В математике , особенно в теории категорий , функтор - это отображение между категориями . Функторы впервые были рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий .
Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. [1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; [2] см. Служебное слово .
Определение
Пусть C и D быть категории . Функтор Р из С к D является отображение, [3]
- связывает каждый объект в C к объектув D ,
- связывает каждый морфизм в C к морфизмув D такое, что выполняются следующие два условия:
- для каждого объекта в C ,
- для всех морфизмов а также в C .
То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.
Ковариация и контравариантность
В математике есть много конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «меняют композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое
- соратники к каждому объекту в C с объектомв D ,
- ассоциирует каждый морфизм в C с морфизмомв D такое, что выполняются следующие два условия:
- для каждого объекта в C ,
- для всех морфизмов а также в C .
Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.
Обычные функторы также называются ковариантными , чтобы отличать их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор в противоположной категории . [4] Некоторые авторы предпочитают писать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать является контравариантным функтором, они просто пишут (или иногда ) и назовем его функтором.
Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами . [5]
Существует соглашение, которое относится к "векторам", т. Е. Векторным полям , элементам пространства разделов.из касательного расслоения - как «контравариантные» и «ковекторы» - т.е. 1-формы , элементы пространства сеченийиз кокасательного расслоения - как «ковариантный». Эта терминология берет свое начало в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как для или же для В этом формализме наблюдается, что символ преобразования координат (представляющий матрицу ) действует на базисные векторы «так же», как и на «ковекторные координаты»: - поскольку действует «наоборот» на «векторные координаты» (но «так же», как и на базисные ковекторы: ). Эта терминология противоречит терминологии, используемой в теории категорий, потому что именно ковекторы имеют откаты в целом и, таким образом, контравариантны , тогда как векторы в целом ковариантны, поскольку их можно подтолкнуть вперед . См. Также Ковариация и контравариантность векторов .
Противоположный функтор
Каждый функтор индуцирует противоположный функтор , где а также являются противоположные категории до а также . [6] По определению, отображает объекты и морфизмы идентично . С не совпадает с как категория, и аналогично для , отличается от . Например, при составлении с участием , следует использовать либо или же . Обратите внимание, что, следуя свойству противоположной категории ,.
Бифункторы и мультифункторы
Бифунктор (также известный как двоичный функтор ) функтор, область является категорией продукта . Например, функтор Hom имеет тип C op × C → Set . Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Хом функтор является естественным примером; он контравариантен по одному аргументу, ковариантен по другому.
Multifunctor является обобщением понятия функтора к п переменных. Так, например, бифунктор - это мультифунктор с n = 2 .
Примеры
Диаграмма : для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором.
(Категория теоретической) Предпучок : для категорий C и J , с J -presheaf на C является контравариантным функтором.
Предварительные пучки: если X - топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open ( X ) при включении. Как и любой частично упорядоченный набор, Open ( X ) образует небольшую категорию, добавляя единственную стрелку U → V тогда и только тогда, когда. Контравариантная функторы на Open ( X ) называются предпучки на X . Так , например, путем присвоения каждому открытому множеству U ассоциативная алгебра вещественных непрерывных функций на U , получаем предпучок алгебр на X .
Константа функтор: Функтор C → D , который отображает каждый объект C до фиксированного объекта X в D , и каждый морфизм в С к морфизму идентичности на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .
Эндофунктор : функтор, который отображает категорию в ту же категорию; например, полиномиальный функтор .
Функтор идентичности : в категории C , обозначаемый как 1 C или id C , отображает объект на себя, а морфизм - на себя. Функтор идентичности - это эндофунктор.
Диагональный функтор : диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D C, который отправляет каждый объект в D в постоянный функтор этого объекта.
Предельный функтор : для фиксированной индексной категории J , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полон), то предельный функтор C J → C присваивает каждому функтору его предел. Существование этого функтора можно доказать, поняв, что он является сопряженным справа к диагональному функтору, и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Это требует подходящей версии выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы к функтору копредела (который назначает каждому функтору его копредел и является ковариантным).
Функтор наборов мощности: Функтор набора мощности P : Set → Set сопоставляет каждый набор со своим набором мощности и каждой функцией на карту, которая отправляет к его образу . Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора степеней, который отправляет на карту, которая отправляет своему прообразу
Например, если тогда . Предполагать а также . потом это функция, которая отправляет любое подмножество из к его образу , что в данном случае означает , где обозначает отображение при , так что это также можно было бы записать как . Для других значений Обратите внимание, что следовательно, порождает тривиальную топологию на. Также обратите внимание, что хотя функция в этом примере сопоставлен с набором мощности , что в общем случае не обязательно.
Двойное векторное пространство :карта, которая назначает каждомувекторному пространствуегодвойственное пространствои каждойлинейной картеего двойственное или транспонированное, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированнымполемк самому себе.
Фундаментальная группа: рассмотрим категорию точечных топологических пространств , то есть топологических пространств с выделенными точками. Объекты являются пары ( X , х 0 ) , где Х представляет собой топологическое пространство , а х 0 является точкой в X . Морфизм из ( X , x 0 ) в ( Y , y 0 ) задается непрерывным отображением f : X → Y с f ( x 0 ) = y 0 .
Каждому топологическому пространству X с выделенной точкой x 0 можно определить фундаментальную группу, основанную на x 0 , обозначенную π 1 ( X , x 0 ) . Это группа из гомотопических классов петель , основанных на х 0 , с групповой операцией конкатенации. Если f : X → Y является морфизмом точечных пространств , то каждую петлю в X с базовой точкой x 0 можно составить с помощью f, чтобы получить петлю в Y с базовой точкой y 0 . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем гомоморфизм групп из π ( X , x 0 ) в π ( Y , y 0 ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .
В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но их нельзя составить, если они не имеют общего конца. Таким образом, вместо фундаментальной группы имеется фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной.
Алгебра непрерывных функций: контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями как морфизмы) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем сопоставления каждому топологическому пространству X алгебры C ( X ) всех действительных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) по правилу C ( f ) ( φ ) = φ ∘ f для любого φ из C ( Y ).
Касательные и кокасательные расслоения: отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение, а каждое гладкое отображение - в свою производную, является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .
Выполнение этих построений поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории точечных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство - это контравариантный функтор, по сути, композиция касательного пространства с двойственным пространством выше.
Групповые действия / представление: Каждая группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом морфизмов являются элементами G . Функтор от G до Сета не то иное, как действие группы из G на определенном наборе, т.е. G -множество. Кроме того, функтор из G в категории векторных пространств , Vect K , является линейным представлением о G . В общем, функтор G → C можно рассматривать как «действия» G на объекте в категории C . Если C - группа, то это действие является гомоморфизмом групп.
Алгебры Ли: назначение каждой действительной (комплексной) группе Ли ее действительной (комплексной) алгебры Ли определяет функтор.
Тензорные произведения: если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями в качестве морфизмов, то тензорное произведение определяет функтор C × C → C, ковариантный по обоим аргументам. [7]
Забывчивые функторы: Функтор U : Grp → Set, который отображает группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в ее базовую функцию множеств, является функтором. [8] Подобные функторы , которые «забывают» некоторую структуру, называются функторами забывания . Другой пример - функтор Rng → Ab, который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмами абелевых групп).
Свободные функторы. Свободные функторы движутся в направлении, противоположном забывчивым. Свободный функтор F : набор → Гр отправляет каждое множество X в свободной группе , порожденной X . Функции отображаются в гомоморфизмы групп между свободными группами. Для многих категорий существуют бесплатные конструкции, основанные на структурированных наборах. См. Бесплатный объект .
Гомоморфизмом группы: Для каждой пары А , Б из абелевых групп можно назначить абелеву группу Хом ( A , B ) , состоящее из всех гомоморфизмов группы от A до B . Это функтор, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму аргументу, т. Е. Это функтор Ab op × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с гомоморфизмами групп). Если f : A 1 → A 2 и g : B 1 → B 2 - морфизмы в Ab , то гомоморфизм групп Hom ( f , g ) : Hom ( A 2 , B 1 ) → Hom ( A 1 , B 2 ) является задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f . См. Функтор Hom .
Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример для любой категории C . Для каждой пары X , У объектов в C можно присвоить множество Hom ( X , Y ) морфизмов из X в Y . Это определяет функтор Set, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. Е. Это функтор C op × C → Set . Если F : X 1 → X 2 и г : Y 1 → Y 2 являются морфизмы в C , то отображение Хом ( е , г ): Хомы ( Х 2 , Y 1 ) → Хомы ( X 1 , Y 2 ) дается выражением φ ↦ g ∘ φ ∘ f .
Подобные функторы называются представимыми функторами . Во многих случаях важной целью является определение представимости данного функтора.
Характеристики
Два важных следствия аксиом функторов :
- F превращает каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
- если е является изоморфизмом в С , то Р ( е ) является изоморфизмом в D .
Можно составить функторы, то есть , если Р есть функтор из A к B и G является функтором из B в C , то можно образовать составной функтор G ∘ F от A до C . Состав функторов ассоциативен там, где он определен. Тождество композиции функторов - это тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий .
Небольшая категория с одним объектом - это то же самое, что и моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композиция в категории считается операцией моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют гомоморфизмам моноидов . Так что в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.
Отношение к другим категориальным понятиям
Пусть C и D категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категории функторов . Морфизмы в этой категории - естественные преобразования между функторами.
Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.
Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .
Компьютерные реализации
Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс, в Functor
котором fmap- политипическая функция, используемая для сопоставления функций ( морфизмов в Hask , категории типов Haskell) [9] между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами. [10]
Смотрите также
- Категория функторов
- Кан расширение
- Псевдофунктор
Заметки
- ↑ Mac Lane, Saunders (1971), Категории для рабочего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
- ^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Routledge & Kegan, стр. 13–14.
- ^ Якобсон (2009) , стр. 19, деф. 1.2.
- Перейти ↑ Jacobson (2009) , pp. 19–20.
- ^ Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 года .
- ^ Мак Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
- ^ Hazewinkel, Michiel ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
- ^ Якобсон (2009) , стр. 20, пр. 2.
- ^ Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. Https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.
- ^ См. Https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для получения дополнительной информации.
Рекомендации
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7.
Внешние ссылки
- "Функтор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- см. функтор в nLab и варианты, обсуждаемые и связанные с ними.
- Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
- Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Пропущенное или пустое
|url=
( справочное ) формальное введение в теорию категорий. - Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
- Стэнфордская энциклопедия философии : " Теория категорий " - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
- Список научных конференций по теории категорий
- Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в категории высшего порядка.
- WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
- The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
- Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.