Начальные и конечные объекты

В теории категории , филиал математики , исходный объект из категории C является объектом I в C , что для любого объекта X в С , существует ровно один морфизм I → X .

Двойное понятие является то , что из терминального объекта (также называемый концевой элемент ): Т представляет терминал , если для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм Х → T . Начальные объекты также называются котерминальными или универсальными , а конечные объекты также называются конечными .

Если объект одновременно является начальным и конечным, он называется нулевым объектом или нулевым объектом . Заостренный категория является один с объектом нулевой.

Строгий исходный объект я один , для которого каждый морфизм в I является изоморфизмом .

Примеры [ править ]

• Пустое множество является единственным исходным объектом в наборе , то категория множеств . Каждый одноэлементный набор ( синглтон ) является конечным объектом в этой категории; нет нулевых объектов. Точно так же пустое пространство является уникальным начальным объектом в Top , категорией топологических пространств, и каждое одноточечное пространство является конечным объектом в этой категории.
• В категории наборов и отношений Rel пустое множество - это уникальный начальный объект, уникальный конечный объект и, следовательно, уникальный нулевой объект.

Морфизмы отмеченных множеств. Изображение также относится к алгебраическим нулевым объектам.

• В категории отмеченных множеств (объекты которых являются непустыми множествами вместе с выделенным элементом; морфизм из ( A ,  a ) в ( B ,  b ) является функцией f  : A → B с f ( a ) = b ) , каждый синглтон является нулевым объектом. Точно так же в категории точечных топологических пространств каждый одиночный элемент является нулевым объектом.
• В Grp , то категория групп , любая единичная группа является нулевым объектом. Тривиальная алгебра также нулевой объект в Ab , в категории абелевых групп , RNG в категории псевдо-колец , R -Mod , то категория модулей над кольцом, и К -Vect , то категория векторных пространств над полем . Подробнее см. Нулевой объект (алгебра) . Отсюда и возник термин «нулевой объект».
• В кольце , категории колец с морфизмами, сохраняющими единицу и сохраняющими единицу, кольцо целых чисел Z является исходным объектом. Нулевое кольцо , состоящее только из одного элемента 0 = 1 является терминалом объекта.
• В Rig , категории оснасток с единичными и сохраняющими единицу морфизмами, оснастка натуральных чисел N является исходным объектом. Нулевая установка, которая представляет собой нулевое кольцо , состоящее только из единственного элемента 0 = 1, является конечным объектом.
• В поле , то категория пола , нет начальных или терминальных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики первичное поле является исходным объектом.
• Любой частично упорядоченный набор ( P , ≤) можно интерпретировать как категорию: объекты являются элементами P , и существует единственный морфизм от x к y тогда и только тогда, когда x ≤ y . Эта категория имеет начальный объект тогда и только тогда, когда P имеет наименьший элемент ; он имеет конечный объект тогда и только тогда, когда P имеет наибольший элемент .
• Cat , категория малых категорий с функторами в качестве морфизмов, имеет пустую категорию 0 (без объектов и морфизмов) в качестве исходного объекта и конечную категорию 1 (с одним объектом с одним морфизмом идентичности) в качестве конечного объекта. .
• В категории схем Spec ( Z ), простой спектр кольца целых чисел, является конечным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевого кольца ) является исходным объектом.
• Предел из диаграммы F может быть охарактеризован в качестве терминального объекта в категории конусов до F . Аналогично, копредел из F может быть охарактеризован в качестве исходного объекта в категории сопутствующих конусов из F .

Свойства [ править ]

Существование и уникальность [ править ]

Не требуется, чтобы начальные и конечные объекты существовали в данной категории. Однако если они и существуют, то по сути уникальны. В частности, если I ₁ и I ₂ - два разных исходных объекта, то между ними существует уникальный изоморфизм . Более того, если I - исходный объект, то любой объект, изоморфный I , также является исходным объектом. То же самое и с конечными объектами.

Для полных категорий существует теорема существования исходных объектов. В частности, ( локально малая ) полная категория C имеет начальный объект , если и только если существует множество I ( не собственный класс ) и I - индексированный семьи ( K _я ) объектов С таких , что для любого объекта X из С , существует по крайней мере один морфизм к _я → Х для некоторого I ∈ I .

Эквивалентные формулировки [ править ]

Терминальные объекты в категории C могут быть также определены как пределы уникальной пустой диаграммы 0 → C . Поскольку пустая категория является пустой дискретной категорией , конечный объект можно рассматривать как пустой продукт (продукт действительно является пределом дискретной диаграммы { X _i } , вообще говоря). Соответственно, исходный объект является копределом пустой диаграммы 0 → C и может рассматриваться как пустой копроизведение или категориальная сумма.

Отсюда следует, что любой функтор, который сохраняет ограничения, будет переводить терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, который сохраняет копределы, будет переводить исходные объекты в исходные объекты. Например, начальным объектом в любой конкретной категории со свободными объектами будет свободный объект, сгенерированный пустым множеством (поскольку свободный функтор , оставленный присоединенным к забывчивому функтору в Set , сохраняет копределы).

Начальные и конечные объекты также можно охарактеризовать в терминах универсальных свойств и сопряженных функторов . Пусть 1 - дискретная категория с одним объектом (обозначается •), и пусть U  : C → 1 - единственный (постоянный) функтор относительно 1 . потом

• Исходный объект I в C является универсальным морфизм из • в U . Функтор , который посылает • в I сопряжен слева к U .
• Терминальный объект T в C - это универсальный морфизм из U в •. Функтор , который посылает • к Т сопряжен справа к U .

Отношение к другим категориальным конструкциям [ править ]

Многие естественные конструкции в теории категорий могут быть сформулированы в терминах нахождения начального или конечного объекта в подходящей категории.

• Универсальный морфизм из объекта X в функтор U может быть определена в качестве исходного объекта в категории запятой ( X ↓ U ) . Двойственно универсальный морфизм из U в X является терминальным объектом в ( U ↓ X ) .
• Предел диаграммы F представляет собой терминал объект в Cone ( F ) , то категория конусов до F . Двойственным образом , копредел из F является начальным объектом категории конусов из F .
• Представление функтора F в Set является исходным объектом в категории элементов из F .
• Понятие конечного функтора (соответственно начального функтора) является обобщением понятия конечного объекта (соответственно начального объекта).

Другие свойства [ править ]

• Эндоморфизм моноид исходного или терминального объекта I тривиально: Конец ( я ) = Horn ( я , я ) = {идентификатор _Я } .
• Если категория С имеет нулевой объект 0 , то для любой пары объектов X и Y в C , уникальной композиции Х → 0 → Y является нулевой морфизм из X в Y .

Ссылки [ править ]

• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Радость кошек (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .
• Эта статья основана частично на PlanetMath «S статье на примерах начальных и конечных объектов .