Псевдодифференциальный оператор

В математическом анализе псевдо-дифференциальный оператор является продолжением концепции дифференциального оператора . Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнений в частных производных и квантовой теории поля .

История [ править ]

Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кона , Ниренберга , Хермандера , Унтербергера и Бокобзы. ^[1]

Они сыграли важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе с помощью K-теории. Атья и Сингер поблагодарили Хёрмандера за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов. ^[2]

Мотивация [ править ]

Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами [ править ]

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

действующий на гладкие функции с компактным носителем в R ⁿ . Этот оператор может быть записан как композиция преобразования Фурье , простого умножения на полиномиальную функцию (называемую символом )${\displaystyle u}$

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

и обратное преобразование Фурье в виде:

${\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi }$

( 1 )

Здесь - мультииндекс , - комплексные числа и${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle a_{\alpha }}$

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$

- повторная частная производная, где ∂ _j означает дифференцирование по j -й переменной. Мы вводим константы, чтобы облегчить вычисление преобразований Фурье.${\displaystyle -i}$

Вывод формулы ( 1 )

Преобразование Фурье гладкой функции ¯u , с компактным носителем в R ^п , является

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

а формула обращения Фурье дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }$

Применяя P ( D ) к этому представлению u и используя

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

получаем формулу ( 1 ).

Представление решений уравнений в частных производных [ править ]

Чтобы решить уравнение в частных производных

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

мы (формально) применяем преобразование Фурье с обеих сторон и получаем алгебраическое уравнение

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

Если символ P (ξ) никогда не равен нулю при ξ ∈  R ⁿ , то можно разделить на P (ξ):

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

По формуле обращения Фурье решение есть

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Здесь предполагается, что:

1. P ( D ) - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
2. его символ P (ξ) никогда не равен нулю,
3. и u, и ƒ имеют корректно определенное преобразование Фурье.

Последнее предположение можно ослабить, используя теорию распределений . Первые два предположения можно ослабить следующим образом.

В последней формуле запишите преобразование Фурье, чтобы получить

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}$

Это похоже на формулу ( 1 ), за исключением того, что 1 / P (ξ) - не полиномиальная функция, а функция более общего вида.

Определение псевдодифференциальных операторов [ править ]

Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов. Расширим формулу (1) следующим образом. Псевдо-дифференциальный оператор Р ( х , D ) на R ^п является оператором, значение которого на функции и (х) является функцией х :

${\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi }$

( 2 )

где - преобразование Фурье функции u, а символ P ( x , ξ) в подынтегральном выражении принадлежит определенному классу символов . Например, если P ( x , ξ) - бесконечно дифференцируемая функция на R ⁿ  ×  R ⁿ со свойством${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

для всех х , ξ ∈ R ^п , все мультииндексов a, β, некоторые константы С _{α, β} и некоторое действительное число т , то Р принадлежит к классу символов из Хермандером . Соответствующий оператор P ( x , D ) называется псевдодифференциальным оператором порядка m и принадлежит классу${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\Psi _{1,0}^{m}}.}$

Свойства [ править ]

Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными операторами порядка m . Состав PQ два псевдо-дифференциальные операторы P ,  Q снова является псевдо-дифференциальным оператор и символ PQ может быть вычислен с помощью символов Р и Q . Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором.

Если дифференциальный оператор порядка т является (равномерно) эллиптическим (порядка т ) и обратят, то его обратный является псевдо-дифференциальным оператором порядка - м , и его символ может быть вычислен. Это означает, что можно более или менее явно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения, используя теорию псевдодифференциальных операторов.

Дифференциальные операторы являются локальными в том смысле, что для определения эффекта оператора требуется значение функции в окрестности точки. Псевдодифференциальные операторы являются псевдолокальными , что неформально означает, что при применении к распределению они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.

Так же, как дифференциальный оператор может быть выражен через D  = −id / d x в виде

${\displaystyle p(x,D)\,}$

для многочлена p из D (который называется символом ) псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто задачу анализа псевдодифференциальных операторов можно свести к последовательности алгебраических задач, связанных с их символами, и в этом суть микролокального анализа .

Ядро псевдодифференциального оператора [ править ]

Псевдодифференциальные операторы могут быть представлены ядрами . Особенность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет указанным выше дифференциальным неравенствам при m ≤ 0, можно показать, что ядро ​​является сингулярным интегральным ядром .

См. Также [ править ]

• Дифференциальная алгебра для определения псевдодифференциальных операторов в контексте дифференциальных алгебр и дифференциальных колец.
• преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Осциллирующий интегральный оператор
• Основная теорема Сато
• Оперативный расчет

Сноски [ править ]

References[edit]

• Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi:10.2307/1970715, JSTOR 1970715

Further reading[edit]

• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0
• M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. G. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
• Hörmander, Lars (1987). The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators. Springer. ISBN 3-540-49937-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)

External links[edit]

• Lectures on Pseudo-differential Operators by Mark S. Joshi on arxiv.org.
• "Pseudo-differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]