В математике , А линейное отображение (также называется линейное отображение , линейное преобразование , векторное пространство , гомоморфизм , или в некоторых контекстах линейных функций ) является отображение между двумя векторными пространствами , сохраняющее операции сложения векторов и умножения на скаляр . Те же имена и определение используются и для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей .
Если линейное отображение является биекцией, то это называется линейным изоморфизмом . В случае , когда линейное отображение называется (линейным) эндоморфизмом . Иногда термин линейный оператор относится к этому случаю, [1] но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, что и являются реальными векторными пространствами (не обязательно с ), [ цитата необходима ] или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, что это функциональное пространство , что является общепринятым соглашением в функциональном анализе .[2] Иногда термин линейная функция имеет то же значение, что и линейная карта , хотя в анализе это не так.
Линейное отображение всегда отображает линейные подпространства на линейные подпространства (возможно, более низкой размерности ); [3] например, он отображает плоскость, проходящую через начало координат, в плоскость, прямую линию или точку . Линейные карты часто могут быть представлены в виде матриц , а простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения .
На языке теории категорий линейные отображения - это морфизмы векторных пространств.
Определение и первые следствия [ править ]
Позвольте и быть векторными пространствами над тем же полем . Функция называется линейным отображением, если для любых двух векторов и любого скаляра выполняются следующие два условия:
аддитивность / операция сложения | |
однородность степени 1 / операция скалярного умножения |
Таким образом, линейное отображение называется сохраняющим операцию . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейная карта до (правые части приведенных выше примеров) или после (левые части примеров) операций сложения и скалярного умножения.
В силу ассоциативности операции сложения, обозначенной как +, для любых векторов и скаляров выполняется следующее равенство: [4] [5]
Обозначая нулевые элементы векторных пространств и через и соответственно, следует, что Пусть и в уравнении однородности степени 1:
Иногда и могут быть векторными пространствами над разными полями. Затем необходимо указать, какое из этих основных полей используется в определении «линейного». Если и являются пробелами над тем же полем, что и выше, то мы говорим о -линейных отображениях. Например, конъюгация из комплексных чисел является -линейным карта , но это не -линейное, где и символы , представляющих множества действительных и комплексных чисел, соответственно.
Линейная карта с рассматривать как одномерное векторное пространство над самим собой, называется линейным функционалом . [6]
Эти утверждения обобщаются на любой левый модуль над кольцом без изменений и на любой правый модуль после обращения скалярного умножения.
Примеры [ править ]
- Типичным примером, который дает линейным картам их имя, является функция , график которой представляет собой линию, проходящую через начало координат. [7]
- Как правило, любая гомотетией , где сосредоточено в нуле векторного пространства является линейным отображением.
- Нулевое отображение между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) является линейным.
- Тождественное отображение на любом модуле является линейным оператором.
- Для действительных чисел карта не является линейной.
- Для действительных чисел карта не является линейной (а является аффинным преобразованием ).
- Если - вещественная матрица , то определяет линейную карту от до , отправляя вектор -столбец в вектор-столбец . И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже.
- Если это изометрия между действительными нормированными пространствами, такая, что тогда является линейным отображением. Этот результат не обязательно верен для сложного нормированного пространства. [8]
- Дифференцирование определяет линейное отображение пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Он также определяет линейный оператор в пространстве всех гладких функций (линейный оператор - это линейный эндоморфизм , то есть линейное отображение, область определения и область значений которого совпадают). Примером является
- Определенный интеграл на некотором интервале I - это линейное отображение из пространства всех действительных интегрируемых функций на I в . Например,
- Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение из пространства всех действительных интегрируемых функций на пространство всех действительных дифференцируемых функций на . Без фиксированной начальной точки первообразная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций по линейному пространству постоянных функций.
- Если и являются конечномерными векторными пространствами над полем F соответствующих размерностей m и n , то функция, которая отображает линейные отображения в матрицы размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением, и даже линейный изоморфизм .
- Ожидаемое значение из случайной величины (которая на самом деле является функция, и в качестве такого элемента векторного пространства) является линейным, как и для случайных величин , и мы имеем и , но дисперсия случайной величины не является линейной.
Функция с линейным отображением. Эта функция масштабирует компонент вектора по коэффициенту .
Функция является аддитивной: не имеет значения, добавляются ли сначала векторы, а затем отображаются, или же они отображаются и наконец добавляются:
Функция однородна: не имеет значения, сначала масштабируется вектор, а затем отображается или сначала отображается, а затем масштабируется:
Матрицы [ править ]
Если и являются конечномерными векторными пространствами и для каждого векторного пространства определен базис , то каждая линейная карта от до может быть представлена матрицей . [9] Это полезно, поскольку позволяет выполнять конкретные вычисления. Матрицы дают примеры линейных карт: если - вещественная матрица, то описывает линейную карту (см. Евклидово пространство ).
Пусть будет основой для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле :
Если это линейная карта,
откуда следует, что функция f полностью определяется векторами . Теперь позвольте быть основой . Тогда мы можем представить каждый вектор как
Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрицу , то мы сможем удобно использовать ее для вычисления выходного вектора для любого вектора в . Для того, чтобы получить , каждый столбец из вектора
соответствует определенному выше. Чтобы определить его более четко, для некоторого столбца, который соответствует отображению ,
где - матрица . Другими словами, каждому столбцу соответствует вектор , координаты которого являются элементами столбца . Одна линейная карта может быть представлена множеством матриц. Это связано с тем, что значения элементов матрицы зависят от выбранных оснований.
Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:
- Матрица относительно :
- Матрица относительно :
- Матрица перехода от к :
- Матрица перехода от к :
Таким образом, начиная с левого нижнего угла и ища правый нижний угол , можно было бы умножить влево, то есть . Эквивалентным методом будет «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке из той же точки, умноженный слева на , или .
Примеры во втором измерении [ править ]
В двумерном пространстве R 2 линейные карты описываются матрицами 2 × 2 . Вот несколько примеров:
- вращение
- на 90 градусов против часовой стрелки:
- на угол θ против часовой стрелки:
- на 90 градусов против часовой стрелки:
- отражение
- по оси x :
- по оси Y :
- через линию, образующую угол θ с началом координат:
- по оси x :
- масштабирование на 2 во всех направлениях:
- отображение горизонтального сдвига :
- сжатие :
- проекция на ось y :
Векторное пространство линейных карт [ править ]
Состав линейных карт линейен: если и линейны, то и состав их тоже . Отсюда следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию .
Обратного линейного отображения, когда определено, снова линейное отображение.
Если и линейны, то их поточечная сумма также определяется выражением .
Если является линейным и является элементом наземного поля , то карта , определяемая с помощью , также является линейной.
Таким образом, набор линейных отображений из в себя образует векторное пространство над , иногда обозначаемым [10] . [11] Кроме того, в случае , если это векторное пространство, обозначенное , является ассоциативной алгеброй относительно композиции карт , так как композиция двух линейных карт снова является линейной картой, а композиция карт всегда ассоциативна. Более подробно этот случай обсуждается ниже.
Снова в конечномерном случае, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , добавление линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений со скалярами соответствует умножению матрицы со скалярами.
Эндоморфизмы и автоморфизмы [ править ]
Линейное преобразование является эндоморфизмом из ; набор всех таких эндоморфизмов вместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцом ). Мультипликативный единичный элемент этой алгебры - это тождественное отображение .
Эндоморфизм , что также изоморфизм называется автоморфизм из . Композиция двух автоморфизмов снова автоморфизм, а множество всех автоморфизмов образует группу , то группа автоморфизмов из которого обозначается или . Поскольку автоморфизмы - это в точности те эндоморфизмы, которые обладают обратными относительно композиции, - это группа единиц в кольце .
Если имеет конечную размерность , то есть изоморфно к ассоциативной алгебре всех матриц с элементами из . Группа автоморфизмов является изоморфной к общей линейной группе всех обратимых матриц с элементами из .
Ядро, изображение и теорема о ранге недействительности [ править ]
Если линейно, мы определим ядро и образ или в диапазоне от по
является подпространством в и является подпространством . Следующая формула размерности известна как теорема ранга-недействительности :
- [12]
Число также называется рангом из и записывается в виде , или иногда ; [13] [14] число называется недействительность из и записывается в виде или . [13] [14] Если и являются конечномерными, базы были выбраны и представлены матрицей , то ранг и недействительность равны рангу и нулю матрицы , соответственно.
Cokernel [ править ]
Более тонкий инвариант линейного преобразования является одним ядром , которое определяется как
Это двойное понятие к ядру: так же , как ядро является суб пространства домена, совместное ядром является частным пространством от цели. Формально есть точная последовательность
Их можно интерпретировать так: если необходимо решить линейное уравнение f ( v ) = w ,
- ядро является пространством решений для однородного уравнения F ( об ) = 0, а его размерность числа степеней свободы в растворе, если он существует;
- со-ядро - это пространство ограничений, которые должны быть выполнены, если уравнение должно иметь решение, а его размерность - это количество ограничений, которые должны быть выполнены, чтобы уравнение имело решение.
Размерность со-ядра и размер изображения (ранг) складываются в размерность целевого пространства. Для конечных размеров это означает, что размерность фактор-пространства W / f ( V ) - это размерность целевого пространства за вычетом размера изображения.
В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R 2 → R 2 , заданное формулой f ( x , y ) = (0, y ). Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно ( x , b ) или, что эквивалентно, ( 0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро можно выразить как подпространство ( x , 0) < V: значение x - это свобода в решении - в то время как коядро может быть выражено через отображение W → R , учитывая вектор ( a , b ), значение a является препятствием к существованию решения.
Пример, иллюстрирующий бесконечномерный случай, дает отображение f : R ∞ → R ∞ , где b 1 = 0 и b n + 1 = a n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, в то время как его ядро имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его со-ядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются. на ту же суммукак ранг и размерность ко-ядра ( ), но в бесконечномерном случае нельзя вывести, что ядро и ко-ядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 1). Обратная ситуация имеет место для отображения h : R ∞ → R ∞ , где c n = a n + 1 . Его изображение - это все целевое пространство, и, следовательно, его со-ядро имеет размерность 0, но поскольку он отображает все последовательности, в которых только первый элемент не равен нулю, в нулевую последовательность, его ядро имеет размерность 1.
Индекс [ править ]
Для линейного оператора с конечномерным ядром и ко-ядром можно определить индекс как:
а именно степени свободы минус количество ограничений.
Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разность dim ( V ) - dim ( W ) по рангу – нулю. Это дает представление о том, сколько решений или сколько ограничений у вас есть: если отображение из большего пространства в меньшее, карта может быть на и, таким образом, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, при отображении из меньшего пространства в большее, карта не может быть на, и, следовательно, у вас будут ограничения даже без степеней свободы.
Индекс оператора - это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → V → W → 0. В теории операторов индекс фредгольмовых операторов является объектом исследования, основным результатом которого является теорема Атьи – Зингера об индексе. . [15]
Алгебраические классификации линейных преобразований [ править ]
Никакая классификация линейных карт не может быть исчерпывающей. В следующем неполном списке перечислены некоторые важные классификации, которые не требуют какой-либо дополнительной структуры в векторном пространстве.
Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F и пусть T : V → W - линейное отображение.
Определение : T называется инъективным или мономорфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- Т представляет один к одному как отображение множеств .
- ker T = {0 V }
- dim (ker T ) = 0
- Т является унитарным или левым сократимым, который должен сказать, для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V , уравнение TR = TS означают R = S .
- Т является обратим слева , который должен сказать , существует линейное отображение S : W → V таким образом, что СТ является тождественным отображением на V .
Определение : T называется сюръективным или эпиморфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- Т находится на как отображение множеств.
- установка для коксования T = {0 Вт }
- Т является эпическим или вправо-сократимым, который должен сказать, для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : W → U и S : W → U , уравнение RT = ST означает R = S .
- Т является обратит справа , который должен сказать , существует линейное отображение S : W → V такие , что ТС является тождественным отображением на W .
Определение : T называется изоморфизмом, если он обратим как слева, так и справа. Это эквивалентно тому, что T является одновременно взаимно однозначным и на ( биекция множеств), или также тому, что T является одновременно эпическим и моническим и, таким образом, является биморфизмом .
Если T : V → V - эндоморфизм, то:
- Если для некоторого натурального числа п , тем п -й итерации Т , Т п , тождественно равна нулю, то Т называется нильпотентное .
- Если T 2 = T , то T называется идемпотентным.
- Если T = kI , где k - некоторый скаляр, то T называется масштабным преобразованием или отображением скалярного умножения; см. скалярную матрицу .
Смена основы [ править ]
Учитывая линейное отображение, которое является эндоморфизмом с матрицей A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются вместе с обратным B (векторы контравариантны ), его обратное преобразование [v] = B [v '].
Подставляя это в первое выражение
следовательно
Следовательно, матрица в новом базисе будет A ′ = B −1 AB , а B - матрица данного базиса.
Таким образом, линейные отображения называются 1-со-1 противопоказание вариантных объекты или типа (1, 1) тензоров .
Непрерывность [ править ]
Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например , нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его домен и домен совпадают, тогда он будет непрерывным линейным оператором . Линейный оператор на линейном нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область конечномерна. [16] Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .
Примером неограниченного, а значит, прерывного линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженных нормой супремума (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, а производная 0 равна 0). В конкретном примере sin ( nx ) / n сходится к 0, но его производная cos ( nx ) - нет, поэтому дифференцирование не является непрерывным в 0 (и, согласно вариации этого аргумента, оно не является непрерывным нигде).
Приложения [ править ]
Конкретное применение линейных карт - это геометрические преобразования, такие как те, которые выполняются в компьютерной графике , где перемещение, поворот и масштабирование 2D или 3D объектов выполняется с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются как механизм для описания изменений: например, в исчислении соответствуют производным; или в теории относительности, используемый как устройство для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.
Другое применение этих преобразований - оптимизация компилятором кода вложенных циклов и распараллеливание методов компилятора .
См. Также [ править ]
В Викиучебнике есть книга на тему: Линейная алгебра / Линейные преобразования. |
- Антилинейная карта
- Изогнутая функция
- Ограниченный оператор
- Непрерывный линейный оператор
- Линейный функционал
- Линейная изометрия
Заметки [ править ]
- ^ «Линейные преобразования V в V часто называют линейными операторами на V ». Рудин 1976 , с. 207
- ^ Пусть V и W два вещественных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , еслидля всех,для всехи всех действительных λ . Бронштейн, Семендяев 2004 , с. 316
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14
Вот некоторые свойства линейных отображений, доказательства которых настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, чтои:- Если A - подпространство (или выпуклое множество , или сбалансированное множество ), то же самое верно и для
- Если B - подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для
- В частности, набор:
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14. Предположим теперь, что X и Y - векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображениеназывается линейным, еслидля всехи всех скалярови. Обратите внимание, что чаще пишут, чемкогдалинейно.
- Перейти ↑ Rudin 1976 , p. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием, если:для всехи всех скаляров c . Обратите внимание, чтовместо этогочасто пишут,если A является линейным.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
- ^ "терминология - Что означает" линейный "в линейной алгебре?" . Обмен математическими стеками . Проверено 17 февраля 2021 .
- ^ Wilansky 2013 , стр. 21-26.
- Перейти ↑ Rudin 1976 , p. 210 Предположим,иявляются базами векторных пространств X и Y соответственно. Тогда каждыйопределяет такой набор чисел, что
- ^ Axler (2015) стр. 52, § 3.3
- ^ Ту (2011) , стр. 19, § 3.1
- ^ Horn & Johnson 2013 , 0.2.3 Векторные пространства, связанные с матричным или линейным преобразованием, стр. 6
- ^ a b Кацнельсон и Кацнельсон (2008) стр. 52, § 2.5.1
- ^ а б Халмос (1974) стр. 90, § 50
- ^ Нистор, Виктор (2001) [1994], "Теория индекса" , Энциклопедия математики , EMS Press: «Главный вопрос теории индекса - дать формулы индекса для классов фредгольмовых операторов ... Теория индексов стала самостоятельной темой только после того, как М.Ф. Атья и И. Зингер опубликовали свои теоремы об индексах»
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 15 1,18 Теорема Пусть линейный функционал на топологическом векторном пространстве X . Предположим для некоторых . Тогда каждое из следующих четырех свойств подразумевает остальные три:
- непрерывно
- Нулевое пространство закрыто.
- не плотно в X .
- ограничена в некоторой окрестности V точки 0.
Библиография [ править ]
- Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Бронштейн И.Н.; Семендяев, К.А. (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
- Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (второе изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83940-2.
- Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Ланг, Серж (1987), линейная алгебра (третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
- Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
- Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .