В математике , Фредгольм ядро представляет собой определенный тип ядра на банаховом пространстве , связанный с ядерными операторами на банаховом пространстве. Они представляют собой абстракцию идеи интегрального уравнения Фредгольма и Фредгольма оператора , а также один из объектов исследования в теории Фредгольма . Ядра Фредгольма названы в честь Эрика Ивара Фредхольма . Большая часть абстрактной теории ядер Фредгольма была разработана Александром Гротендиком и опубликована в 1955 году.
Определение
Пусть B произвольное банахово пространство , и пусть B * быть двойственное, то есть пространство ограниченных линейных функционалов на B . Тензорное произведение имеет доработку по норме
где нижняя грань берется по всем конечным представлениям
Завершение по этой норме часто обозначается как
и называется проективным топологическим тензорным произведением . Элементы этого пространства называются ядрами Фредгольма .
Характеристики
Каждое ядро Фредгольма имеет представление в виде
с участием а также такой, что а также
С каждым таким ядром связан линейный оператор
который имеет каноническое представление
С каждым ядром Фредгольма связан след, определяемый как
р -суммируемые ядра
Ядро Фредгольма называется p -суммируемым, если
Ядро Фредгольма называется порядка q, если q - точная нижняя грань всехдля всех p, для которых он p -суммируем.
Ядерные операторы в банаховых пространствах
Оператор L : B → B называется ядерным оператором, если существует X ∈таким образом, что L = L Х . Такой оператор называется p -суммируемым и имеет порядок q, если X есть. В общем, с таким ядерным оператором может быть связано более одного X , и поэтому трасса не определена однозначно. Однако, если порядок q ≤ 2/3, то имеется единственный след, как указано в теореме Гротендика.
Теорема Гротендика
Если оператор порядка тогда след может быть определен с помощью
где являются собственными из. Кроме того, определитель Фредгольма
является целой функцией от z . Формула
тоже держит. Наконец, еслипараметризуется некоторым комплексным параметром w , т. е., а параметризация голоморфна в некоторой области, то
голоморфна в той же области.
Примеры
Важным примером является банахово пространство голоморфных функций над областью . В этом пространстве каждый ядерный оператор имеет нулевой порядок и, следовательно, относится к классу следов .
Ядерные пространства
Идея ядерного оператора может быть адаптирована к пространствам Фреше . Ядерное пространство Фреше пространство , где каждое ограниченное отображение пространства в произвольном банаховом пространстве является ядерным.
Рекомендации
- Гротендик А (1955). "Produitstensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Амер. Математика. Soc . 16 .
- Гротендик А (1956). "Теория Фредхольма". Бык. Soc. Математика. Франция . 84 : 319–84.
- Б. В. Хведелидзе, Г. Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядро Фредгольма" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Fréchet M (ноябрь 1932 г.). «О поведении n-го итерации ядра Фредгольма, когда n становится бесконечным» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 18 (11): 671–3. DOI : 10.1073 / pnas.18.11.671 . PMC 1076308 . PMID 16577494 .