Определитель Фредгольма

В математике , то определитель Фредгольма является комплексной функцией , которая обобщает определитель конечного одномерного линейного оператора . Она определяется для ограниченных операторов на гильбертовом пространстве , которые отличаются от единичного оператора с помощью оператора трассировки класса . Функция названа в честь математика Эрика Ивара Фредхольма .

Фредгольмовы детерминанты было много приложений в математической физике , самый знаменитый пример будучи Габор Сеге «s предельная формула , доказанная в ответ на вопрос , поставленный Онзагер и Янгом на спонтанной намагниченности в модели Изинга .

Определение [ править ]

Пусть H - гильбертово пространство, а G - множество ограниченных обратимых операторов на H вида I + T , где T - оператор следового класса . G - группа, потому что

${\ Displaystyle (I + T) ^ {- 1} -I = -T (I + T) ^ {- 1},}$

так что (I + T) ⁻¹ -I является классом трассировки, если T является. Она имеет естественную метрику Предоставлено г ( Х , Y ) = || X - Y || ₁ , где || · || ₁ - норма следового класса.

Если H - гильбертово пространство со внутренним произведением , то также k- я внешняя степень со внутренним произведением${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$

${\ Displaystyle (v_ {1} \ клин v_ {2} \ клин \ cdots \ клин v_ {k}, w_ {1} \ клин w_ {2} \ клин \ cdots \ клин w_ {k}) = {\ rm {det}} \, (v_ {i}, w_ {j}).}$

Особенно

${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}, \ qquad (i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k})}$

дает ортонормированный базис в случае ( е _я ) ортонормированный базис Н . Если является ограниченным оператором на H , то функториально определяет ограниченный оператор на по${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$ ${\ Displaystyle \ Лямбда ^ {к} (А)}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} H}$

${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}.}$

Если A является классом трассировки, то также является классом трассировки с${\displaystyle \Lambda ^{k}(A)}$

${\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}$

Это показывает, что определение определителя Фредгольма дает

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

имеет смысл.

Свойства [ править ]

• Если A - оператор класса трассировки.

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I+zA)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}$

определяет целую функцию, такую ​​что

${\displaystyle |{\rm {det}}\,(I+zA)|\leq \exp(|z|\cdot \|A\|_{1}).}$

• Функция det ( I + A ) непрерывна на операторах следового класса, причем

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\|A\|_{1}+\|B\|_{1}+1).}$

Можно немного улучшить это неравенство до следующего, как отмечено в главе 5 Саймона:

${\displaystyle |{\rm {det}}(I+A)-{\rm {det}}(I+B)|\leq \|A-B\|_{1}\exp(\max(\|A\|_{1},\|B\|_{1})+1).}$

• Если A и B относятся к классу трассировки, то

${\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B).}$

• Функция det определяет гомоморфизм группы G в мультипликативную группу C * ненулевых комплексных чисел (поскольку элементы группы G обратимы).
• Если T находится в G и X обратимо,

${\displaystyle {\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T.}$

• Если A - класс трассировки, то

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A).}$

${\displaystyle \log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}}$

Определители Фредгольма коммутаторов [ править ]

Функция F ( t ) из ( a , b ) в G называется дифференцируемой, если F ( t ) -I дифференцируема как отображение в операторы следового класса, т. Е. Если предел

${\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}$

существует в норме следового класса.

Если g ( t ) - дифференцируемая функция со значениями в операторах класса трассировки, то также и exp g ( t ) и

${\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t),}$

куда

${\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX.}$

Исраэль Гохберг и Марк Крейн доказали, что если F - дифференцируемая функция в G , то f = det F - дифференцируемое отображение в C * с

${\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}.}$

Этот результат был использован Джоэлом Пинкусом, Уильямом Хелтоном и Роджером Хоу, чтобы доказать, что если A и B - ограниченные операторы с коммутатором следовых классов AB -BA , то

${\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA).}$

Формула предела Сегё [ править ]

Пусть H = L ² ( S ¹ ) , и пусть Р будет ортогональной проекцией на пространстве Харди H ² ( S ¹ ).

Если F является гладкой функцией на окружности, пусть т ( е ) обозначим соответствующий оператор умножения на Н .

Коммутатор

P m ( f ) - m ( f ) P

является трассировочным классом.

Пусть T ( f ) - оператор Теплица на H ² ( S ¹ ), определенный формулой

${\displaystyle T(f)=Pm(f)P,}$

то аддитивный коммутатор

${\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}$

является следовым, если f и g гладкие.

Бергер и Шоу доказали, что

${\displaystyle {\rm {tr}}(T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }fdg.}$

Если f и g гладкие, то

${\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}$

в G .

Гарольд Видом использовал результат Пинкус-Хелтон-Хау, чтобы доказать, что

${\displaystyle {\rm {det}}\,T(e^{f})T(e^{-f})=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$

куда

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}.}$

Он использовал это, чтобы дать новое доказательство знаменитой формулы предела Габора Сегу :

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }{\rm {det}}P_{N}m(e^{f})P_{N}=\exp \sum _{n>0}na_{n}a_{-n},}$

где P _N - это проекция на подпространство H, натянутое на 1, z , ..., z ^N и a ₀ = 0.

Формула предела Сегё была доказана в 1951 году в ответ на вопрос, поднятый в работах Ларса Онзагера и К. Н. Янга о вычислении спонтанной намагниченности для модели Изинга . Формула Видома, которая довольно быстро приводит к предельной формуле Сегё, также эквивалентна двойственности между бозонами и фермионами в конформной теории поля . Особая версия предельной формулы Сегё для функций с носителем на дуге окружности была доказана Видомом; он был применен для получения вероятностных результатов о распределении собственных значений случайных унитарных матриц .

Неформальное представление для случая интегральных операторов [ править ]

В следующем разделе дается неформальное определение определителя Фредгольма ИТ, когда оператор класса трассировки T является интегральным оператором, заданным ядром K (x, x) . Правильное определение требует представления, показывающего, что каждое из манипуляций является четко определенным, сходящимся и т. Д. Для данной ситуации, для которой рассматривается детерминант Фредгольма. Поскольку ядро K можно определить для большого разнообразия гильбертовых и банаховых пространств , это нетривиальное упражнение.

Определитель Фредгольма можно определить как

${\displaystyle \det(I-\lambda T)=\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)=\exp {\left(-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Tr} (T^{n})}{n}}\lambda ^{n}\right)}}$

где T - интегральный оператор . След оператора T и его знакопеременные степени задаются в терминах ядра K формулой

${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\int K(x,x)\,dx}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(T)={\frac {1}{2!}}\iint K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\,dxdy}$

и вообще

${\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{n}(T)={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}}$.

Для этих ядер трассировка четко определена, поскольку они являются операторами класса трассировки или ядерными операторами .

Приложения [ править ]

Определитель Фредгольма использовал физик Джон А. Уиллер.(1937, Phys. Rev. 52: 1107), чтобы помочь обеспечить математическое описание волновой функции составного ядра, состоящего из антисимметричной комбинации парциальных волновых функций, методом резонансной групповой структуры. Этот метод соответствует различным возможным способам распределения энергии нейтронов и протонов по фундаментальным бозонным и фермионным группам кластеров нуклонов или строительным блокам, таким как альфа-частица, гелий-3, дейтерий, тритон, динейтрон и т. Д. В методе резонансной групповой структуры для бета- и альфа-стабильных изотопов используется определитель Фредгольма: (1) определяет значения энергии составной системы, и (2) определяет сечения рассеяния и распада.Метод резонансной групповой структуры Уиллера обеспечивает теоретические основы для всех последующих моделей кластеров нуклонов и связанной с ними динамики энергии кластеров для всех легких и тяжелых изотопов (см. Обзор кластерных моделей в физике в ND Cook, 2006).

Ссылки [ править ]

• Саймон, Барри (2005), Идеалы трассировки и их приложения , Математические обзоры и монографии, 120 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3581-5
• Уилер, Джон А. (1937-12-01). «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 52 (11): 1107–1122. DOI : 10.1103 / Physrev.52.1107 . ISSN  0031-899X .
• Борнеманн, Фолькмар (2010), "О численной оценке определителей Фредгольма", Math. Комп. , Springer, 79 : 871-915, Arxiv : 0804,2543 , DOI : 10,1090 / s0025-5718-09-02280-7