Теория Фредгольма

В математике , теории Фредгольма является теория интегральных уравнений . В самом узком смысле теория Фредгольма занимается решением интегрального уравнения Фредгольма . В более широком смысле, абстрактная структура теории Фредгольма даются в терминах спектральной теории из операторов Фредгольма и Фредгольм ядер на гильбертовом пространстве . Теория названа в честь Эрика Ивара Фредхольма .

Обзор [ править ]

В следующих разделах представлен случайный набросок места теории Фредгольма в более широком контексте теории операторов и функционального анализа . Схема, представленная здесь, обширна, тогда как сложность формализации этого наброска, конечно же, заключается в деталях.

Уравнение Фредгольма первого рода [ править ]

Большая часть теории Фредгольма связана со следующим интегральным уравнением для f, когда заданы g и K :

${\ displaystyle g (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) f (y) \, dy.}$

Это уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики как обратное дифференциальному уравнению . То есть предлагается решить дифференциальное уравнение

${\ Displaystyle Lg (х) = е (х)}$

где функция f задана, а g неизвестна. Здесь L означает линейный дифференциальный оператор .

Например, можно принять L как эллиптический оператор , например

${\ Displaystyle L = {\ гидроразрыва {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \,}$

в этом случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона .

Общий метод решения таких уравнений заключается в использовании функций Грина , а именно, вместо прямой атаки, сначала находят такую ​​функцию , что для данной пары x, y ,${\ Displaystyle К = К (х, у)}$

${\ Displaystyle LK (х, у) = \ дельта (ху),}$

где δ ( x ) - дельта-функция Дирака .

Требуемое решение вышеупомянутого дифференциального уравнения затем записывается в виде интеграла в форме интегрального уравнения Фредгольма ,

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.}$

Функция K ( x, y ) также известна как функция Грина или ядро интеграла . Его иногда называют ядром интеграла, откуда и возникает термин ядерный оператор .

В общей теории x и y могут быть точками на любом многообразии ; реальный номер строки или т - мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали некоторому заданному функциональному пространству : часто изучается пространство функций, интегрируемых с квадратом , и часто появляются пространства Соболева .

Фактическое используемое функциональное пространство часто определяется решениями проблемы собственных значений дифференциального оператора; то есть решениями

${\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)}$

где ω _n - собственные значения, а ψ _n ( x ) - собственные векторы. Набор собственных векторов охватывает банахово пространство , и, когда существует естественное внутреннее произведение , собственные векторы охватывают гильбертово пространство , и в этой точке применяется теорема о представлении Рисса . Примерами таких пространств являются ортогональные многочлены, которые встречаются как решения класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка .

Учитывая гильбертово пространство, как указано выше, ядро ​​можно записать в виде

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.}$

В таком виде объект K ( x, y ) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма . То, что это то же ядро, что и ранее, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно, что имеется

${\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).}$

Поскольку ω _n в общем случае увеличивается, результирующие собственные значения оператора K ( x, y ), как видно, убывают к нулю.

Неоднородные уравнения [ править ]

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма

${\displaystyle f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

может быть записано формально как

${\displaystyle f=(K-\omega )\varphi }$

которое имеет формальное решение

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.}$

Решение такого вида называется формализмом резольвенты , где резольвента определяется как оператор

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}$

Учитывая набор собственных векторов и собственных значений K , резольвенте может быть задана конкретная форма как

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}$

с решением

${\displaystyle \varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.}$

Необходимым и достаточным условием существования такого решения является одна из теорем Фредгольма . Резольвента обычно разлагается по степеням , и в этом случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана . В этом случае интегральное уравнение записывается как${\displaystyle \lambda =1/\omega }$

${\displaystyle g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

а резольвента записывается в альтернативной форме как

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}$

Определитель Фредгольма [ править ]

Определитель Фредгольма обычно определяется как

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$

куда

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$

и так далее. Соответствующая дзета - функция является

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты .

Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем . Обратите внимание, что это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана ; однако в этом случае соответствующее ядро ​​неизвестно. Существование такого ядра известно как гипотеза Гильберта – Полиа .

Основные результаты [ править ]

Классическими результатами теории являются теоремы Фредгольма , одна из которых является альтернативой Фредгольма .

Один из важных результатов общей теории состоит в том, что ядро ​​является компактным оператором, когда пространство функций равностепенно непрерывно .

Родственный знаменитый результат - теорема Атьи – Зингера об индексе , относящаяся к индексу (dim ker - dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях .

История [ править ]

Статья Фредхольма 1903 года в Acta Mathematica считается одной из основных вех в становлении теории операторов . Дэвид Гильберт разработал абстракцию гильбертова пространства в связи с исследованиями интегральных уравнений, предложенными Фредгольмом (среди прочего).

См. Также [ править ]

• Функции Грина
• Спектральная теория
• Альтернатива Фредгольма

Ссылки [ править ]

• Фредхольм, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) . Acta Mathematica . 27 : 365–390. DOI : 10.1007 / bf02421317 .
• Эдмундс, Делавэр; Эванс, WD (1987). Спектральная теория и дифференциальные операторы . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853542-2.
• Б. В. Хведелидзе, Г. Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядро Фредгольма" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Драйвер, Брюс К. "Компактные и фредгольмовые операторы и спектральная теорема" (PDF) . Инструменты анализа с приложениями . С. 579–600.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
• Макоуэн, Роберт С. (1980). «Фредгольмова теория дифференциальных уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях» . Pacific J. Math . 87 (1): 169–185. DOI : 10,2140 / pjm.1980.87.169 . Zbl  0457.35084 .