 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В алгебре , то нулевой объект данной алгебраической структуры является, в том смысле , объяснено ниже, простейший объект такой структуры. Как совокупность это одноэлементная , а как магма имеет тривиальную структуру, которая также является абелевой группой . Вышеупомянутая структура абелевой группы обычно идентифицируется как сложение , а единственный элемент называется нулем , поэтому сам объект обычно обозначается как {0} . Часто ссылаются на тривиальный объект (определенной категории ), поскольку каждый тривиальный объектизоморфна любому другому (при единственном изоморфизме).
Экземпляры нулевого объекта включают, но не ограничиваются следующим:
- Как группа , нулевая группа или тривиальная группа .
- Как кольцо , нулевое кольцо или тривиальное кольцо .
- В качестве алгебры над полем или алгебрами над кольцом , в тривиальной алгебре .
- Как модуль (над кольцом R ) нулевой модуль . Термин тривиальный модуль также используется, хотя он может быть неоднозначным, поскольку тривиальный G-модуль - это G-модуль с тривиальным действием.
- Как векторное пространство (над полем R ), нулевое векторное пространство , нулевое векторное пространство или просто нулевое пространство .
Эти объекты описываются совместно не только на основе общей одноэлементной и тривиальной групповой структуры, но также из-за общих теоретико-категорийных свойств .
В последних трех случаях скалярное умножение на элемент базового кольца (или поля) определяется как:
- х 0 = 0 , где х ∈ R .
Самый общий из них - нулевой модуль - это конечно порожденный модуль с пустым порождающим множеством.
Для структур, требующих структуры умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо , есть только один возможный, 0 × 0 = 0 , потому что нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативна и коммутативна . Кольцо R , который имеет как добавку и мультипликативную идентичность тривиален тогда и только тогда , когда 1 = 0 , так как это равенство означает , что для всех г в R ,
В этом случае можно определить деление на ноль , поскольку единственный элемент является собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства {0} зависят от точного определения мультипликативного тождества; см. § Унитальные структуры ниже.
Любая тривиальная алгебра также является тривиальным кольцом. Тривиальная алгебра над полем одновременно является нулевым векторным пространством, рассматриваемым ниже . Над коммутативным кольцом тривиальная алгебра одновременно является нулевым модулем.
Тривиальное кольцо является примером группы квадрата нуля . Тривиальная алгебра - это пример нулевой алгебры .
Нульмерное векторное пространство - особенно распространенный пример нулевого объекта, векторного пространства над полем с пустым базисом . Следовательно, он имеет нулевую размерность . Это также тривиальная группа над сложением и тривиальный модуль, упомянутый выше .
Свойства [ править ]
| 2 ↕ | знак равно | [ ] | ‹0 | ||
| ↔ 1 | ^ 0 | ↔ 1 | |||
| Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (крайний правый), умножается на пустую матрицу 2 × 0, чтобы получить 2-мерный нулевой вектор (крайний левый). Соблюдаются правила умножения матриц . | |||||
Тривиальное кольцо, нулевой модуль и нулевой вектор пространства являются нулевыми объектами соответствующих категорий , а именно RNG , R - Mod и Vect R .
Объект ноль, по определению, должна быть терминалом объекта, что означает , что морфизм → {0} должна существовать и быть уникальным для произвольного объекта А . Этот морфизм переводит любой элемент A в 0 .
Объекта равна нулю, а также по определению, должен быть первоначальный объект, который означает , что морфизм {0} → A должна существовать и быть уникальным для произвольного объекта А . Этот морфизм отображает 0 , единственный элемент {0} , в нулевой элемент 0 ∈ A , называемый нулевым вектором в векторных пространствах. Это отображение является мономорфизмом , поэтому его образ изоморфен {0} . Для модулей и векторных пространств это подмножество {0} ⊂ A является единственным пустым порожденным подмодулем (или 0-мерным линейным подпространством ) в каждом модуле (или векторном пространстве) A.
Единичные структуры [ править ]
Объект {0} - это конечный объект любой алгебраической структуры, где он существует, как это было описано в примерах выше. Но его существование и, если оно существует, свойство быть исходным объектом (и, следовательно, нулевым объектом в теоретико-категориальном смысле) зависят от точного определения мультипликативного тождества 1 в указанной структуре.
Если определение 1 требует, чтобы 1 ≠ 0 , то объект {0} не может существовать, поскольку он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является полем . Если математики иногда говорят о поле с одним элементом , этот абстрактный и несколько загадочный математический объект не является полем.
В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может быть равна нулю, объект {0} может существовать. Но не в качестве исходного объекта, потому что сохраняющие идентичность морфизмы от {0} до любого объекта, где 1 ≠ 0 , не существуют. Например, в категории колец Ring начальным объектом является кольцо целых чисел Z , а не {0} .
Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не требует ее сохранения морфизмами или 1 ≠ 0 , то существуют нулевые морфизмы, и ситуация не отличается от неунитальных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.
Обозначение [ править ]
Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются 0 (вместо {0} ). Так бывает всегда, когда они происходят в точной последовательности .
См. Также [ править ]
- Безмерное пространство
- Тривиальность (математика)
- Примеры векторных пространств
- Поле с одним элементом
- Пустая полугруппа
- Нулевой элемент
- Список нулевых условий
Внешние ссылки [ править ]
- Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . п. 10 : тривиальное кольцо . ISBN 0-521-33718-6.
- Бариле, Маргарита . «Тривиальный модуль» . MathWorld .
- Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль» . MathWorld .
