В математике , гиперфункции являются обобщение функций, как «прыжок» из одной голоморфной функции к другому на границе, и можно рассматривать неформально распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были введены Микио Сато в 1958 году на японском языке ( 1959 , 1960 на английском языке), основываясь на более ранних работах Лорана Шварца , Гротендика и других.
Формулировка
Гиперфункцию на действительной прямой можно представить как «различие» между одной голоморфной функцией, определенной на верхней полуплоскости, и другой на нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой ( f , g ), где f - голоморфная функция на верхней полуплоскости, а g - голоморфная функция на нижней полуплоскости.
Неформально гиперфункция - вот в чем разница будет на самой реальной линии. На это различие не влияет добавление одной и той же голоморфной функции как к f , так и к g , поэтому, если h является голоморфной функцией на всей комплексной плоскости , гиперфункции ( f , g ) и ( f + h , g + h ) определяются как быть эквивалентным.
Определение в одном измерении
Мотивация может быть конкретно реализована с использованием идей из когомологий пучков . Позволятьбыть пучок из голоморфных функций наОпределим гиперфункции на вещественной прямой как первую локальную группу когомологий :
Конкретно пусть а также - верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость соответственно. потом так
Поскольку группа нулевых когомологий любого пучка - это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция - это пара голоморфных функций, каждая из которых находится на верхней и нижней комплексной полуплоскости по модулю целых голоморфных функций.
В более общем плане можно определить для любого открытого набора как частное где любой открытый набор с . Можно показать, что это определение не зависит от выбора это дает еще один повод думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций.
Примеры
- Если f - любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение f на действительную ось является гиперфункцией, представленной либо ( f , 0), либо (0, - f ).
- Функция Хевисайда можно представить в виде
где это главное значение комплексного логарифма от г .
- Дельта «функция» Дирак представлена
- На самом деле это повторение интегральной формулы Коши . Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование f чуть ниже реальной линии и вычесть интегрирование g чуть выше реальной линии - слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это можно легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.
- Если g - непрерывная функция (или, в более общем смысле, распределение ) на вещественной прямой с носителем, содержащимся в ограниченном интервале I , то g соответствует гиперфункции ( f , - f ), где f - голоморфная функция на дополнении к I определяется
- Эта функция f подскакивает в значении на g ( x ) при пересечении вещественной оси в точке x . Формула для f следует из предыдущего примера, записав g как свертку самого себя с дельта-функцией Дирака.
- Используя разбиение единицы, любую непрерывную функцию (распределение) можно записать в виде локально конечной суммы функций (распределений) с компактным носителем. Это может быть использовано для расширения вышеупомянутого вложения до вложения.
- Если f - любая функция, голоморфная всюду, кроме существенной особенности в 0 (например, e 1 / z ), то- гиперфункция с поддержкой 0, не являющаяся распределением. Если f имеет полюс конечного порядка в 0, тоявляется распределением, поэтому, когда f имеет существенную особенность, товыглядит как «распределение бесконечного порядка» при 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный порядок в любой точке.)
Операции над гиперфункциями
Позволять быть любым открытым подмножеством.
- По определению - векторное пространство, в котором корректно определены сложение и умножение с комплексными числами. Ясно:
- Карты очевидных ограничений поворачивают в пучок (который на самом деле дряблый ).
- Умножение на вещественные аналитические функции и дифференциация четко определены:
- С этими определениями становится D-модулем и вложение является морфизмом D-модулей.
- Точка называется голоморфная точка из если ограничивается действительной аналитической функцией в некоторой малой окрестности точки Если две голоморфные точки, то интегрирование корректно:
- где - произвольные кривые с Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязны .
- Позволять - пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму
- каждой гиперфункции с компактным носителем ставится в соответствие непрерывная линейная функция на Это вызывает идентификацию двойственного пространства, с участием Особый случай, заслуживающий рассмотрения, - это случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: если рассматривать (или же ) как подмножество с помощью указанного выше вложения, то это точно вычисляет традиционный интеграл Лебега. Кроме того: если это дистрибутив с компактной поддержкой, - вещественная аналитическая функция, а тогда
- Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл формальным выражениям типа
- которые в обычном смысле не определены. Более того: поскольку вещественные аналитические функции плотны в является подпространством . Это альтернативное описание того же вложения. .
- Если реальная аналитическая карта между открытыми множествами , затем композиция с является четко определенным оператором из к :
Смотрите также
Рекомендации
- Имаи, Исао (2012) [1992], Прикладная теория гиперфункций , математика и ее приложения (книга 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5.
- Канеко, Акира (1988), Введение в теорию гиперфункций , математику и ее приложения (книга 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
- Кашивара, Масаки ; Кавай, Такахиро; Кимура, Тацуо (2017) [1986], Основы алгебраического анализа , Принстонская библиотека наследия (книга 5158), PMS-37, перевод Като, Горо (переиздание), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
- Комацу, Хикосабуро, изд. (1973), Гиперфункции и псевдодифференциальные уравнения, Труды конференции в Катате, 1971 , Лекционные заметки по математике 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9.
- Комацу, Хикосабуро, Относительные когомологии пучков решений дифференциальных уравнений , стр. 192–261..
- Сато, Микио; Кавай, Такахиро; Касивара, Масаки, Микрофункции и псевдодифференциальные уравнения , стр. 265–529.. - Это называется СКК.
- Мартино, Андре (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960–1961), Exposé no. 214, MR 1611794 , Zbl 0122.34902.
- Моримото, Мицуо (1993), Введение в гиперфункции Сато , Переводы математических монографий (Книга 129), Американское математическое общество, ISBN 978-0-82184571-4.
- Фам, Флорида, изд. (1975), гиперфункции и теоретическая физика, Rencontre de Nice, 21-30 мая 1973 г. , лекции по математике 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1.
- Сересо, А .; Piriou, A .; Чазарайн Дж. Введение в гиперфункции , стр. 1–53..
- Сато, Mikio (1958), "Cyōkansū нет riron (Теория гиперфункции)" , Sūgaku (на японском языке), математическое общество Японии, 10 (1): 1-27, DOI : 10,11429 / sugaku1947.10.1 , ISSN 0039-470X
- Сато, Микио (1959), «Теория гиперфункций, I», журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1. Математика, астрономия, физика, химия , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR 0114124.
- Сато, Микио (1960), "Теория гиперфункций, II", журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1, Математика, астрономия, физика, химия , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR 0132392.
- Шапира, Пьер (1970), Теории гиперфункций , Лекционные заметки по математике 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9.
- Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Гиперфункции и гармонический анализ на симметричных пространствах , Progress in Mathematics (Перепечатка оригинального 1-го издания в мягкой обложке), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8
Внешние ссылки
- Джейкобс, Брайан. «Гиперфункция» . MathWorld .
- Канеко, А. (2001) [1994], «Гиперфункция» , Энциклопедия математики , EMS Press