Эллиптический оператор

Решение уравнения Лапласа, заданное на кольце . Оператор Лапласа - самый известный пример эллиптического оператора.

В теории дифференциальных уравнений в частных , эллиптические операторы являются дифференциальные операторы , обобщающие оператор Лапласа . Они определяются условием, что коэффициенты при производных высшего порядка должны быть положительными, что подразумевает ключевое свойство, заключающееся в том, что главный символ является обратимым, или, что то же самое, отсутствием действительных характеристических направлений.

Эллиптические операторы типичны для теории потенциала и часто встречаются в электростатике и механике сплошных сред . Эллиптическая регулярность означает, что их решения стремятся быть гладкими функциями (если коэффициенты в операторе гладкие). Стационарные решения гиперболических и параболических уравнений обычно решают эллиптические уравнения.

Определения [ править ]

Линейный дифференциальный оператор L порядка m в области в R ^n, заданный формулой${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle Lu = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha} u \,}$

Примечание: не ясно, что означает обозначение${\ displaystyle \ partial}$

(где - мультииндекс , и ) называется эллиптическим, если для каждого x в и любого ненулевого в R ⁿ ,${\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, ..., \ альфа _ {п})}$${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} и = \ partial ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial ^ {\ alpha _ {n}} u}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ xi}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {| \ альфа | = м} а _ {\ альфа} (х) \ хи ^ {\ альфа} \ neq 0, \,}$

где .${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha} = \ xi _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ xi _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

Во многих приложениях это условие недостаточно сильное, и вместо него может быть наложено условие равномерной эллиптичности для операторов порядка m = 2k :

${\ displaystyle (-1) ^ {k} \ sum _ {| \ alpha | = 2k} a _ {\ alpha} (x) \ xi ^ {\ alpha}> C | \ xi | ^ {2k}, \, }$

где C - положительная постоянная. Обратите внимание, что эллиптичность зависит только от членов высшего порядка. ^[1]

Нелинейный оператор

${\ Displaystyle L (и) = F (Икс, и, (\ partial ^ {\ alpha} u) _ {| \ альфа | \ Leq m}) \,}$

является эллиптическим, если его разложение Тейлора первого порядка по u и его производные относительно любой точки является линейным эллиптическим оператором.

Пример 1

Отрицательное значение лапласиана в R ^d, заданное формулой

${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u\,}$

- равномерно эллиптический оператор. Оператор Лапласа часто встречается в электростатике. Если ρ - плотность заряда в некоторой области Ω, потенциал Φ должен удовлетворять уравнению

${\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .\,}$

Пример 2

Для матричнозначной функции A (x), симметричной и положительно определенной для каждого x , имеющей компоненты a ^ij , оператор

${\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu\,}$

эллиптический. Это наиболее общая форма линейного эллиптического дифференциального оператора второго порядка с дивергентной формой. Оператор Лапласа получается, если взять A = I . Эти операторы также встречаются в электростатике в поляризованных средах.

Пример 3

Для р неотрицательного числа, р-лапласиан является нелинейным эллиптическим оператором , определяемый

${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).\,}$

Аналогичный нелинейный оператор встречается в механике ледников . Тензор напряжений Коши льда, согласно закону потока Глена, дается

${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)\,}$

для некоторой константы B . Затем скорость ледяного покрова в установившемся состоянии будет решать нелинейную эллиптическую систему

${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,\,}$

где ρ - плотность льда, g - вектор ускорения свободного падения, p - давление, Q - фактор воздействия.

Теорема эллиптической регулярности [ править ]

Пусть L - эллиптический оператор порядка 2k с коэффициентами, имеющими 2k непрерывных производных. Задача Дирихле для L состоит в том, чтобы найти функцию u для данной функции f и некоторых подходящих граничных значений, таких что Lu = f и такая, что u имеет подходящие граничные значения и нормальные производные. Теория существования эллиптических операторов, использующая неравенство Гординга и лемму Лакса – Милграма , гарантирует только то, что слабое решение u существует в пространстве Соболева H ^k .

Эта ситуация в конечном итоге неудовлетворительна, поскольку слабое решение u может не иметь достаточно производных, чтобы выражение Lu даже имело смысл.

Теорема об эллиптической регулярности гарантирует, что при условии, что f интегрируем с квадратом, u на самом деле будет иметь 2k интегрируемых с квадратом слабых производных. В частности, если f бесконечно-часто дифференцируема, то u тоже .

Любой дифференциальный оператор, демонстрирующий это свойство, называется гипоэллиптическим оператором ; таким образом, любой эллиптический оператор гипоэллиптичен. Это свойство также означает, что любое фундаментальное решение эллиптического оператора бесконечно дифференцируемо в любой окрестности, не содержащей 0.

В качестве приложения предположим, что функция удовлетворяет уравнениям Коши – Римана . Поскольку уравнения Коши-Римана образуют эллиптический оператор, он является гладким.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Общее определение [ править ]

Пусть - (возможно, нелинейный) дифференциальный оператор между векторными расслоениями любого ранга. Возьмем его главный символ по отношению к однократной форме . (По сути, мы заменяем ковариантные производные высшего порядка векторными полями .)${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \xi }$

Мы говорим , является слабоэллиптическим , если есть линейный изоморфизм для любого ненулевого .${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$${\displaystyle \xi }$

Мы говорим , есть (равномерно) сильно эллиптическим , если для некоторой константы ,${\displaystyle D}$${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}$

для всех и всех . Важно отметить, что определение эллиптичности в предыдущей части статьи - это сильная эллиптичность . Вот внутренний продукт. Обратите внимание, что это ковекторные поля или одноформные, но есть элементы векторного расслоения, на которые действует.${\displaystyle \|\xi \|=1}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

Типичным примером (сильно) эллиптического оператора является лапласиан (или его отрицательный, в зависимости от соглашения). Нетрудно понять, что для того, чтобы сильная эллиптичность даже была возможной , она должна быть ровной. В противном случае просто подумайте о том, чтобы подключить и то, и другое . С другой стороны, слабоэллиптический оператор первого порядка, такой как оператор Дирака, может возводиться в квадрат, чтобы стать сильно эллиптическим оператором, таким как лапласиан. Композиция слабоэллиптических операторов слабоэллиптическая.${\displaystyle D}$${\displaystyle \xi }$

Тем не менее слабая эллиптичность достаточно сильна для альтернативы Фредгольма , оценок Шаудера и теоремы Атьи – Зингера об индексе . С другой стороны, нам нужна сильная эллиптичность принципа максимума и гарантия того, что собственные значения дискретны и их единственная предельная точка - бесконечность.

См. Также [ править ]

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• Принцип максимума Хопфа
• Эллиптический комплекс
• Уравнение ультрагиперболической волны
• Полуэллиптический оператор
• Лемма Вейля

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Evans, LC (2010) [1998], Уравнения в частных производных , Graduate Studies in Mathematics , 19 (2 ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4974-3, Руководство по ремонту  2597943
  Обзор: Rauch, J. (2000). «Уравнения с частными производными, Л. Эванса» (pdf) . Журнал Американского математического общества . 37 (3): 363–367. DOI : 10,1090 / s0273-0979-00-00868-5 .
  
• Gilbarg, D .; Trudinger, NS (1983) [1977], Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 224 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13025-3, MR  0737190
• Шубин, М.А. (2001) [1994], "Эллиптический оператор" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Линейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейные эллиптические уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.