Собственное разложение матрицы

В линейной алгебре , eigendecomposition или иногда спектральное разложение является разложением из матрицы в каноническую форму , в результате чего матрица представлена в терминах его собственных значений и собственных векторов . Таким способом можно факторизовать только диагонализуемые матрицы .

Фундаментальная теория собственных векторов и собственных значений матриц [ править ]

А (ненулевой) вектор v размерности N является собственным вектором квадратной N × N матрицы A , если она удовлетворяет линейное уравнение

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$

где λ - скаляр, называемый собственным значением, соответствующим v . То есть собственные векторы - это векторы, которые линейное преобразование A просто удлиняет или сжимает, а величина, на которую они удлиняются / сжимаются, является собственным значением. Вышеупомянутое уравнение называется уравнением собственных значений или проблемой собственных значений .

Это дает уравнение для собственных значений

${\ displaystyle p \ left (\ lambda \ right) = \ det \ left (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I} \ right) = 0.}$

Мы называем р ( Л ) в характеристический полином , и уравнение, называемое характеристическое уравнение , является N - го порядка полиномиальное уравнение в неизвестном Х . Это уравнение будет иметь N _Л различных решений, где 1 ≤ ' N _А ≤ N . Множество решений, то есть собственные значения, называется спектром из A . ^{[1] [2] [3]}

Мы можем разложить p на множители как

${\displaystyle p\left(\lambda \right)=\left(\lambda -\lambda _{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda -\lambda _{2}\right)^{n_{2}}\cdots \left(\lambda -\lambda _{N_{\lambda }}\right)^{n_{N_{\lambda }}}=0.}$

Целое число n _i называется алгебраической кратностью собственного значения λ _i . Если поле скаляров алгебраически замкнуто , сумма алгебраических кратностей равна N :

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}$

Для каждого собственного значения λ _i у нас есть конкретное уравнение для собственных значений

${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0.}$

У каждого уравнения на собственные значения будет 1 ≤ m _i ≤ n _i линейно независимых решений. Линейные комбинации решений m _i - это собственные векторы, связанные с собственным значением λ _i . Целое м _я называется геометрической кратностью от λ _я . Важно иметь в виду, что алгебраическая кратность n _i и геометрическая кратность m _i могут быть равными, а могут и не быть равными, но мы всегда имеем m _i ≤ n _i. Самый простой случай - это, конечно, когда m _i = n _i = 1 . Общее количество линейно независимых собственных векторов N _v можно вычислить, суммируя геометрические кратности

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.}$

Собственные векторы могут быть проиндексированы собственными значениями с использованием двойного индекса, где v _ij является j- м собственным вектором для i- го собственного значения. Собственные векторы также могут быть проиндексированы с использованием более простой записи единственного индекса v _k , где k = 1, 2, ..., N _v .

Собственное разложение матрицы [ править ]

Пусть A - квадратная матрица размера n × n с n линейно независимыми собственными векторами q _i (где i = 1, ..., n ). Тогда A можно факторизовать как

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$

где Q представляет собой квадрат п × п матрица, я - й столбец является собственным вектором д _я из A , и Λ является диагональной матрицей , диагональные элементы которой являются соответствующие собственные значения, Λ _II = λ _я . Обратите внимание, что таким способом можно факторизовать только диагонализуемые матрицы . Например, дефектную матрицу (которая представляет собой матрицу сдвига ) невозможно диагонализовать.${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$

П собственных векторов д _я обычно нормализовались, но они не должны быть. Ненормированного множество п собственных векторов, v _я также могут быть использованы в качестве столбцов матрицы Q . Это можно понять, заметив, что величина собственных векторов в Q сокращается при разложении из-за наличия Q ^-1 .

Разложение может быть получено из фундаментального свойства собственных векторов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}}$

Пример [ править ]

Вещественная матрица 2 × 2 A

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}$

может быть разложен на диагональную матрицу путем умножения невырожденной матрицы B

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$

потом

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$

для некоторой реальной диагональной матрицы .${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}$

Умножая обе части уравнения слева на B :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$

Приведенное выше уравнение можно разложить на два одновременных уравнения :

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}$

Выделение собственных значений x и y :

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Сдача

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}$

это дает нам два векторных уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}$

И может быть представлено одним векторным уравнением, включающим два решения в качестве собственных значений:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$

где λ представляет два собственных значения x и y , а u представляет векторы a → и b → .

Перемена λ U на левую сторону и факторинговое U из

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }$

Поскольку B неособо, существенно, что u не равно нулю. Следовательно,

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$

Таким образом

${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}$

давая нам решения собственных значений матрицы A как λ = 1 или λ = 3 , и, таким образом, получившаяся диагональная матрица из собственного разложения матрицы A имеет вид .${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$

Подставляя решения обратно в вышеуказанные одновременные уравнения

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Решая уравнения, имеем

${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}$

Таким образом, матрица B, необходимая для собственного разложения матрицы A, равна

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}$

то есть:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }$

Матрица, обратная через собственное разложение [ править ]

Если матрица может быть eigendecomposed и если ни один из его собственных значений равны нулю, то не неособо и обратное дается

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Если это симметричная матрица, так как формируются из собственных векторов гарантируются быть ортогональной матрицей , поэтому . Кроме того, поскольку Λ - диагональная матрица , ее обратную матрицу легко вычислить:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$

Практическое значение ^[4] [ править ]

Когда собственное разложение используется для матрицы измеренных реальных данных , обратное может быть менее достоверным, когда все собственные значения используются без изменений в форме выше. Это связано с тем, что по мере того, как собственные значения становятся относительно небольшими, их вклад в инверсию велик. Те, которые близки к нулю или находятся на уровне «шума» измерительной системы, будут иметь чрезмерное влияние и могут затруднить решения (обнаружение) с использованием обратного.

Было предложено два смягчения: усечение малых или нулевых собственных значений и распространение самого низкого надежного собственного значения на те, которые ниже него.

Первый метод смягчения подобен разреженной выборке исходной матрицы, удаляя компоненты, которые не считаются ценными. Однако, если процесс решения или обнаружения близок к уровню шума, усечение может удалить компоненты, которые влияют на желаемое решение.

Второе смягчение расширяет собственное значение, так что более низкие значения имеют гораздо меньшее влияние на инверсию, но все же вносят свой вклад, так что решения вблизи шума все равно будут найдены.

Надежное собственное значение может быть найдено, если предположить, что очень похожие и низкие собственные значения являются хорошим представлением шума измерения (который считается низким для большинства систем).

Если собственные значения отсортированы по рангу по значению, то надежное собственное значение может быть найдено путем минимизации лапласиана отсортированных собственных значений: ^[5]

${\displaystyle \min \left|\nabla ^{2}\lambda _{\mathrm {s} }\right|}$

где собственные значения имеют индекс s для обозначения сортировки. Положение минимизации - это самое низкое надежное собственное значение. В измерительных системах квадратный корень из этого надежного собственного значения представляет собой средний шум по компонентам системы.

Функциональное исчисление [ править ]

Собственное разложение позволяет значительно упростить вычисление степенных рядов матриц. Если f  ( x ) задается формулой

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }$

тогда мы знаем, что

${\displaystyle f\left(\mathbf {A} \right)=\mathbf {Q} f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\mathbf {Q} ^{-1}}$

Поскольку Λ - диагональная матрица , функции от Λ очень легко вычислить:

${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$

Внедиагональные элементы f  ( Λ ) равны нулю; то есть f  ( Λ ) также является диагональной матрицей. Следовательно, вычисление f  ( A ) сводится к простому вычислению функции для каждого из собственных значений.

Аналогичная техника работает в более общем плане с голоморфным функциональным исчислением , используя

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

от выше . И снова мы находим, что

${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$

Примеры [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\\exp {\mathbf {A} }&=\mathbf {Q} \exp {(\mathbf {\Lambda } )}\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$

которые являются примерами функций . Кроме того, это матрица экспоненциальной .${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$

Разложение на специальные матрицы [ править ]

Нормальные матрицы [ править ]

Комплексная квадратная матрица A является нормальной (что означает A ^* A = AA * , где A ^* - сопряженное транспонирование ) тогда и только тогда, когда ее можно разложить как

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$

где U - унитарная матрица (то есть U ^* = U ⁻¹ ), а Λ = diag ( λ ₁ , ..., λ _n ) - диагональная матрица . ^[6] Столбцы U ₁ , ..., у _п из U образуют ортогональный базис и собственные векторы А с соответствующими собственными значениями А ₁ , ..., Х _п .

Если A ограничивается эрмитовой матрицей ( A = A * ), то Λ имеет только вещественнозначные элементы. Если A ограничена унитарной матрицей, то Λ принимает все свои значения на комплексной единичной окружности, то есть | λ _i | = 1 .

Реальные симметричные матрицы [ править ]

В качестве особого случая для каждой вещественной симметричной матрицы размера n × n собственные значения являются действительными, а собственные векторы могут быть выбраны действительными и ортонормированными . Таким образом, вещественная симметричная матрица A может быть разложена как

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$

где Q представляет собой ортогональная матрица , столбцы которой являются собственными векторами A , и Λ является диагональной матрицей, элементы которой являются собственными значениями A . ^[7]

Полезные факты [ править ]

Полезные факты о собственных значениях [ править ]

• Произведение собственных значений равно детерминант из А

  ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} \right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}{\lambda _{i}^{n_{i}}}}$

  Обратите внимание, что каждое собственное значение возводится в степень n _i , алгебраическую кратность .
• Сумма собственных значений равно след от А

  ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{{n_{i}}\lambda _{i}}}$

  Обратите внимание, что каждое собственное значение умножается на n _i , алгебраическую кратность .
• Если собственные значения матрицы A равны λ _i и A обратима, то собственные значения матрицы A ⁻¹ просто λ⁻¹
  _я.
• Если собственные значения A равны λ _i , то собственные значения f  ( A ) - это просто f  ( λ _i ) для любой голоморфной функции f .

Полезные факты о собственных векторах [ править ]

• Если A является эрмитовым и полноранговым, можно выбрать базис собственных векторов взаимно ортогональным . Собственные значения действительны.
• Собственные векторы А ^-1 такие же , как собственные векторы A .
• Собственные векторы определены только с точностью до мультипликативной константы. То есть, если Av = λ v, то c v также является собственным вектором для любого скаляра c ≠ 0 . В частности, - v и e ^iθ v (для любого θ) также являются собственными векторами.
• В случае вырожденных собственных значений (собственное значение появляется более одного раза) собственные векторы обладают дополнительной свободой вращения, то есть любая линейная (ортонормированная) комбинация собственных векторов, разделяющих собственное значение (в вырожденном подпространстве), сами являются собственными векторами ( в подпространстве).

Полезные факты о собственном разложении [ править ]

• A может быть разложен на собственные тогда и только тогда, когда количество линейно независимых собственных векторов, N _v , равно размерности собственного вектора: N _v = N
• Если p ( λ ) не имеет повторяющихся корней, то есть если тогда A можно разложить на собственные числа.${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$
• Утверждение « A может быть разложено по собственным значениям» не означает, что A имеет инверсию.
• Утверждение « A имеет инверсию» не означает, что A может быть разложена на собственные элементы. Контрпример - обратимая дефектная матрица .${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$

Полезные факты об обратной матрице [ править ]

• A можно инвертировать тогда и только тогда, когда

  ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i}$

• Если λ _i ≠ 0 и N _v = N , обратное дается формулой

  ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Численные вычисления [ править ]

Численное вычисление собственных значений [ править ]

Предположим, мы хотим вычислить собственные значения данной матрицы. Если матрица мала, мы можем вычислить их символически, используя характеристический полином . Однако это часто невозможно для больших матриц, и в этом случае мы должны использовать численный метод .

На практике собственные значения больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. Вычисление многочлена само по себе становится дорогостоящим, а точные (символические) корни многочлена высокой степени может быть трудно вычислить и выразить: теорема Абеля – Руффини подразумевает, что корни многочленов высокой степени (5 или выше) не могут вообще быть выраженным просто с помощью корней n- й степени. Поэтому общие алгоритмы поиска собственных векторов и собственных значений являются итеративными .

Существуют итерационные численные алгоритмы для аппроксимации корней многочленов, такие как метод Ньютона , но в целом нецелесообразно вычислять характеристический многочлен, а затем применять эти методы. Одна из причин заключается в том, что небольшие ошибки округления в коэффициентах характеристического полинома могут привести к большим ошибкам в собственных значениях и собственных векторах: корни являются чрезвычайно плохо обусловленной функцией коэффициентов. ^[8]

Простым и точным итерационным методом является степенной метод : выбирается случайный вектор v и последовательность единичных векторов вычисляется как

${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$

Эта последовательность почти всегда будет сходиться к собственному вектору, соответствующему собственному значению наибольшей величины, при условии, что v имеет ненулевую составляющую этого собственного вектора в базисе собственных векторов (а также при условии, что существует только одно собственное значение наибольшей величины). Этот простой алгоритм полезен в некоторых практических приложениях; например, Google использует его для расчета рейтинга страниц документов в своей поисковой системе. ^[9] Кроме того, степенной метод является отправной точкой для многих более сложных алгоритмов. Например, сохраняя не только последний вектор в последовательности, но вместо того, чтобы смотреть на пролете на всевекторов в последовательности, можно получить лучшее (более быстрое сходящееся) приближение для собственного вектора, и эта идея лежит в основе итерации Арнольди . ^{[8] В} качестве альтернативы, важный QR-алгоритм также основан на тонком преобразовании метода мощности. ^[8]

Численное вычисление собственных векторов [ править ]

После того, как собственные значения вычислены, собственные векторы могут быть вычислены путем решения уравнения

${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} _{i,j}=0}$

с помощью исключения Гаусса или любого другого метода решения матричных уравнений .

Однако в практических крупномасштабных методах собственных значений собственные векторы обычно вычисляются другими способами в качестве побочного продукта вычисления собственных значений. В степенной итерации , например, собственный вектор фактически вычисляется перед собственным значением (которое обычно вычисляется посредством отношения Рэлея к собственному вектору). ^[8] В QR-алгоритме для эрмитовой матрицы (или любой нормальной матрицы ) ортонормированные собственные векторы получаются как произведение Q- матриц на этапах алгоритма. ^[8] (Для более общих матриц алгоритм QR сначала дает разложение Шура , из которого собственные векторы могут быть получены с помощьюпроцедура обратной замены . ^[10] ) Для эрмитовых матриц алгоритм собственных значений «разделяй и властвуй» более эффективен, чем алгоритм QR, если требуются как собственные векторы, так и собственные значения. ^[8]

Дополнительные темы [ править ]

Обобщенные собственные подпространства [ править ]

Напомним , что геометрическая кратность собственного значения может быть описана как размерность соответствующей собственному пространству, в нуль - пространства из Х I - A . Алгебраическая кратность также может рассматриваться как размерность: это размерность ассоциированного обобщенного собственного подпространства (1-е чувство), которое является нулевым пространством матрицы ( λ I - A ) ^k для любого достаточно большого k . То есть это пространство обобщенных собственных векторов (в первом смысле), где обобщенный собственный вектор - это любой вектор, который в конечном итоге становится 0, если λ I- А применяется к нему несколько раз подряд. Любой собственный вектор является обобщенным собственным вектором, поэтому каждое собственное подпространство содержится в связанном с ним обобщенном собственном подпространстве. Это обеспечивает простое доказательство того, что геометрическая кратность всегда меньше или равна алгебраической кратности.

Это использование не следует путать с описанной ниже обобщенной проблемой собственных значений .

Сопряженный собственный вектор [ править ]

Конъюгат собственного вектора или coneigenvector является вектором послан после трансформации до скалярного множителя его конъюгата, где скаляр называется сопряженным собственным значением или псевдособственными линейного преобразование. Собственные векторы и собственные значения представляют по существу ту же информацию и значение, что и обычные собственные векторы и собственные значения, но возникают при использовании альтернативной системы координат. Соответствующее уравнение

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$

Например, в теории когерентного электромагнитного рассеяния линейное преобразование A представляет действие, выполняемое рассеивающим объектом, а собственные векторы представляют состояния поляризации электромагнитной волны. В оптике система координат определяется с точки зрения волны, известной как выравнивание прямого рассеяния (FSA), и приводит к регулярному уравнению собственных значений, тогда как в радаре система координат определяется с точки зрения радара, известной как обратная Scattering Alignment (BSA) и приводит к уравнению на собственные значения.

Обобщенная проблема собственных значений [ править ]

Проблема обобщенной собственной значения (второй смысл) является задачей нахождения вектора V , подчиняющихся

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$

где A и B - матрицы. Если V удовлетворяет это уравнение с некоторым Л , то мы называем v обобщенным собственным вектором из A и B (во втором смысле), и λ называются обобщенным собственное значение из A и B (во втором смысле) , которое соответствует обобщенному собственный вектор v . Возможные значения λ должны подчиняться следующему уравнению

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$

Если можно найти n линейно независимых векторов { v ₁ , ..., v _n } таких, что для каждого i ∈ {1, ..., n } , Av _i = λ _i Bv _i , то мы определяем матрицы P и D такие, что

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Тогда имеет место равенство

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$

И доказательство

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{pmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{pmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$

А поскольку P обратимо, мы умножаем уравнение справа на обратное, завершая доказательство.

Набор матриц вида A - λ B , где λ - комплексное число, называется пучком ; термин « матричный пучок» может также относиться к паре ( A , B ) матриц. ^[11]

Если B обратима, то исходную задачу можно записать в виде

${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

что является стандартной проблемой на собственные значения. Однако в большинстве ситуаций предпочтительно не выполнять инверсию, а решать обобщенную проблему собственных значений, как было заявлено изначально. Это особенно важно, если A и B - эрмитовы матрицы , поскольку в этом случае B ⁻¹ A не является вообще эрмитовым и важные свойства решения больше не очевидны.

Если A и B оба симметричны или эрмитовы, а B также является положительно определенной матрицей , собственные значения λ _i действительны, а собственные векторы v ₁ и v ₂ с различными собственными значениями являются B -ортогональными ( v ₁ ^* Bv ₂ = 0 ). ^[12] В этом случае собственные векторы можно выбрать так, чтобы матрица P, определенная выше, удовлетворяла

${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {I} }$ или ,${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {I} }$

и существует база обобщенных собственных векторов (это не дефектная задача). ^[11] Этот случай иногда называют эрмитово определенным карандашом или определенным карандашом . ^[11]

См. Также [ править ]

• Разложение матрицы
• Нормальная форма Джордана
• Список матриц
• Собственное значение, собственный вектор и собственное подпространство
• Спектральная теорема
• Разложение по сингулярным числам
• Преобразование домохозяина
• Ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Возмущение собственных значений

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Франклин, Джоэл Н. (1968). Матричная теория . Dover Publications. ISBN 978-0-486-41179-8.
• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Matrix Computations (3-е изд.), Балтимор: издательство Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46713-1.
• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Стрэнг, Г. (1998). Введение в линейную алгебру (3-е изд.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-0-9614088-5-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная программа и учебник по спектральной декомпозиции .