроме того, распределения определяются локально в том смысле, что распределение на всем U может быть собрано из распределения на открытой обложке U, удовлетворяющем некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая конструкция называется связкой .
Ограничения на открытое подмножество
Пусть U и V - открытые подмножества с участием . Позволятьоператор , который простирается от нуля заданной гладкая функции с компактным носителем в V к гладкой функции с компактным носителем в широком множестве U . Транспонирования из называется отображением ограничения и обозначается
Карта является непрерывным впрыском, где, если то это не топологическое вложение и его образ не плотен в откуда следует, что транспонирование этого отображения не является ни инъективным, ни сюръективным и что топология, переводы из на его образ строго тоньше, чем топология подпространства, индуцирует на этом же множестве. [11] Распределениеназывается расширяемым до U, если он принадлежит диапазону транспонированияи он называется расширяемым, если он расширяется до[11]
Для любой раздачи ограничение ρ VU ( T ) является распределением в определяется:
Если U = V , ограничение на V не является ни инъективным, ни сюръективным . Отсутствие сюрьективности следует , так как распределение может дуть по направлению к границе V . Например, если а также тогда распределение
в но не допускает расширения
Склейка и исчезающие распределения в наборе
Теорема [30] - Пусть быть набором открытых подмножеств Для каждого позволять и предположим, что для всех ограничение к равно ограничению к (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами ). Тогда существует единственный такое, что для всех ограничение T на равно
Пусть V открытое подмножество U .Говорят , исчезают в V , если для всех такой, что у нас есть T обращается в нуль в V тогда и только тогда, когда ограничение T на V равно 0, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре отображения ограничения ρ VU .
- Следствие. [30] Пусть быть набором открытых подмножеств и разреши T = 0 тогда и только тогда, когда для каждого ограничение T на равно 0.
- Следствие. [30] Объединение всех открытых подмножеств U, в которых распределение T равно нулю, является открытым подмножеством U, в котором T обращается в нуль.
Поддержка раздачи
Из этого последнего следствия следует, что для любого распределения T на U существует единственное наибольшее подмножество V в U такое, что T обращается в нуль в V (и не обращается в нуль ни в каком открытом подмножестве U , не содержащемся в V ); дополнение в U этого уникального по величине открытого подмножества называется в поддержке от Т . [30] Таким образом
Если является локально интегрируемой функцией на U и если является его ассоциированным распределением, то поддержка - наименьшее замкнутое подмножество U, в дополнении которогоявляется почти всюду равна 0. [30] If непрерывна, то носитель равно замыканию множества точек в U, в которыхне пропадает. [30] Носитель распределения, связанного с мерой Дирака в точке это набор [30] Если поддержка тестовой функциине пересекает носитель распределения T, то Tf = 0 . Распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Еслитождественно 1 на некотором открытом множестве , содержащем носитель распределения Т , то фт = Т . Если носитель распределения T компактный, то он имеет конечный порядок и, кроме того, существуют константа C и неотрицательное целое число N такие, что: [6]
Если T имеет компактный носитель, то он имеет единственное продолжение до непрерывного линейного функционала на ; этот функционал можно определить как где любая функция , которая тождественно 1 на открытом множестве , содержащем носитель T . [6]
Если а также тогда а также Таким образом, дистрибутивы с поддержкой в данном подмножестве образуют векторное подпространство ; такое подпространство слабо замкнуто втогда и только тогда , когда замкнуто в U . [31] Кроме того, еслиявляется дифференциальным оператором в U , то для всех распределений T на U и всех у нас есть а также [31]
Распределения с компактной опорой
- Опора в точечном множестве и меры Дирака
Для любой позволять обозначим распределение, индуцированное мерой Дирака в точке x . Для любой и распространение носитель T содержится втогда и только тогда, когда T - конечная линейная комбинация производных меры Дирака в точке[32] Если дополнительно порядок T равен тогда существуют константы такое, что: [33]
Иными словами, если у T есть поддержка в одной точкето Т является фактически конечной линейной комбинацией распределительных производных б функции в точке P . То есть существует целое число m и комплексные константы a α такие, что
где оператор перевода.
- Распространение с компактной опорой
Теорема [6] - Пусть T является распределение на U с компактным носителем K . Существует непрерывная функцияопределенный на U и мультииндекс p такой, что
где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функцийна U ,
- Распределения конечного порядка с поддержкой в открытом подмножестве
Теорема [6] - Пусть Т является распределением на U с компактным носителем K , и пусть V открытое подмножество U , содержащего K . Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, в качестве N возьмем порядок T и определим Существует семейство непрерывных функций определенный на U с носителем в V такой, что
где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функцийна U ,
Глобальная структура рассылок
Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно топологическое двойственное (или пространство Шварца для умеренных дистрибутивов). Из определения не сразу ясно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно из пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение является локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, верна для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, никакое собственное подмножество пространства распределений не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что распределения не являются особенно экзотическими объектами; они настолько сложны, насколько это необходимо.
- Распределения в виде связок
Теорема [34] - Пусть Т распределение на U . Существует последовательность в такое, что каждый T i имеет компактный носитель и каждое компактное подмножествопересекает носитель только конечного числа T i , а последовательность частичных сумм определяется сходится в к Т ; другими словами у нас есть:
Напомним, что последовательность сходится в (с его сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда он сходится поточечно.
Разложение распределений в суммы производных непрерывных функций
Объединяя приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U в виде суммы ряда распределений с компактным носителем, причем каждый из этих распределений может быть в своей очереди записать в виде конечной суммы производных распределительного непрерывных функций на U . Другими словами, для произвольных мы можем написать:
где - конечные множества мультииндексов, а функции непрерывны.
Теорема [35] - Пусть Т распределение на U . Для каждого мультииндекса p существует непрерывная функция g p на U такая, что
- любое компактное подмножество K в U пересекает носитель только конечного числа g p , и
Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать g p таким образом, чтобы только конечное число из них было ненулевым.
Обратите внимание, что указанная выше бесконечная сумма хорошо определена как распределение. Значение T для данногоможно вычислить, используя конечное число g α, которые пересекают носитель
Операции над раздачами
Многие операции, которые определены для гладких функций с компактным носителем, также могут быть определены для распределений. В общем, еслиявляется линейным отображением, непрерывным относительно слабой топологии , то можно продолжить A до отображенияпереходя к пределу. [примечание 16] [ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]
Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора
Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора, потому что он обеспечивает единый подход к множеству определений в теории распределений и из-за его многих хорошо известных топологических свойств. [36] В общем случае транспонирование непрерывного линейного отображения линейная карта определяется или, что эквивалентно, это уникальное отображение, удовлетворяющее для всех и все Поскольку A непрерывна, транспонированнаятакже непрерывна, когда обе двойственные наделены соответствующими сильными двойственными топологиями; он также является непрерывным, когда оба двойника наделены соответствующими слабыми * топологиями (подробности см. в статьях « Полярная топология и двойная система» ).
В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Позволять- непрерывное линейное отображение. Тогда по определению транспонированный оператор A является единственным линейным оператором что удовлетворяет:
- для всех и все
Однако, поскольку изображение плотно в достаточно, чтобы указанное равенство выполнялось для всех распределений вида где Явно это означает, что указанное выше условие выполняется тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
- для всех
Дифференциальные операторы
Дифференциация распределений
Позволять - оператор частной производной Чтобы продлить вычисляем его транспонирование:
Следовательно Следовательно, частная производная от по координате определяется формулой
При таком определении каждое распределение бесконечно дифференцируемо, и производная по направлению является линейным оператором на
В более общем смысле, если - произвольный мультииндекс , то частная производная распределения определяется
Дифференцирование распределений является непрерывным оператором на это важное и желательное свойство, которое не разделяется большинством других представлений о дифференциации.
Если T - распределение в тогда
где - производная от T, а τ x - сдвиг на x ; таким образом, производную T можно рассматривать как предел частных. [37]
Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции
Линейный дифференциальный оператор в U с гладкими коэффициентами действует в пространстве гладких функций на Дано мы хотели бы определить непрерывную линейную карту, что продлевает действие на к раздаче на Другими словами, мы хотели бы определить такая, что коммутирует следующая диаграмма:
Если вертикальные карты задаются путем присвоения его каноническое распространение который определяется: для всех В этих обозначениях коммутирующая диаграмма эквивалентна:
Чтобы найти мы рассматриваем транспонирование непрерывного индуцированного отображения определяется Как обсуждалось выше, для любого транспонирование может быть рассчитано следующим образом:
В последней строке мы использовали интеграцию по частям в сочетании с тем, что и поэтому все функции имеют компактную опору. [примечание 17] Продолжая вычисления выше, мы имеем для всех
Определить на формальное транспонирование в который будем обозначать чтобы избежать путаницы с отображением транспонирования, он должен быть следующим дифференциальным оператором на U :
Вышеприведенные расчеты показали, что:
- Лемма. Позволять - линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в Тогда для всех у нас есть
- что эквивалентно:
Лемма в сочетании с тем фактом, что формальное транспонирование формального транспонирования является исходным дифференциальным оператором, т.е. [8] позволяет прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор определяется Мы утверждаем, что транспонирование этого отображения, можно принять как Чтобы увидеть это, для каждого , вычислить его действие на распределение вида с участием :
Мы называем непрерывный линейный оператор дифференциальный оператор на распределениях , простирающихся P . [8] Его действие на произвольное распределение. определяется через:
Если сходится к затем для каждого мультииндекса сходится к
Умножение распределений на гладкие функции
Дифференциальный оператор порядка 0 - это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если является гладкой функцией, то является дифференциальным оператором порядка 0, формальным транспонированием которого является сам (т. е. ). Индуцированный дифференциальный операторотображает распределение T в распределение, обозначенное Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию.
Теперь мы дадим альтернативное представление умножения на гладкую функцию. Если- гладкая функция, а T - распределение на U , то произведение mT определяется формулой
Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если - оператор умножения на функцию m (т. е.), тогда
чтобы
При умножении на гладкие функции является модулем над кольцом При таком определении умножения на гладкую функцию обычное правило произведения в исчислении остается в силе. Однако возникает и ряд необычных идентичностей. Например, если δ ′ - дельта-распределение Дирака на, то mδ = m (0) δ , и если δ ′ - производная дельта-распределения, то
Билинейное отображение умножения дано не является непрерывным; однако это лицемерно . [14]
Пример. Для любого распределения T , произведение Т с функцией, тождественно 1 на U равна Т .
Пример. Предполагать- последовательность тестовых функций на U , сходящаяся к постоянной функцииДля любого распределения T на U последовательность сходится к [38]
Если сходится к а также сходится к тогда сходится к
Проблема умножения распределений
Легко определить произведение распределения с гладкой функцией или, в более общем смысле, произведение двух распределений, особые носители которых не пересекаются. Приложив больше усилий, можно определить произведение нескольких распределений с хорошим поведением при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является отсутствие ассоциативного произведения двух распределений, расширяющих произведение распределения на гладкую функцию, как это было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если pv1/Икс- распределение, полученное с помощью главного значения Коши
Если δ - дельта-распределение Дирака, то
но
поэтому произведение распределения на гладкую функцию (которая всегда хорошо определена) не может быть расширено до ассоциативного произведения на пространстве распределений.
Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены в общем и, следовательно, не могут быть решены в рамках одной только теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения могут быть найдены. В более чем двух пространственно - временных измерениях проблема связана с регуляризации с расхождениями . Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глейзер разработали математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию причинных возмущений . В других ситуациях это не решает проблемы. Многие другие интересные теории не являются линейными, как, например, уравнений Навье-Стокса в гидродинамике .
Несколько не совсем удовлетворительным [ править ] теории алгебр из обобщенных функций были разработаны, среди которых (упрощенно) алгебра Коломбо в это , возможно , самый популярный в использовании сегодня.
Вдохновленный теорией грубого пути Лайонса [39] Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенной структурой ( структуры регулярности [40] ), доступный во многих примерах из стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. Смотрите также Gubinelli-Imkeller-Перковски (2015) для соответствующего развития на основе Bony «s paraproduct из фурье - анализа.
Композиция с плавной функцией
Пусть T - распределение наПусть V - открытое множество ви F : V → U . Если F - погружение , можно определить
Это композиция из распределения Т с F , а также называется в откате из Т вдоль Р , иногда пишется
Обратный ход часто обозначается F * , хотя это обозначение не следует путать с использованием символа «*» для обозначения сопряженного элемента линейного отображения.
Условие субмерсии F эквивалентно требованию, чтобы производная Якобииз F является сюръективным линейным отображением для каждого Необходимое (но не достаточное) условие расширения распределений состоит в том, что F - открытое отображение . [41] Теорема об обратной функции гарантирует, что субмерсия удовлетворяет этому условию.
Если F - субмерсия, тоопределяется на распределениях путем нахождения транспонированной карты. Уникальность этого расширения гарантируется, поскольку является линейным непрерывным оператором на Существование, однако, требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и разбиения аргумента единицы . [42]
В частном случае, когда F - диффеоморфизм из открытого подмножества V вна открытое подмножество U в замена переменных под интегралом дает
Тогда в данном конкретном случае определяется формулой транспонирования:
Свертка
При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений. Напомним, что если а также функции на то обозначим через свертка из а также , определенные в быть интегральным
при условии, что интеграл существует. Если такие, что то для любых функций а также у нас есть а также [43] Еслиа g - непрерывные функции на хотя бы один из которых имеет компактную опору, тогда и если тогда значение на А вы не зависит от значенийвне суммы Минковского [43]
Важно, если имеет компактную опору для любого карта свертки непрерывно, если рассматривать его как карту или как карта [43]
- Перевод и симметрия
Дано оператор трансляции τ a отправляет к определяется Это может быть продлен до транспонированной распределений следующим образом: дано распределение Т , на перевод из от это распределение определяется [44] [45]
Дано определить функцию от Для данного распределения T пусть быть распределением, определяемым Оператор называется симметрией относительно начала координат . [44]
Свертка тестовой функции с распределением
Свертка с определяет линейную карту:
которое непрерывно относительно топологии канонического СФ пространства на
Свертка с раздачей можно определить, перенеся относительно двойственности пары с пространством раздач. [46] Еслито по теореме Фубини
Продолжая непрерывность, свертка с распределением T определяется как
для всех
Альтернативный способ определения свертки тестовой функции а распределение T должно использовать оператор сдвига τ a . Свертка функции с компактным носителеми тогда распределение T является функцией, определенной для каждого от
Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение T имеет компактный носитель, то если является многочленом (соответственно экспоненциальной функцией, аналитической функцией, ограничением целой аналитической функции на к ограничение целой функции экспоненциального типа в к ), то то же самое верно и для [44] Если у распределения T также есть компактный носитель, тоявляется функцией с компактным носителем, и из теоремы Титчмарша о свертке Хермандера (1983 , теорема 4.3.3) следует, что
где ch обозначает выпуклую оболочку, а supp обозначает опору.
Свертка гладкой функции с распределением
Позволять а также и предположим, что хотя бы один из и T имеет компактную опору. Свертка изи T , обозначаемый или по - гладкая функция: [44]
удовлетворение для всех :
Если T - распределение, то карта непрерывна как карта где если, кроме того, T имеет компактный носитель, то оно также непрерывно, как отображение и непрерывна как карта [44]
Если - непрерывное линейное отображение такое, что для всех и все тогда существует распределение такой, что для всех [6]
Пример. [6] Пусть H - функция Хевисайда на. Для любой
Позволять - мера Дирака в 0 и его производная как распределение. потом а также Важно отметить, что ассоциативный закон не выполняется:
Свертка распределений
Также можно определить свертку двух распределений S и T напри условии, что один из них имеет компактную опору. Неформально, чтобы определитьгде T имеет компактный носитель, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки к линейной операции над распределениями так, чтобы формула ассоциативности
продолжает выполняться для всех тестовых функций [47]
Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. [46] Предположим, что S и T - распределения и S имеет компактный носитель. Тогда линейные отображения
непрерывны. Транспонирование этих карт,
следовательно, непрерывны, и можно показать, что
- [44]
Это общее значение называется свертки из S и T , и это распределение , которое обозначается или же Это удовлетворяет [44] Если S и T - два распределения, хотя бы одно из которых имеет компактный носитель, то для любого [44] Если T - распределение в и если является мерой Дирака, то[44]
Предположим, что именно T имеет компактный носитель. Для рассмотреть функцию
Нетрудно показать, что это определяет гладкую функцию от x , которая, кроме того, имеет компактный носитель. Свертка S и T определяется формулой
Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместят с дифференциацией в следующем смысле: для каждого многоиндексного альфа ,
Свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактный носитель, ассоциативна . [44]
Это определение свертки остается в силе при менее ограничительных предположениях относительно S и T . [48]
Свертка распределений с компактным носителем индуцирует непрерывное билинейное отображение определяется где обозначает пространство распределений с компактным носителем. [14] Однако карта свертки как функцияне является непрерывным [14], хотя и непрерывно по отдельности. [49] Карты свертки а также дано оба не могут быть непрерывными. [14] Однако каждое из этих прерывистых отображений по отдельности непрерывно и гипонепрерывно . [14]
Свертка против умножения
Как правило, для произведений умножения требуется регулярность, а для произведений свертки - локальность . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке, которое гарантирует существование как свертки, так и произведений умножения. Позволять быть быстро убывающим темперированным распределением или, что то же самое, - обычная (медленно растущая, гладкая) функция в пространстве умеренных распределений, и пусть - нормализованное (унитарное, обычное частотное) преобразование Фурье [50], то, согласно Шварцу (1951) ,
удерживаются в пространстве умеренных распределений. [51] [52] [53] В частности, эти уравнения становятся формулой суммирования Пуассона, еслиэто гребень Дирака . [54] Пространство всех быстро убывающих умеренных распределений также называется пространством операторов свертки. а пространство всех обычных функций внутри пространства умеренных распределений также называется пространством операторов умножения В более общем смысле, а также [55] [56] Частным случаем является теорема Пэли-Винера-Шварца, которая утверждает, что а также Это потому что а также Другими словами, умеренные распределения с компактным носителем принадлежат пространству операторов свертки и функции Пэли-Винера более известные как функции с ограниченной полосой пропускания , относятся к пространству операторов умножения [57]
Например, пусть быть гребнем Дирака и быть дельтой Дирака, тогда- функция, которая постоянно равна единице, и оба уравнения дают тождество гребешка Дирака . Другой пример - позволить быть гребнем Дирака и - прямоугольная функция, то- функция sinc, и оба уравнения дают классическую теорему выборки для подходящихфункции. В более общем смысле, если - гребешок Дирака и является гладкой оконной функцией ( функцией Шварца ), например гауссовой , то- еще одна гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как смягчители , особенно в теории уравнений в частных производных , или как регуляризаторы в физике, потому что они позволяют превращать обобщенные функции в регулярные .
Тензорное произведение распределений
Позволять а также быть открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем где или же Для мы определяем следующее семейство функций:
Дано а также мы определяем следующие функции:
Обратите внимание, что а также Теперь определим следующие непрерывные линейные отображения, связанные с а также :
Более того, если либо (соотв. ) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение (соотв. ). [58]
Теорема Фубини для распределений [58] - Пусть а также Для каждого у нас есть:
Определение. Тензорное произведение из а также обозначается или же это распределение в и определяется: [58]
Теорема о ядре Шварца
Тензорное произведение определяет билинейное отображение
промежуток диапазона этого отображения является плотным подпространством его области значений. Более того,[58] Кроме того индуцирует непрерывные билинейные отображения:
где обозначает пространство распределений с компактным носителем, а - пространство Шварца быстро убывающих функций. [14]
Теорема Шварца о ядре [59] - У нас есть канонические изоморфизмы TVS:
Здесь представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично пополнению проективного тензорного произведения , поскольку эти пространства ядерны ) иимеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах .
Этот результат не верен для гильбертовых пространств, таких каки его двойное пространство. [60] Почему такой результат верен для пространства распределений и пробных функций, но не для других «хороших» пространств, таких как гильбертово пространство?? Этот вопрос привел Александра Гротендика к открытию ядерных пространств , ядерных карт и инъективного тензорного произведения . В конечном итоге он показал, что это именно потому, чтоявляется ядерным пространством, для которого справедлива теорема Шварца .
Пространства распределений
Для всех 0 < k <∞ и всех 1 < p <∞ все следующие канонические инъекции являются непрерывными и имеют диапазон, плотный в их области значений:
где топологии на () определяются как прямые пределы пространств аналогично тому, как топологии на были определены (в частности, они не являются обычными топологиями нормы). Диапазон каждой из приведенных выше карт (и любой композиции приведенных выше карт) плотен в кодобласти. Действительно,даже последовательно плотно в каждом[28] Все канонические инъекции () непрерывны, и область этой инъекции плотна в кодобласти тогда и только тогда, когда (здесь имеет обычную топологию нормы ). [61]
Предположим, что это одно из пространств () или же () или же (). Поскольку каноническая инъекциянепрерывная инъекция, изображение которой плотно в кодомене, транспонированная является непрерывным впрыском. Таким образом, это транспонирование позволяет нам идентифицироватьс некоторым векторным подпространством пространства распределений. Эта транспонированная карта не обязательно является встраиванием TVS, поэтому топология, которую эта карта передает в изображение тоньше, чем топология подпространства, которую это пространство наследует от Линейное подпространство несущие локально выпуклую топологию, более тонкую, чем топология подпространств, индуцированная называется в пространстве распределений . [61] Почти все пространства распределений, упомянутые в этой статье, возникают таким образом (например, умеренное распределение, ограничения, распределения порядка некоторое целое число, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные -функция и т. д.), и любая теорема о представлении двойственного пространства X может быть переноситься непосредственно на элементы пространства
Радоновые меры
Естественное включение является непрерывной инъекцией, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонированная также является непрерывным впрыском.
Отметим, что непрерывное двойственное пространство можно идентифицировать как пространство мер Радона , где существует взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционаламии интеграл по мере Радона; это,
- если то существует мера Радона на U такой, что для всех а также
- если является мерой Радона на U, то линейный функционал на определяется непрерывно.
Через инъекцию каждая мера Радона становится распределение на U . Еслиявляется локально интегрируемой функцией на U, то распределение- мера Радона; Таким образом, меры Радона образуют большое и важное пространство распределений.
Ниже приводится теорема о структуре распределений радоновских мер , которая показывает, что любую радоновскую меру можно записать как сумму производных локальнофункции в U :
Теорема. [34] - Предположим - мера Радона, является окрестностью носителя T , а Существует семья местных функции из U такие, что
- Положительные радоновые меры
Линейная функция T на пространстве функций называется положительной, если всякий раз, когда функциякоторый принадлежит области T , неотрицателен (т. е. имеет реальную ценность и ) тогда Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на обязательно непрерывно (т.е. обязательно мера Радона). [62] Обратите внимание, что мера Лебега является примером положительной меры Радона.
Локально интегрируемые функции как распределения
Одним из особенно важных классов мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функцияназывается локально интегрируемой , если она интегрируема по Лебегу над каждое компактное подмножество K из U . [примечание 18] Это большой класс функций, который включает в себя все непрерывные функции и все функции L p . Топология на определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция дает непрерывный линейный функционал на - то есть элемент - обозначается здесь T f , значение которого на тестовой функции дается интегралом Лебега:
Обычно злоупотребляют обозначениями , отождествляя T f спри условии, что не может возникнуть путаницы, и, следовательно, соединение между T f и часто пишется
Если и g - две локально интегрируемые функции, то соответствующие распределения T f и T g равны одному и тому же элементу если и только если и g равны почти всюду (см., например, Хёрмандер (1983 , теорема 1.2.5)). Подобным образом каждая радоновая мера на U определяет элемент чье значение на тестовой функции является Как и выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать пары между мерой Радона и тестовая функция в виде И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогичной теореме Рисса о представлении ), каждое распределение, которое является неотрицательным на неотрицательных функциях, имеет эту форму для некоторой (положительной) меры Радона.
- Тестовые функции как распределения
Сами тестовые функции являются локально интегрируемыми и поэтому определяют распределения. Пространство тестовых функцийпоследовательно плотно в относительно сильной топологии на [29] Это означает, что для любого есть последовательность тестовых функций, что сходится к (в его сильной двойственной топологии), если рассматривать ее как последовательность распределений. Или, что то же самое,
Более того, также секвенциально плотно в сильном двойственном пространстве к [29]
Распределения с компактной опорой
Естественное включение является непрерывной инъекцией, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонированная также является непрерывным впрыском. Таким образом, изображение транспонирования, обозначенное образует пространство распределений, когда наделено сильной дуальной топологией (перенесено в него через карту транспонирования так топология тоньше, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от ). [31]
Элементы можно идентифицировать как пространство распределений с компактной опорой. [31] В явном виде, если T является распределением на U, то следующие эквивалентны:
- ;
- носитель T компактен;
- ограничение к когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от (более грубая топология, чем каноническая топология LF), непрерывна; [31]
- существует такое компактное подмножество K в U , что для каждой пробной функциичей носитель полностью вне K , имеем
Распределения с компактным носителем определяют непрерывные линейные функционалы на пространстве ; напомним, что топология на определяется так, что последовательность тестовых функций сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные равномерно сходится к 0 на каждом компакте U . Наоборот, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал на этом пространстве определяет распределение компактного носителя. Таким образом, распределения с компактным носителем можно отождествить с теми распределениями, которые могут быть расширены из к
Распределения конечного порядка
Позволять Естественное включение является непрерывной инъекцией, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонированная также является непрерывным впрыском. Следовательно, образ обозначается образует пространство распределений, когда наделено сильной дуальной топологией (перенесено в него через карту транспонирования так топология более тонкая, чем топология подпространств, которую этот набор наследует от ). Элементыявляются в распределения заказа ≤ K . [34] Распределения порядка ≤ 0, которые также называют распределениями порядка 0 , в точности являются распределениями, которые являются мерами Радона (описанными выше).
Для распределение порядка к является распределение порядка ≤ к , который не является распределение порядка ≤ K - 1 . [34]
Распределение называется конечным порядком, если существует некоторое целое число k такое, что оно является распределением порядка ≤ k , а множество распределений конечного порядка обозначается какЗаметим, что если k ≤ l, то чтобы является векторным подпространством в и, более того, если и только если [34]
- Структура распределений конечного порядка
Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. [34] Действительно, каждое распределение в U является локально распределением конечного порядка в следующем смысле: [34] Если V - открытое и относительно компактное подмножество U и если- отображение ограничения из U в V , то образ под содержится в
Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что любое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных радоновских мер :
- Теорема. [34] Предположим имеет конечный порядок ≤ k и Для любого открытого подмножества V в U, содержащего носитель T , существует семейство радоновских мер в U : такой, что для очень а также
Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть U : = (0, ∞) и для каждой тестовой функции позволять
Тогда S является распределение бесконечного порядка на U . Более того, S нельзя продолжить до распределения на; то есть не существует распределения T натаким образом, что ограничение Т на U равна Т . [63]
Умеренные распределения и преобразование Фурье
Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство пространство распределений на Это собственное подпространство: в то время как каждое умеренное распределение является распределением и элементом обратное неверно. Умеренные распределения полезны, если кто-то изучает преобразование Фурье, поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в
- Пространство Шварца
Пространство Шварца ,- это пространство всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности вместе со всеми частными производными. Таким образом находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от умножается на любую степень | x | сходится к 0 при | х | → ∞ . Эти функции образуют полную TVS с соответствующим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов а также определять:
потом находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют:
Семейство полунорм p α , β определяет локально выпуклую топологию на пространстве Шварца. При n = 1 полунормы фактически являются нормами на пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: [64]
В противном случае можно определить норму на через
Пространство Шварца - это пространство Фреше (т. Е. Полное метризуемое локально выпуклое пространство). Поскольку преобразование Фурье изменяется в умножение на и наоборот, эта симметрия подразумевает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца.
Последовательность в сходится к 0 в тогда и только тогда, когда функции сходятся к 0 равномерно на всей откуда следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю за [64]
плотно в Подмножество всех аналитических функций Шварца плотно в также. [65]
Пространство Шварца ядерно, и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы
где представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично завершению проективного тензорного произведения ). [59]
- Закаленные дистрибутивы
Естественное включение является непрерывной инъекцией, изображение которой плотно в его кодомене, поэтому транспонированная также является непрерывным впрыском. Таким образом, изображение транспонированной карты, обозначенное образует пространство распределений, когда наделено сильной дуальной топологией (перенесено в него через карту транспонирования так топология тоньше, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от ).
Космос называется пространством умеренных распределений . Это непрерывное двойственное пространство Шварца. Эквивалентно, распределение T является умеренным тогда и только тогда, когда
Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактной опорой и все интегрируемые с квадратом функции являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведением многочленов с элементами L п ( р п ) {\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} для p ≥ 1 - умеренные распределения.
В отпущенном распределение также можно охарактеризовать как медленно расту , а это означает , что каждый производная T растет наиболее так быстро , как некоторый многочлен . Эта характеристика двойственна быстрому падению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производнаяраспадается быстрее, чем каждая обратная степень | х | . Пример быстро падающей функции:для любых положительных n , λ , β .
- преобразование Фурье
Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплексные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье является TVS- автоморфизм пространства Шварца и преобразования Фурье определяется как его транспонированным который (злоупотребление обозначения) снова обозначим через F . Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения T определяется выражением ( FT ) ( ψ ) = T ( Fψ ) для каждой функции Шварца ψ . Таким образом, FT снова является умеренным распределением. Преобразование Фурье - это TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что
а также со сверткой: если T - умеренное распределение, а ψ - медленно растущая гладкая функция на ψT - снова умеренное распределение и
свертка FT и Fψ . В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, является распределением δ .
- Выражение умеренных распределений в виде сумм производных
Если является умеренным распределением, то существует постоянная C > 0 и положительные целые числа M и N такие, что для всех функций Шварца
Эта оценка вместе с некоторыми методами функционального анализа может использоваться, чтобы показать, что существует непрерывная медленно растущая функция F и мультииндекс α такие, что
Ограничение распределений на компактные множества
Если то для любого компакта существует непрерывная функция F с компактным носителем в(возможно, на большем множестве, чем само K ) и мультииндекс α такой, что на
Использование голоморфных функций в качестве тестовых.
Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой пространства голоморфных функций используются в качестве пробных функций. Была разработана усовершенствованная теория, в частности алгебраический анализ Микио Сато , с использованием теории пучков и нескольких комплексных переменных . Это расширяет диапазон символических методов, которые можно превратить в строгую математику, например интегралы Фейнмана .
Смотрите также
- Алгебра Коломбо
- Текущий (математика)
- Распределение (теория чисел)
- Распределение на линейной алгебраической группе
- Гельфанд тройной
- Обобщенная функция
- Однородное распределение
- Гиперфункция
- Лапласиан индикатора
- Предел раздачи
- Линейная форма
- Теорема Мальгранжа – Эренпрейса
- Псевдодифференциальный оператор
- Теорема Рисса о представлении
- Расплывчатая топология
- Слабое решение
Заметки
- ^ оказывается также линейным и непрерывным, если пространству пробных функций задана некоторая топология, называемая канонической топологией ЛФ .
- ^ Пространство Шварца состоит из гладких быстро убывающих тестовых функций, где «быстро убывающий» означает, что функция убывает быстрее, чем любой полином увеличивается, когда точки в ее области перемещаются от начала координат.
- ^ За исключением тривиального (т. Е. Тождественного) карта, которая, конечно, всегда аналитическая.
- ^ Обратите внимание, что i - целое число, подразумевает Иногда это выражается как С неравенство »" средства: если в то время как если тогда это значит
- ^ Изображение компакта под непрерывным -значная карта (например, для ) сам является компактным и, таким образом, ограниченным подмножеством Если то это означает, что каждая из функций, определенных выше, является -значный (т.е. ни одна из вышеперечисленных супремумов никогда не равна).
- ^ Если мы возьмембыть множеством всех компактных подмножеств U, то мы можем использовать универсальное свойство прямых пределов, чтобы заключить, что включение является непрерывным и даже то, что они являются топологическим вложением для любого компактного подмножества Однако если мы возьмем быть множеством замыканий некоторой счетной возрастающей последовательности относительно компактных открытых подмножеств U, обладающих всеми свойствами, упомянутыми ранее в этой статье, то мы немедленно выводим, чтоявляется хаусдорфовым локально выпуклым строгим LF-пространством (и даже строгим LB-пространством, когда). Все эти факты также могут быть доказаны напрямую, без использования прямых систем (хотя и с дополнительной работой).
- ^ Для любой TVS X ( метризуемой или иной) понятие полноты полностью зависит от некоторой так называемой «канонической однородности », которая определяется с использованием только операции вычитания (см. Статью Полное топологическое векторное пространство для более подробной информации). Таким образом, понятие полной TVS не требует наличия какой-либо метрики . Однако, если TVS X является метризуемым и если d - любая трансляционно-инвариантная метрика на X, которая определяет его топологию, то X является полным как TVS (т.е. это полное равномерное пространство при его канонической однородности) тогда и только тогда, когда- полное метрическое пространство . Таким образом, если TVS X имеет топологию, которая может быть определена такой метрикой d, то d может использоваться для вывода полноты X, но существование такой метрики не является необходимым для определения полноты, и можно даже вывести что метризуемая TVS является полной, даже без учета метрики (например, поскольку декартово произведение любого набора полных TVS снова является полным TVS, мы можем сразу сделать вывод, что TVSкоторая оказывается метризуемой, является полной TVS; обратите внимание, что не было необходимости учитывать какие-либо метрики на).
- ^ Одна причина дать каноническая топология LF состоит в том, что именно с этой топологией и его непрерывное двойственное пространство становятся ядерными пространствами, которые обладают множеством хороших свойств и которые можно рассматривать как обобщение конечномерных пространств (для сравнения, нормированные пространства - это еще одно обобщение конечномерных пространств, которые обладают множеством «хороших» свойств) . Более подробно, есть два класса топологических векторных пространств (TVS), которые особенно похожи на конечномерные евклидовы пространства : банаховы пространства (особенно гильбертовы пространства ) и ядерные пространства Монтеля . Пространства Монтеля - это класс TVS, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно (это обобщает теорему Гейне – Бореля ), что является свойством, которым не может обладать никакое бесконечномерное банахово пространство; то есть никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым пространством и пространством Монтеля. Кроме того, никакая бесконечномерная TVS не может быть одновременно банаховым и ядерным пространством. Все конечномерные евклидовы пространства являются ядерными гильбертовыми пространствами Монтеля, но как только один входит в бесконечномерное пространство, эти два класса разделяются. Ядерные пространства, в частности, обладают многими "хорошими" свойствами конечномерных TVS (например, теоремой о ядре Шварца ), которых нет в бесконечномерных банаховых пространствах (подробнее см. Свойства, достаточные условия и характеристики, приведенные в статье Nuclear пространство ). В этом смысле ядерные пространства являются «альтернативным обобщением» конечномерных пространств. Кроме того, как правило, на практике большинство «естественных» TVS обычно являются либо банаховыми пространствами, либо ядерными пространствами. Как правило, большинство TVS, связанных с гладкостью (т. Е. Бесконечной дифференцируемостью, например а также ) становятся ядерными TVS, в то время как TVS связаны с конечной непрерывной дифференцируемостью (например,с компактом K и) часто оказываются неядерными пространствами, такими как пространства Банаха.
- ^ Хотя топология не метризуем, линейный функционал на непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно.
- ^ Б последовательность нуль - последовательность , которая сходится к происхождению.
- ^ a b Последовательностьназывается сходящейся по Макки к 0 в если существует расходящаяся последовательность положительного действительного числа такое, что ограниченное множество в
- ^ Еслитакже направляется при обычном сравнении функций, тогда мы можем считать, что конечный набор состоит из одного элемента.
- ^ В функциональном анализе сильная двойная топология часто является «стандартной» топологией или топологией «по умолчанию», помещенной в непрерывное двойное пространство.где, если X - нормированное пространство, то эта сильная двойственная топология совпадает с обычной индуцированной нормой топологией на
- ^ Технически топология должна быть более грубой, чем сильная двойственная топология, и одновременно более тонкой, чем слабая * топология .
- ^ Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает нулевые последовательности в ограниченные последовательности.
- ^ Этот подход работает и для нелинейных отображений, если предполагается, что они равномерно непрерывны .
- ^ Например, пусть и возьми быть обыкновенной производной для функций одной действительной переменной и предполагать поддержку содержаться в конечном интервале тогда с
- ^ Дополнительные сведения о таком классе функций см. В разделе о локально интегрируемых функциях .
Рекомендации
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 222-223.
- ^ См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 85-89.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 142-149.
- ^ Trèves 2006 , стр. 356-358.
- ^ a b c d e f g h Рудин 1991 , стр. 149-181.
- ^ a b c d Trèves 2006 , стр. 131-134.
- ^ a b c d Trèves 2006 , стр. 247-252.
- ^ Trèves 2006 , стр. 126-134.
- ^ a b c Trèves 2006 , стр. 136-148.
- ^ a b c d e Trèves 2006 , стр. 245-247.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 149-155.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 446-447.
- ^ Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 423.
- ^ См., Например, Grubb 2009 , стр. 14.
- ^ См., Например, Schaefer & Wolff 1999 , стр. 173.
- ^ a b c d e Габриелян, Саак "Топологические свойства строгих LF-пространств и сильные двойники строгих LF-пространств Монтеля" (2017)
- ^ a b Габриелян, С.С. Какол Дж., · Лейдерман, А. "Сильное свойство Питкеева для топологических групп и топологических векторных пространств"
- ^ Trèves 2006 , стр. 195-201.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 435.
- ^ Trèves 2006 , стр. 526-534.
- ^ Trèves 2006 , стр. 357.
- ^ "Топологическое векторное пространство" . Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 года .
Это пространство Montel, следовательно, паракомпактное и такое нормальное.
- ^ a b T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Acad. 35 (1959), 31-36.
- ↑ Согласно Гельфанду и Шилову, 1966–1968 , т. 1, § 1.2.
- ^ Trèves 2006 , стр. 351-359.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 441-457.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 150-160.
- ^ a b c d Trèves 2006 , стр. 300-304.
- ^ Б с д е е г Trèves 2006 , стр. 253-255.
- ^ а б в г д Трев 2006 , стр. 255-257.
- ^ Trèves 2006 , стр. 264-266.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 165.
- ^ Б с д е е г ч Trèves 2006 , стр. 258-264.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 169-170.
- ^ Стрихарца 1994 , §2.3; Трев, 2006 .
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 180.
- ^ Trèves 2006 , стр. 261.
- Перейти ↑ Lyons, T. (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами» . Revista Matemática Iberoamericana : 215–310. DOI : 10,4171 / RMI / 240 .
- ^ Хайрер, Martin (2014). «Теория регулярных структур». Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303,5113 . Bibcode : 2014InMat.198..269H . DOI : 10.1007 / s00222-014-0505-4 .
- ^ См., Например, Hörmander 1983 , теорема 6.1.1.
- ^ См. Hörmander 1983 , теорема 6.1.2.
- ^ a b c Trèves 2006 , стр. 278-283.
- ^ Б с д е е г ч я J Trèves 2006 , стр. 284-297.
- ^ См., Например, Рудин 1991 , §6.29.
- ^ a b Trèves 2006 , Глава 27.
- ^ Hörmander 1983 , §IV.2 доказывает единственность такого расширения.
- ^ См., Например, Гельфанд и Шилов, 1966–1968 , т. 1, стр. 103–104, и Бенедетто, 1997 , определение 2.5.8.
- ^ Trèves 2006 , стр. 294.
- ^ Folland, GB (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
- ^ Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company.
- Перейти ↑ Barros-Neto, José (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.
- ^ Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.
- Перейти ↑ Woodward, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
- ^ Trèves 2006 , стр. 318-319.
- ↑ Friedlander, FG; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
- ^ Шварц 1951 .
- ^ a b c d Trèves 2006 , стр. 416-419.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 531.
- ^ Trèves 2006 , стр. 509-510.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 240-252.
- ^ Trèves 2006 , стр. 218.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , pp. 177-181.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 92-94.
- ^ Trèves 2006 , стр. 160.
Библиография
- Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Деккер.
- Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и приложения , CRC Press.
- Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
- Friedlander, FG; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета..
- Гординг, Л. (1997), Некоторые аспекты анализа и их история , Американское математическое общество..
- Гельфанд И.М .; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , 1–5 , Academic Press..
- Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer.
- Hörmander, L. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
- Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
- Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing..
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шварц, Лоран (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", CR Acad. Sci. Париж , 239 : 847–848.
- Шварц, Лоран (1951), Теория распределений , 1–2 , Герман.
- Соболев, С.Л. (1936), "Новый метод решения проблем Коши для нормальных гиперболических уравнений" , Матем. Сборник , 1 : 39–72..
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Вудворд, PM (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.
дальнейшее чтение
- MJ Lighthill (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09128-4 (требует очень небольшого знания анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами)
- В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0
- Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенная функция, производная от a" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Обобщенные функции, произведение" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], "Обобщенные функциональные алгебры" , Энциклопедия математики , EMS Press.