Диагональный функтор

В теории категории , ветвь математики , то диагональный функтор задаются , который отображает объекты , а также морфизмы . Этот функтор может быть использован , чтобы дать краткое описание альтернативного продукта объектов в пределах от категории : продукт является универсальной стрелкой от до . Стрелка включает карты проекции.${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (a)=\langle a,a\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

В более общем смысле, учитывая небольшую индексную категорию , можно построить категорию функторов , объекты которой называются диаграммами . Для каждого объекта в , существует постоянная диаграмма , которая отображает каждый объект в к и каждый морфизм к . Диагональная функтор присваивает каждый объект из диаграммы , и каждый морфизм в с естественной трансформацией в (заданной для каждого объекта из с ). Так, например, в том случае, если это дискретная категория${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle 1_{a}}$${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta _{a}}$${\displaystyle f:a\rightarrow b}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \eta _{j}=f}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$с двумя объектами диагональный функтор восстанавливается.${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

Диагональные функторы позволяют определять пределы и копределы диаграмм. Учитывая диаграмму , естественное преобразование (для некоторого объекта из ) называется конусом для . Эти конусы и их факторизации точно соответствуют объектам и морфизмам категории запятая , а предел является конечным объектом в , т. Е. Универсальной стрелкой . Двойственным образом , копредел из является начальным объектом категории разделителей , т.е. универсальной стрелки .${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta _{a}\to {\mathcal {F}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Delta \rightarrow {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow \Delta }$

Если каждый функтор от до имеет предел (что будет иметь место, если он завершен ), то операция взятия пределов сама по себе является функтором от до . Предельный функтор является правым сопряженным к диагональному функтору. Точно так же функтор копредела (который существует, если категория кополна) является левым сопряженным к диагональному функтору. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Например, диагональный функтор, описанный выше, является левым сопряженным функтором двоичного произведения и правым сопряженным функтором двоичного копроизведения . Другие хорошо известные примеры включают выталкивание , которое является пределом диапазона , и конечный объект , который является пределом пустой категории .${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

См. Также [ править ]

• Диаграмма (теория категорий)
• Конус (теория категорий)
• Диагональный морфизм

Ссылки [ править ]

• Мак Лейн, Сондерс; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике - первое введение в теорию топосов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20–23. ISBN 9780387977102.

• Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9.