Фредгольмов оператор

В математике , операторы Фредгольма некоторые операторы , возникающие в теории Фредгольма из интегральных уравнений . Они названы в честь Эрика Ивара Фредхольма . По определению, оператор Фредгольма - это ограниченный линейный оператор T  :  X  →  Y между двумя банаховыми пространствами с конечномерным ядром и конечномерным (алгебраическим) коядром , а также с замкнутым образцом . Последнее условие фактически избыточно. ^[1]${\ displaystyle \ ker T}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {coker} \, T = Y / \ mathrm {ran} \, T}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ran} \, T}$

Индекс фредгольмова оператора является целым числом

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} \,T}$

или другими словами,

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T.}$

Свойства [ править ]

Интуитивно фредгольмовы операторы - это те операторы, которые обратимы, «если не учитывать конечномерные эффекты». Формально правильное утверждение следует. Ограниченный оператор T  :  X  →  Y между банаховыми пространствами X и Y является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он обратим по модулю компактных операторов , т. Е. Если существует ограниченный линейный оператор

${\displaystyle S:Y\to X}$

такой, что

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

компактные операторы на X и Y соответственно.

Если фредгольмов оператор слегка модифицируется, он остается фредгольмовым, а его индекс остается прежним. Формально: множество фредгольмовых операторов из X в Y открыто в банаховом пространстве L ( X ,  Y ) ограниченных линейных операторов, снабженных операторной нормой , а индекс локально постоянен. Точнее, если T ₀ фредгольмов от X до Y , существует ε  > 0 такое, что любое T в L ( X ,  Y ) с || Т - Т ₀ || < εфредгольмов, с тем же индексом, что и  T ₀ .

Когда T - фредгольмов от X до Y и U - фредгольм от Y до Z , тогда композиция фредгольмова от X до Z и${\displaystyle U\circ T}$

${\displaystyle \mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T).}$

Когда T является фредгольмовым, транспонированный (или присоединенный) оператор T  ′ является фредгольмовым из Y  ′ в X  ′ , и ind ( T  ′) = −ind ( T ) . Когда X и Y - гильбертовы пространства , то же самое заключение верно и для эрмитово сопряженного  T ^∗ .

Когда T фредгольмов и K компактный оператор, то T  +  K фредгольмов. Индекс Т остается неизменным при таких компактных возмущениях Т . Это следует из того факта, что индекс i ( s ) T + s  K является целым числом, определенным для каждого s в [0, 1], а i ( s ) локально постоянен, поэтому i (1) =  i (0) .

Инвариантность по возмущению верна для более крупных классов, чем класс компактных операторов. Например, если U - фредгольмов, а T - строго сингулярный оператор , то T  +  U - фредгольмов с тем же индексом. ^[2] Класс несущественных операторов , который собственно содержит класс строго сингулярных операторов, является «классом возмущения» для фредгольмовых операторов. Это означает, что оператор несущественен тогда и только тогда, когда T + U фредгольмов для любого фредгольмова оператора .${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle U\in B(X,Y)}$

Примеры [ править ]

Позвольте быть гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, индексированным неотрицательными целыми числами. Оператор (правого) сдвига S на H определяется формулой${\displaystyle H}$${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

Этот оператор S инъективен (фактически, изометричен) и имеет замкнутый образ коразмерности 1, следовательно, S фредгольмов с . Полномочия , являются Фредгольмом с индексом . Сопряженный S * - левый сдвиг,${\displaystyle \mathrm {ind} (S)=-1}$${\displaystyle S^{k}}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle -k}$

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

Левый сдвиг S * фредгольмов с индексом 1.

Если H - классическое пространство Харди на единичной окружности T в комплексной плоскости, то оператор сдвига относительно ортонормированного базиса комплексных экспонент${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \rightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

- оператор умножения M _φ на функцию . В более общем смысле, пусть φ - комплексная непрерывная функция на T , которая не обращается в нуль на , и пусть T _φ обозначает оператор Теплица с символом φ , равным умножению на φ с последующей ортогональной проекцией :${\displaystyle \varphi =e_{1}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\rightarrow P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

Тогда T _φ является оператором Фредгольма на , с индексом, связанным с числом витков вокруг 0 ​​замкнутого пути : индекс T _φ , как определено в этой статье, противоположен этому числу витков.${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$

Приложения [ править ]

Любой эллиптический оператор можно продолжить до фредгольмова. Использование операторов Фредгольма в уравнениях с частными производными является абстрактной формой метода параметрикса .

Теорема Атьи-Зингера об индексе дает топологическую характеристику индекса некоторых операторов на многообразиях.

Теорема Атьи-Яниха отождествляет K-теорию K ( X ) компактного топологического пространства X с множеством гомотопических классов непрерывных отображений из X в пространство фредгольмовых операторов H → H , где H - сепарабельное гильбертово пространство, а множество этих операторов несет операторную норму.

Обобщения [ править ]

B-фредгольмовы операторы [ править ]

Для каждого целого числа определите ограничение на просмотр как карту из в (в частности ). Если для некоторого целого числа пространство замкнуто и является фредгольмовым оператором, то оно называется B-фредгольмовым оператором . Индекс B-фредгольмова оператора определяется как индекс оператора Фредгольма . Показано, что индекс не зависит от целого числа . B-фредгольмовы операторы были введены М. Беркани в 1999 г. как обобщение фредгольмовых операторов. ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle T_{0}=T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R(T^{n})}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$

Полуфредгольмовы операторы [ править ]

Линейный ограниченный оператор Т называется полуфредгольмовым , если его диапазон закрыт , и по крайней мере , один из , конечномерно. Для полуфредгольмова оператора индекс определяется формулой${\displaystyle \ker T}$${\displaystyle \mathrm {coker} \,T}$

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \mathrm {coker} \,T,&\dim \ker T+\dim \mathrm {coker} \,T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \mathrm {coker} \,T=\infty .\end{cases}}}$

Неограниченные операторы [ править ]

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Пусть X и Y - два банаховых пространства.

1. Замкнутый линейный оператор называется фредгольмовым , если его область плотно в , его диапазон закрыт, и оба ядра и коядро Т конечномерны.${\displaystyle T:\,X\to Y}$${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$называется полуфредгольмовым, если его область определения плотна в , его область значений замкнута и либо ядро, либо коядро T (или оба) конечномерны.${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$${\displaystyle X}$

Как было отмечено выше, образ замкнутого оператора замкнут, пока коядро конечномерно (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).

Заметки [ править ]

В Викибуке Функциональный анализ есть страница по теме: Теория Фредгольма.

Ссылки [ править ]

• Д. Е. Эдмундс и В. Д. Эванс (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Oxford University Press. ISBN  0-19-853542-2 .
• А.Г. Рамм, " Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеризация операторов Фредгольма ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) с. 855 (NB: в этой статье слово «оператор Фредгольма» относится к «оператору Фредгольма индекса 0»).
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма» . MathWorld .
• Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], "Теоремы Фредгольма" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Брюс К. Драйвер, « Компактные и фредгольмовые операторы и спектральная теорема », Инструменты анализа с приложениями , глава 35, стр. 579–600.
• Роберт С. Макоуэн, " Фредгольмова теория дифференциальных уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях ", Pacific J. Math. 87 , нет. 1 (1980), 169–185.
• Томаш Мрова, Краткое введение в линейный анализ: операторы Фредгольма , геометрия многообразий, осень 2004 г. (Массачусетский технологический институт: MIT OpenCouseWare)