В математике , то символ линейного дифференциального оператора является полиномом , представляющим собой дифференциальный оператор , который получен, грубо говоря, путем замены каждой частной производной по новому переменному. Символ дифференциального оператора имеет широкое применение в анализе Фурье . В частности, в этой связи это приводит к понятию псевдодифференциального оператора . Члены высшего порядка символа, известные как главный символ, почти полностью контролируют качественное поведение решений уравнения в частных производных . Линейные эллиптические уравнения в частных производныхможно охарактеризовать как те, у которых главный символ нигде не равен нулю. При изучении гиперболических и параболических уравнений в частных производных нули главного символа соответствуют характеристикам уравнения в частных производных. Следовательно, символ часто является фундаментальным для решения таких уравнений и является одним из основных вычислительных устройств, используемых для изучения их особенностей.
Определение
Операторы в евклидовом пространстве
Пусть P - линейный дифференциальный оператор порядка k на евклидовом пространстве R d . Тогда P - многочлен от производной D , который в многоиндексной записи можно записать
Общий символ из Р есть многочлен р :
Ведущий символ , также известный как основной символ , является самым высокой степенью компонента р :
и имеет важное значение позже, потому что это единственная часть символа, которая трансформируется как тензор при изменении системы координат.
Символ P естественно появляется в связи с преобразованием Фурье следующим образом. Пусть ƒ - функция Шварца . Тогда с помощью обратного преобразования Фурье
Это показывает P как множитель Фурье . Более общий класс функций p ( x , ξ), которые удовлетворяют не более чем условиям полиномиального роста по ξ, при которых этот интеграл имеет хорошее поведение, включает псевдодифференциальные операторы .
Векторные пучки
Пусть E и F - векторные расслоения над замкнутым многообразием X , и пусть
является дифференциальным оператором порядка . В локальных координатах на X имеем
где для каждого мультииндекса αявляется расслоение карты , симметричной по индексам α.
Коэффициенты k- го порядка P преобразуются как симметричный тензор
от тензорного произведения на к - й симметрической степени из кокасательного расслоения на X с E до F . Этот симметричный тензор известен как главный символ (или просто символ ) из P .
Система координат x i допускает локальную тривиализацию кокасательного расслоения посредством координатных дифференциалов d x i , которые определяют координаты волокна ξ i . В терминах базиса шкал e μ , f ν систем E и F , соответственно, дифференциальный оператор P разлагается на компоненты
на каждую секцию U из Е . Здесь P νμ - скалярный дифференциальный оператор, определяемый формулой
С этой тривиализацией главный символ теперь может быть записан
В пространстве котангенса над фиксированной точкой x множества X символопределяет однородный полином степени к в со значениями в .
Дифференциальный оператор является эллиптическим, если его символ обратим; то есть для каждого ненулевого карта связки обратимо. На компактном многообразии из эллиптической теории следует, что P - оператор Фредгольма : он имеет конечномерное ядро и коядро.
Смотрите также
Рекомендации
- Фрид, Дэниел С. (1987), Геометрия операторов Дирака , стр. 8, CiteSeerX 10.1.1.186.8445
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
- Уэллс, РО (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.