Теория операторов

В математике , теории операторов является изучение линейных операторов на пространствах функций , начиная с дифференциальных операторов и интегральных операторов . Операторы могут быть представлены абстрактно с помощью их характеристик, таких как ограниченные линейные операторы или замкнутые операторы , и можно рассмотреть нелинейные операторы . Исследование, которое во многом зависит от топологии функциональных пространств, является разделом функционального анализа .

Если набор операторов образует алгебру над полем , то это алгебра операторов . Описание операторных алгебр является частью теории операторов.

Теория единственного оператора [ править ]

Теория одного оператора имеет дело со свойствами и классификацией операторов, рассматриваемых по очереди. Например, в эту категорию попадает классификация нормальных операторов по их спектрам .

Спектр операторов [ править ]

Спектральная теорема является любой из ряда результатов о линейных операторах или около матриц . ^[1] В общих чертах спектральная теорема предоставляет условия, при которых оператор или матрица могут быть диагонализованы (то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе). Эта концепция диагонализации относительно проста для операторов в конечномерных пространствах, но требует некоторой модификации для операторов в бесконечномерных пространствах. В общем, спектральная теорема определяет класс линейных операторов, которые можно моделировать операторами умножения., которые настолько просты, насколько можно надеяться найти. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема - это утверждение о коммутативных C * -алгебрах . См. Также спектральную теорию для исторической перспективы.

Примерами операторов, к которым применима спектральная теорема, являются самосопряженные операторы или, в более общем смысле, нормальные операторы в гильбертовых пространствах .

Спектральная теорема также обеспечивает каноническое разложение, называемое спектральным разложением , разложением по собственным значениям или разложением по собственным значениям , лежащего в основе векторного пространства, на котором действует оператор.

Нормальные операторы [ править ]

Нормальный оператор на комплексном гильбертовом пространстве Н является непрерывной линейный оператор Н  : Н → Н , что коммутирует с его эрмитовой сопряженного N * , а именно: NN * = N * N . ^[2]

Нормальные операторы важны, потому что для них верна спектральная теорема . Сегодня класс нормальных операторов хорошо изучен. Примеры нормальных операторов:

• унитарные операторы : N * = N ⁻¹
• Эрмитовы операторы (т. Е. Самосопряженные операторы): N * = N ; (также антисамосопряженные операторы: N * = - N )
• положительные операторы : N = MM *
• нормальные матрицы можно рассматривать как нормальные операторы, если взять гильбертово пространство как C ⁿ .

Спектральная теорема распространяется на более общий класс матриц. Пусть A - оператор в конечномерном внутреннем пространстве произведения. A называется нормальным, если A ^* A = AA ^* . Можно показать, что A является нормальным тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемо: согласно разложению Шура мы имеем A = UTU ^* , где U унитарен, а T верхнетреугольный. Так как нормально, ТТ ^* = Т ^* Т . Следовательно, T должен быть диагональным, поскольку нормальные верхнетреугольные матрицы диагональны. Обратное очевидно.

Другими словами, A нормальна тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица U такая, что

${\ Displaystyle А = УДУ ^ {*} \;}$

где D - диагональная матрица . Затем элементы диагонали D являются собственными из A . Векторы-столбцы матрицы U являются собственными векторами матрицы A и ортонормированы. В отличие от эрмитовского случая, записи D не обязательно должны быть реальными.

Полярное разложение [ править ]

Полярное разложение любого ограниченного линейного оператора А между комплексными гильбертовыми пространствами является каноническим разложением как произведение частичной изометрии и неотрицательным оператор. ^[3]

Полярное разложение для матриц обобщается следующим образом: если A - ограниченный линейный оператор, то существует единственная факторизация A как произведение A = UP, где U - частичная изометрия, P - неотрицательный самосопряженный оператор и начальный пространство U является замыканием диапазона P .

Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не унитарной, из-за следующих проблем. Если A - односторонний сдвиг на l ² ( N ), то | А | = { А * А } ^½ = I . Итак, если A = U | A |, U должно быть A , которое не является унитарным.

Существование полярного разложения является следствием леммы Дугласа :

Лемма. Если A , B - ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H и A * A ≤ B * B , то существует сжатие C такое, что A = CB . Кроме того, C уникально, если Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ).

Оператор C может быть определен формулой C (Bh) = Ah , продолженной по непрерывности до замыкания Ran ( B ) и нулем на ортогональном дополнении к Ran ( B ). Оператор C определен корректно, поскольку из A * A ≤ B * B следует Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ). Далее следует лемма.

В частности, если A * A = B * B , то C - частичная изометрия, которая единственна, если Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ). В общем, для любого ограниченного оператора А ,

${\ Displaystyle A ^ {*} A = (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}} (A ^ {*} A) ^ {\ frac {1} {2}},}$

где ( A * A ) ^½ - единственный положительный квадратный корень из A * A, полученный с помощью обычного функционального исчисления . Итак, по лемме имеем

${\ Displaystyle А = U (А ^ {*} А) ^ {\ гидроразрыва {1} {2}}}$

для некоторой частичной изометрии U , которая единственна, если Ker ( A ) ⊂ Ker ( U ). (Обратите внимание: Ker ( A ) = Ker ( A * A ) = Ker ( B ) = Ker ( B * ), где B = B * = ( A * A ) ^½ .) Возьмем P равным ( A * A ) ^½ и получаем полярное разложение A = UP . Обратите внимание, что аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать A = P'U ', где P ' положительна, а U' частичная изометрия.

Когда H конечномерно, U можно продолжить до унитарного оператора; в целом это неверно (см. пример выше). В качестве альтернативы полярное разложение можно показать с помощью операторной версии разложения по сингулярным числам .

По свойству непрерывного функционального исчисления , | | находится в C * -алгебры , порожденной A . Аналогичное , но более слабое утверждение справедливо и для частичной изометрии: полярная часть U находится в алгебре фон Неймана , порожденной A . Если обратим, U будет в C * -алгебры , порожденной A , а также.

Связь со сложным анализом [ править ]

Многие изучаемые операторы являются операторами в гильбертовых пространствах голоморфных функций , и изучение оператора тесно связано с вопросами теории функций. Например, теорема Бёрлинга описывает инвариантные подпространства одностороннего сдвига в терминах внутренних функций, которые являются ограниченными голоморфными функциями на единичном круге с унимодулярными граничными значениями почти всюду на окружности. Беллинг интерпретировал односторонний сдвиг как умножение на независимую переменную в пространстве Харди . ^[4] Успех в изучении операторов умножения и, в более общем смысле, операторов Теплица.(которые представляют собой умножение с последующей проекцией на пространство Харди) вдохновили на изучение аналогичных вопросов в других пространствах, таких как пространство Бергмана .

Операторные алгебры [ править ]

Теория операторных алгебр выдвигает на первый план алгебры операторов, такие как C * -алгебры .

C * -алгебры [ править ]

* -Алгебра, , является банахово алгебра над полем комплексных чисел , вместе с картой *: → A . Пишут х * для образа элемента х из А . Карта * имеет следующие свойства: ^[5]

• Это инволюция для любого x в A

${\ Displaystyle х ^ {**} = (х ^ {*}) ^ {*} = х}$

• Для всех x , y в A :

${\ displaystyle (x + y) ^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}}$

${\ Displaystyle (ху) ^ {*} = у ^ {*} х ^ {*}}$

• Для любого λ в C и любого x в A :

${\ displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ overline {\ lambda}} x ^ {*}.}$

• Для всех x в A :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Замечание. Первые три тождества говорят, что A - * -алгебра . Последний идентификатор называется идентификатором C * и эквивалентен:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

C * -идентичность - очень строгое требование. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C * -норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$

См. Также [ править ]

• Инвариантное подпространство
• Функциональное исчисление
• Спектральная теория
  • Резольвентный формализм
• Компактный оператор
  • Фредгольмово теория из интегральных уравнений
    • Интегральный оператор
    • Фредгольмов оператор
• Самосопряженный оператор
• Неограниченный оператор
  • Дифференциальный оператор
• Темное исчисление
• Картирование сокращения
• Положительный оператор в гильбертовом пространстве
• Неотрицательный оператор в частично упорядоченном векторном пространстве

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Ёсино, Такаши (1993). Введение в теорию операторов . Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-0582237438.

Внешние ссылки [ править ]

• История теории операторов